云南省楚雄州2023-2024学年高三上学期期中教育学业质量监测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 云南省楚雄州2023-2024学年高三上学期期中教育学业质量监测数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 724.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-13 19:42:06 | ||
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文档简介
楚雄州2023-2024学年高三上学期期中教育学业质量监测
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A． B． C． D．
2.在复平面内，对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，大小形状均完全相同，现从中随机摸出2个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为
A． B． C． D．
4.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为
A． B．
C． D．
5.在长方体中，已知，，，E为AB的中点，则异面直线与DE所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6.现有一组数据，，，，的平均数为8，若随机去掉一个数（，2，3，4，5）后，余下的四个数的平均数为9，则下列说法正确的是
A．余下四个数的极差比原来五个数的极差更小 B．余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大
C余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大 D．去掉的数一定是4
7.曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为
A． B． C． D．
8.双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设非零向量，满足，，则
A． B． C． D．
10.信号处理是对各种类型的电信号，按各种预期的目的及要求进行加工过程的统称，信号处理以各种方式被广泛应用于医学，声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是余弦型函数，的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，下列结论正确的是
A．为偶函数 B．的图象关于直线对称
C．为周期函数，且最小正周期为 D．设的导函数为，则
11.如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，将直角梯形ABCD绕着AB旋转一周得到一个圆台，下列说法正确的是
A．该圆台的体积为 B．该圆台的侧面积为
C．该圆台可由底面半径为2，高为3的圆锥所截得 D．该圆台的外接球半径为
12.已知定义在R上的奇函数满足，是的导函数，下列说法正确的是
A．不存在最大值 B．不存在最大值
C．是周期为4的周期函数 D．是周期为4的周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知圆C：及圆C外一点，过点M作圆C的一条切线，切点为N，则 .
14.生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则 .
16.已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和.
18.（12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）设BD是AC边上的高，且，，求△ABC的周长.
19.（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面PAC，平面ABC⊥平面PAC，，，D为BC的中点.
（1）证明：AB⊥平面PAC.
（2）求二面角B-PA-D的余弦值.
20.（12分）
某单位有200名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，每个人是否携带病毒互不影响.现有两种筛查方案，方案1：对每个人的血样逐一化验，需要化验200次；方案2：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人的血样全部为阴性，如果混合血样呈阳性，说明这10个人中至少有一个人的血样呈阳性，就需要对这10个人每个人再分别化验一次.
（1）某夫妻二人都在这个单位工作，若按照方案1，随机地进行逐一筛查，则他们二人恰好是先筛查的两个人的概率是多少；
（2）若每次化验的费用为16元，采用方案⒉进行化验时，此单位大约需要总费用多少元？（参考数据：）
21.（12分）
已知动圆P过点，且在圆B：的内部与其相内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若M，N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点满足，且，求直线MN的斜率k的取值范围.
22.（12分）
已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）证明：.
楚雄州2023-2024学年高三上学期期中教育学业质量监测
数学试卷参考答案
1.C
因为，，所以.
2.D
因为，所以对应的点位于第四象限.
3.A
所求概率.
4.C
因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数，应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D.
又因为，不满足，排除A，
满足，故选C.
5.B
以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则，，，，，.设异面直线与DE所成角的大小为，所以.
6.D
因为，，，，的平均数为8，设去掉后余下的四个数的平均数为9，则
，D正确.例如这5个数分别为3，4，4，4，25，则可得A，B，C错误，故选D.
7.B
因为，所以所求切线方程为，令，则，令，则.所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.因为，，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为.
8.A
由双曲线定义可知，且.不妨设，则，.在中，由余弦定理得，解得.在中，由余弦定理得，进一步可得.由双曲线性质可知.
9.BC
因为，所以，
即，所以，A错误，B正确.
因为，所以，所以，C正确，D错误.
10.ABD
因为，所以为偶函数，A正确；因为
，，所以的图象关于直线对称，B正确；因为，所以的最小正周期不是，C错误；，当且仅当时，等号成立，显然取等号的条件不成立，所以，D正确.
11.ABD
易知该圆台的高，上底面圆的半径，下底面圆的半径.
对于A，该圆台的体积，A正确.
对于B，该圆台的侧面积，B正确.
对于C，该圆台可由底面半径为2，高为2的圆锥所截得，C错误.
对于D，作该圆台与它的外接球的轴截面，如图所示，其中线段EF的中垂线GH交直线AB于O点，点O就是外接球的球心.作BH⊥0G，垂足为H，易知，，，所以，外接球半径，D正确.
12.AD
对于A，不妨设的最大值为M，其图象的最高点的坐标为.因为为奇函数，所以，图象的最低点的坐标为.由知的图象关于点对称，所以关于的对称点坐标为，这与M为的最大值矛盾，所以不存在最大值，A正确.
对于B，取，则，存在最大值，所以B错误.
