学科：数学
专题：二次函数中的面积问题
重难点易错点解析
题面：如图，二次函数y=ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
金题精讲
题面：如图，二次函数y=(x 2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1，0)及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x 2)2+m的x的取值范围．
满分冲刺
题面：如图，抛物线交轴于点C，直线 l为抛物线的对称轴，点
P在第三象限且为抛物线的顶点.P到轴的距离为，到轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线 l于B.
(1)求抛物线的表达式；
(2)直线与抛物线在第一象限内交于点D，与轴交于点F,连接BD交轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线的表达式
思维拓展
题面：已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A(0，2)，B(－1，0).
(1)求点C的坐标；
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：(1)y= －x2－4x；(2)点P的坐标是：(－2，4)、( ，－4)、(，－4)
详解：(1)将O(0，0)，A(－4，0)代入y=ax2－4x＋c得
， 解得.
∴此二次函数的解析式为y= －x2－4x.
(2)∵点A的坐标为(－4，0)，∴AO=4.
设点P到x轴的距离为h，则，解得h=4.
①当点P在x轴上方时，－x2－4x=4，解得x= －2.
∴点P的坐标为(－2，4).
②当点P在x轴下方时，－x2－4x= 4，解得.
∴点P的坐标为( ，－4)或( ，－4)，
综上所述，点P的坐标是：(－2，4)、( ，－4)、( ，－4)
金题精讲
答案：(1) 二次函数的解析式为y=(x 2)2 1，y=x 1; (2)1≤x≤4
详解：(1)将点A(1,0)代入y=(x 2)2+m得，(1 2)2+m=0，解得m= 1.
∴二次函数的解析式为y=(x 2)2 1.
当x= 时，y=4 1=3，∴点C的坐标为(0,3)
∵二次函数y=(x 2)2 1的对称轴为x= ，C和B关于对称轴对称，
∴点B的坐标为(4,3)
将A(1,0)、B(4,3)代入y=kx+b得，
，解得
∴一次函数的解析式为y=x 1.
(2) ∵A(1,0)、B(4,3)
∴当kx+b≥(x 2)2+m时，直线y=x 1的图象在二次函数y=(x 2)2 1的图象上方或相交，此时1≤x≤4.
满分冲刺
答案：(1).(2).
详解：(1)∵抛物线交轴于点C，∴C(0，-3)则 OC=3.
∵P到轴的距离为，P到轴的距离是1，且在第三象限，
∴P( 1， ).
∵C关于直线l的对称点为A，∴A( 2， 3).
将点A( 2， 3)，P( 1， )代入得，
，解得.
∴抛物线的表达式为.
(2)过点D做DG⊥轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°.
∵∠DEG=∠BEC，∴△DEG∽△BEC.
∴.
∵DE:BE=4:1，BC=1，
∴, 则DG=4.
将=4代入，得=5.
∴D(4,5).
∵过点D(4,5),∴, 则=2.
∴所求直线的表达式为 .
思维拓展
答案：(1)(4，0).(2) ,抛物线的对称轴为.
详解：(1)∵A(0，2)，B(－1，0)，∴OA=2，OB=1.
由Rt△ABC 知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4.
∴点C的坐标为(4，0).
(2)设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，
将A(0，2)代入，得，解得
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即.
∵，∴抛物线的对称轴为.学科：数学
专题：二次函数中的面积问题
金题精讲
题一
题面：已知直线y=kx 3与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C.
(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由.
满分冲刺
题面：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，) ，点B在x轴的负半轴上，∠ABO=30°.
(1)求过点A、O、B的抛物线的解析式；
(2)在(1)中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形.使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3 若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
思维拓展
题面：在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.
(1)求点的坐标(用含的代数式表示)；
(2)直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧， 若为直线上一动点，求△的面积.
讲义参考答案
金题精讲
题一
答案：(1)直线的解析式为y=x 3，抛物线解析式为 (2)存在，D (2，)
满分冲刺
答案：(1) (2)存在，点P坐标是( ， )
思维拓展
答案：(1) (2)3学科：数学
专题：二次函数中的面积问题
重难点易错点解析
题面：已知抛物线经过A(2，0)． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．求b的值，求出点P、点B的坐标；
金题精讲
题面：如图，经过原点的抛物线y= x2+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP.
(1)当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
(2)当m>1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？
(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由.
满分冲刺
题面：如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E(－1，0)，并与直线相交于A、B两点．
(1)求抛物线的解析式(关系式)；
(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．
思维拓展
题面：如图，已知二次函数L1：y=x2 4x+3与x轴交于A．B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)研究二次函数L2：y=kx2 4kx+3k(k≠0)．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：，顶点P的坐标为(4，)；点B的坐标是(6，0).
详解：∵抛物线经过A(2，0)，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∵，
∴顶点P的坐标为(4，).
令y=0，得，解得x1=2，x2=6.
∴点B的坐标是(6，0).
金题精讲
答案：(1)A(6，0)，BC=4. (2) m= (3)存在.
详解：(1)当m=3时，y= －x2＋6x.
令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6.∴A(6，0).
当x=1时，y=5.∴B(1，5).
∵抛物线y= －x2＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4.
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)
由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB.
又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△ACH∽△PCB.
∴.
∵抛物线y= －x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称，
∴BC=2(m－1).
∵B(1，2m－1)，P(1，m)，∴BP=m－1.
又∵A(2m，0)，C(2m－1，2m－1)，∴H(2m－1，0).
∴AH=1，CH=2m－1，
∴，解得m= .
(3)存在.∵B，C不重合，∴m≠1.
(I)当m＞1时，BC=2(m－1)，PM=m，BP=m－1，
(i)若点E在x轴上(如图1)，
∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP.
∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2(m-1)=m，解得m=2.
此时点E的坐标是(2，0).
(ii)若点E在y轴上(如图2)，过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2.
此时点E的坐标是(0，4).
(II)当0＜m＜1时，BC=2(1－m)，PM=m，BP=1－m，
(i)若点E在x轴上(如图3)，
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，即2(1－m)=m，解得，m=.
此时点E的坐标是( ，0).
(ii)若点E在y轴上(如图4)，
过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0(舍去).
综上所述，当m=2时，点E的坐标是(0，2)或(0，4)，
当m=时，点E的坐标是(，0).
满分冲刺
答案：(1) ；(2)点C的坐标为.
详解：(1)∵一次函数交y轴于点A，
∴令x=0，得y=2.∴A(0，2).
∵A(0，2)、E(－1，0)是抛物线的图象上的点，
∴，解得 .
∴抛物线的解析式是：.
(2)∵一次函数交ｘ轴于点P，∴令y=0，得x=6.∴P(6，0).
∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴△AOC∽△POA. ∴.
∵AO=2，PO=6，∴.
∴. ∴点C的坐标为.
思维拓展
答案：(1)二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标(2， 1).
(2) ①见详解②存在，k= ±③线段EF的长度不会发生变化.
详解：(1)∵抛物线，
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标(2， 1).
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2；都经过A(1，0)，B(3，0)两点.
②存在实数k，使△ABP为等边三角形．
∵，∴顶点P(2，－k)．
∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB=2
要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|=，
∴k= ±.
③线段EF的长度不会发生变化.
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，
∴kx2 4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2 4x+3=8.解得：x1= 1，x2=5.
∴EF=x2 x1=6.∴线段EF的长度不会发生变化.
