学科：数学
专题：相似三角形的应用
重难点易错点解析
题一：
题面：如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=
_______米．
金题精讲
题面：已知正方形ABCD的边长为1，以边BC为直径，在正方形内作半圆O，AE切⊙O于F，交CD于E，求DE：AE的值．
满分冲刺
题一：
题面：如图，柳明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB，它的影子恰好落在丘顶平地BC和斜坡的坡面CD上．柳明测量得BC=4米，斜坡的坡面CD的坡度为1：，CD=2.5米．如果柳明同时还测得附近一根垂直于地面的2米高的木柱MN的影长NP=1.5米．求这棵香樟树AB的高度．
题二：
题面：如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）．
A．(，0) B．(，) C．(，) D．(2，2)
题三：
题面：如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：3.42．
详解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，∴AO∥NM．∴△ABO∽△NBM．∴．
∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，∴BM=OB+OM=4+5=9米．
∴，解得NM=3.42．
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．
金题精讲
答案：DE：AE=3：5．
详解：连接OA，OF，OE；
∵由于∠BOA=∠FOA，∠FOE=∠COE，∠BOC=180°，
∴∠AOF+∠FOE=90°，
∵∠AOF+∠OAF=90°，∠FOE+∠FEO=90°，
∴△AOF∽△OEF，
∴，
CE=EF=，
DE：AE=3：5．
满分冲刺
题一：
答案：6.5米．
详解：如图所示，过点B，C作BE，CF垂直EF于F，
斜坡的坡面CD的坡度为1：，CD=2.5米，
∴DF=2米，CF==1.5米，
∴ED=BC+DF=4+2=6米
附近一根垂直于地面的2米高的木柱MN的影长NP=1.5米
即，解得AE=8．
∴AB=AE BE=AE CF=8 1.5=6.5米．
题二：
答案：C．
详解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：．
∵点A的坐标为（1，0），即OA=1，∴OD=．
∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=．∴E点的坐标为：（， ）．故选C．
题三：
答案：.
详解：∵过点A作AN⊥BC交DG于点N，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，
∴BC h=1，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故
，
即，
∴x=
设正方形的面积为S，则S=x2=()2=
()2=[]．学科：数学
专题：相似三角形的应用
重难点易错点解析
在构造相似模型时，务必找准对应边．
题一
题面：如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )
A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m
金题精讲
题一
题面：在已知半圆内，求作内接正方形．
位似变换
满分冲刺
题一
题面：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC=20m，斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度．
相似三角形的应用
题二
题面：如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（ 1， 1），则两个正方形的位似中心的坐标是 _________ ．
位似中心、平面直角坐标系
题三
题面：在已知三角形内，求作内接正方形．
相似三角形的应用
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：C．
金题精讲
题一
答案：正方形EFGH即为所求．
满分冲刺
题一
答案：m．
题二
答案：位似中心的坐标是(1，0)或( 5， 2)．
题三
答案：方法1：利用位似形的性质作图法(图16)
图16
作法：(1)在AB上任取一点G＇，作G＇D＇⊥BC；
(2)以G＇D＇为边，在△ABC内作一正方形D＇E＇F＇G＇；
(3)连结BF＇，延长交AC于F；
(4)作FG∥CB，交AB于G，从F，G各作BC的垂线FE，GD，那么DEFG就是所求作的内接正方形．
方法2：利用代数解析法作图(图17)
图17
(1)作AH(h)⊥BC(a)；
(2)求h＋a，a，h的比例第四项x；
(3)在AH上取KH=x；
(4)过K作GF∥BC，交两边于G，F，从G，F各作BC的垂线GD，FE，那么DEFG就是所求的内接正方形．学科：数学
专题：相似三角形的应用
重难点易错点解析
题一：
题面：如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
金题精讲
题面：如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．求证：△EFO∽△AFD，并求的值．
满分冲刺
题一：
题面：小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，请你求旗杆AB的高度．
题二：
题面：如图，在平面直角坐标系中，以原点为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A.(2，4) B.(，) C.(，) D.(，)
题三：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于三角形，AC=1，BC=2，则AF：FC等于 ．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：A．
详解：∵，∴．
又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴．∴9S△AEF=S△ABC．
又∵S四边形BCFE=8，∴9(S△ABC﹣8)=S△ABC，解得S△ABC=9．故选A．
金题精讲
答案：．
详解：易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠OFE=∠DFA，
故△EFO∽△AFD，
所以，
而EO=AO=AB=AD，
即．
满分冲刺
题一：
答案：4.2米．
详解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE=CD=1.2米，
∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，
∴，
即，解得AE=3米，
∴AB=AE+BE=3+1.2=4.2米．
答：旗杆的高度是4.2米．
题二：
答案：C．
详解：根据以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以－2，即可得出点A′的坐标：
∵点A的坐标是（1，2），∴点A′的坐标是（－2，－4），故选C．
题三：
答案：．
详解：在Rt△ACB中，AC=1，BC=2，由勾股定理得：AB=，
设正方形CFED的边长是x，
则CD=DE=EF=CF=x，AF=1 x，BD=2 x，
∵四边形DEFC是正方形，
∴∠AFE=∠AFE=∠CDE=∠EDB=90°，EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠EDB，
∴△AFE∽△EDB，
∴，
∴，
解得：x=，
∴CF=，AF=1 =，
∴．