对于C，因为奇函数满足，所以.假设是周期为4的周期函数，则，推出，这是错误的，所以C错误.
对于D，因为，且是奇函数，所以，即，所以，D正确.
13.6
因为圆心，半径，所以.
14.7.5
当时，，由，得.
15.8
根据题意得，即，所以，
所以.
16.32
易知，设直线的方程为，，，联立方程组，消去y得，则.设，，同理可得，所以.
因为是，所以，当且仅当时，等号成立.
17.解：
（1）设公比为q，因为，，成等差数列，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以.
（2）根据题意得
.
18.解：
（1）因为，
所以.
因为，
所以，即.
因为，，
所以，解得.
（2）因为，，
所以.
又由，可得，所以.
由余弦定理，可得，
即，
所以，
所以△ABC的周长为.
19.
（1）证明：在线段PC上任取一点M，过点M作MN⊥AC，垂足为N.
因为平面PAB⊥平面PAC，，
所以MP⊥平面PAB，从而MP⊥AB.
同理，由平面ABC⊥平面PAC，可得MN⊥AB，
因为，
所以AB⊥平面PAC.
（2）解：以P为原点，PA，PC所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
设平面PAD的法向量为，，，
由得，令，得.
易知平面PAB的一个法向量为.
设二面角B-P-D的大小为，观察可得为锐角，
所以，即二面角B-PA-D的余弦值为.
20.解：
（1）根据古典概型的概率的计算方法，他们二人恰好是先筛查的两个人的概率.
（2）按方案2，设每组需要化验的次数为X，则或11.
10个人一组，该组混合血样呈阴性的概率为，
则10个人一组，该组需要重新化验的概率为.
X的分布列为
X 1 11
P 0.60 0.40
所以.
总的化验次数为，
需要花费总费用（元）.
21.解：
（1）设动圆P和圆B相切于点M，则B，P，M三点共线，
所以.
所以点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
设该椭圆的方程为，则，，从而.
所以点P的轨迹方程为.
（2）由题意知直线MN的方程为，
设，.
联立方程组，消去x得，
由，可得.
由根与系数的关系有.
由可得，代入上式得.
当时，是减函数，故.
由，
解得，
又，所以，
即k的取值范围是.
22.
（1）解：的定义域为，.
令，得，此时函数单调递增；
令，得，此时函数单调递减.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：令，则.
当时，.
当时，令，则，
因为，，所以，
即单调递减.
又，，
所以存在，使.
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以.
因为，
所以，
即，
所以.
因为，，
且在上单调递减，
所以，同时，
所以.
因为，
所以，
又因为，
所以，
即.
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A． B． C． D．
2.在复平面内，对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，大小形状均完全相同，现从中随机摸出2个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为
A． B． C． D．
4.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为
A． B．
C． D．
5.在长方体中，已知，，，E为AB的中点，则异面直线与DE所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6.现有一组数据，，，，的平均数为8，若随机去掉一个数（，2，3，4，5）后，余下的四个数的平均数为9，则下列说法正确的是
A．余下四个数的极差比原来五个数的极差更小 B．余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大
C余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大 D．去掉的数一定是4
7.曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为
A． B． C． D．
8.双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设非零向量，满足，，则
A． B． C． D．
10.信号处理是对各种类型的电信号，按各种预期的目的及要求进行加工过程的统称，信号处理以各种方式被广泛应用于医学，声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是余弦型函数，的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，下列结论正确的是
A．为偶函数 B．的图象关于直线对称
C．为周期函数，且最小正周期为 D．设的导函数为，则
11.如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，将直角梯形ABCD绕着AB旋转一周得到一个圆台，下列说法正确的是
A．该圆台的体积为 B．该圆台的侧面积为
C．该圆台可由底面半径为2，高为3的圆锥所截得 D．该圆台的外接球半径为
12.已知定义在R上的奇函数满足，是的导函数，下列说法正确的是
A．不存在最大值 B．不存在最大值
C．是周期为4的周期函数 D．是周期为4的周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知圆C：及圆C外一点，过点M作圆C的一条切线，切点为N，则 .
14.生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则 .
16.已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和.
18.（12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）设BD是AC边上的高，且，，求△ABC的周长.
19.（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面PAC，平面ABC⊥平面PAC，，，D为BC的中点.
（1）证明：AB⊥平面PAC.
（2）求二面角B-PA-D的余弦值.
20.（12分）
某单位有200名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，每个人是否携带病毒互不影响.现有两种筛查方案，方案1：对每个人的血样逐一化验，需要化验200次；方案2：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人的血样全部为阴性，如果混合血样呈阳性，说明这10个人中至少有一个人的血样呈阳性，就需要对这10个人每个人再分别化验一次.
（1）某夫妻二人都在这个单位工作，若按照方案1，随机地进行逐一筛查，则他们二人恰好是先筛查的两个人的概率是多少；
（2）若每次化验的费用为16元，采用方案⒉进行化验时，此单位大约需要总费用多少元？（参考数据：）
21.（12分）
已知动圆P过点，且在圆B：的内部与其相内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若M，N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点满足，且，求直线MN的斜率k的取值范围.
22.（12分）
已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）证明：.
楚雄州2023-2024学年高三上学期期中教育学业质量监测
数学试卷参考答案
1.C
因为，，所以.
2.D
因为，所以对应的点位于第四象限.
3.A
所求概率.
4.C
因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数，应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D.
又因为，不满足，排除A，
满足，故选C.
5.B
以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则，，，，，.设异面直线与DE所成角的大小为，所以.
6.D
因为，，，，的平均数为8，设去掉后余下的四个数的平均数为9，则
，D正确.例如这5个数分别为3，4，4，4，25，则可得A，B，C错误，故选D.
7.B
因为，所以所求切线方程为，令，则，令，则.所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.因为，，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为.
8.A
由双曲线定义可知，且.不妨设，则，.在中，由余弦定理得，解得.在中，由余弦定理得，进一步可得.由双曲线性质可知.
9.BC
因为，所以，
即，所以，A错误，B正确.
因为，所以，所以，C正确，D错误.
10.ABD
因为，所以为偶函数，A正确；因为
，，所以的图象关于直线对称，B正确；因为，所以的最小正周期不是，C错误；，当且仅当时，等号成立，显然取等号的条件不成立，所以，D正确.
11.ABD
易知该圆台的高，上底面圆的半径，下底面圆的半径.
对于A，该圆台的体积，A正确.
对于B，该圆台的侧面积，B正确.
对于C，该圆台可由底面半径为2，高为2的圆锥所截得，C错误.
对于D，作该圆台与它的外接球的轴截面，如图所示，其中线段EF的中垂线GH交直线AB于O点，点O就是外接球的球心.作BH⊥0G，垂足为H，易知，，，所以，外接球半径，D正确.
12.AD
对于A，不妨设的最大值为M，其图象的最高点的坐标为.因为为奇函数，所以，图象的最低点的坐标为.由知的图象关于点对称，所以关于的对称点坐标为，这与M为的最大值矛盾，所以不存在最大值，A正确.
对于B，取，则，存在最大值，所以B错误.
对于C，因为奇函数满足，所以.假设是周期为4的周期函数，则，推出，这是错误的，所以C错误.
对于D，因为，且是奇函数，所以，即，所以，D正确.
13.6
因为圆心，半径，所以.
14.7.5
当时，，由，得.
15.8
根据题意得，即，所以，
所以.
16.32
易知，设直线的方程为，，，联立方程组，消去y得，则.设，，同理可得，所以.
因为是，所以，当且仅当时，等号成立.
17.解：
（1）设公比为q，因为，，成等差数列，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以.
（2）根据题意得
.
18.解：
（1）因为，
所以.
因为，
所以，即.
因为，，
所以，解得.
（2）因为，，
所以.
又由，可得，所以.
由余弦定理，可得，
即，
所以，
所以△ABC的周长为.
19.
（1）证明：在线段PC上任取一点M，过点M作MN⊥AC，垂足为N.
因为平面PAB⊥平面PAC，，
所以MP⊥平面PAB，从而MP⊥AB.
同理，由平面ABC⊥平面PAC，可得MN⊥AB，
因为，
所以AB⊥平面PAC.
（2）解：以P为原点，PA，PC所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
设平面PAD的法向量为，，，
由得，令，得.
易知平面PAB的一个法向量为.
设二面角B-P-D的大小为，观察可得为锐角，
所以，即二面角B-PA-D的余弦值为.
20.解：
（1）根据古典概型的概率的计算方法，他们二人恰好是先筛查的两个人的概率.
（2）按方案2，设每组需要化验的次数为X，则或11.
10个人一组，该组混合血样呈阴性的概率为，
则10个人一组，该组需要重新化验的概率为.
X的分布列为
X 1 11
P 0.60 0.40
所以.
总的化验次数为，
需要花费总费用（元）.
21.解：
（1）设动圆P和圆B相切于点M，则B，P，M三点共线，
所以.
所以点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
设该椭圆的方程为，则，，从而.
所以点P的轨迹方程为.
（2）由题意知直线MN的方程为，
设，.
联立方程组，消去x得，
由，可得.
由根与系数的关系有.
由可得，代入上式得.
当时，是减函数，故.
由，
解得，
又，所以，
即k的取值范围是.
22.
（1）解：的定义域为，.
令，得，此时函数单调递增；
令，得，此时函数单调递减.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：令，则.
当时，.
当时，令，则，
因为，，所以，
即单调递减.
又，，
所以存在，使.
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以.
因为，
所以，
即，
所以.
因为，，
且在上单调递减，
所以，同时，
所以.
因为，
所以，
又因为，
所以，
即.
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