学科：数学
专题：相似三角形的判定
重难点易错点解析
题一：
题面：如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）．
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
金题精讲
题一：
题面：如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为 ．
题二：
题面：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，连AC、BD相交于F，连EF．
（1）求证：AB2=4AD BC；
（2）求证：EF∥BC．
满分冲刺
题一：
题面：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，F是AD上一点，CF⊥EF于点F交AB于点E， ．求AE的长．
题二：
题面：如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G．求证：DF FC=BG EC．
题三：
题面：如图，已知边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC上的一点，问题：添加一个条件，使得△ABP与以E、C、P为顶点的三角形相似，共有几种添加方法？
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：B．
详解：根据平行四边形的性质，平行的性质和相似三角形的判定可得：△AGE∽△ABC，△BGE∽△BAF，△AEF∽△CEB，△ACB∽△CAD，△AGE∽△CDA，5对．故选B．
金题精讲
题一：
答案：3.2．
详解：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．∴．
又∵AB=5，AC=4，∴，解得AD=3.2．
题二：
答案：AB2=4AD BC；EF∥BC．
详解：证明：（1）作DH⊥BC于H，如图，
∵梯形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB，AD=BH，
∴CH=CB AD，
∵以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，
∴DA、CB都是⊙O的切线，
∴DE=DA，CE=CB，
∴DC=DA+CB，
在Rt△DHC中，DH2=DC2 CH2，
∴AB2=(AD+BC)2 (BC AD)2，
∴AB2=4AD BC；
（2）∵AD∥BC，
∴△FDA∽△FBC，
∴，
而DE=AD，EC=BC，
∴，
∴EF∥BC．
满分冲刺
题一：
答案：．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=4，
∵CF⊥EF，
∴∠EFC=90°．
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC．
∴，
∵，DC=4，
∴∠DFC=30°，
∴，
∴，
∴．
题二：
答案：DF FC=BG EC．
详解：∵∠EAB+∠BAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴tan∠BAE=tan∠DAF，
∵AB=AD，
∴DF=BE，
又∵AB∥CD，
∴，
∴BE FC=BG EC，
∴DF FC=BG EC．
题三：
答案：只有一种方法在BC上的一点使得BP=．
详解：如图
设BP=x，若△ABP∽△ECP，
得，
即，解得x=．
若△PBA∽△ECP，得
，
即，
化简得x2 2x+2=0，此方程无解，故不存在
综上，只有一种方法在BC上的一点使得BP=．
（或延长AB至M，使BM=BA，连接EM，交BC与点P，则P就是符合条件的点）学科：数学
专题：相似三角形的判定
重难点易错点解析
题一：
题面：如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
金题精讲
题一：
题面：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为 ．
题二：
题面：如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=BC；③PB=PF；④AD2=4AB DC．其中正确的是（ ）
满分冲刺
题一：
题面：如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边BC上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．
题二：
题面：如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则（ ）
A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4
题三：
题面：如图，已知E是边长为4cm的正方形ABCD内一点，且DE=3cm，∠AED=90°，DF⊥DE于D，在射线DF上是否存在这样的M，使得以C、D、M为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出满足条件的DM长；若不存在，请说明理由．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：C．
详解：选项A或B由∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC，加上∠A是公共角，根据两组对应角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；选项 D由，加上∠A是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB与△ABC相似．故选C．
金题精讲
题一：
答案：2．
详解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；
∴∠ACD=∠B=90° ∠A；
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD；
∴CD2=AD BD=8，即CD=2．
题二：
答案：①②④．
详解：连接 AE，∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
即OA OD=AB CD
∴AD2=4AB DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
满分冲刺
题一：
答案：当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
详解：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴AH：AD=EF：BC；
∵BC=10，高AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=x
∴EQ=HD=AD AH=8 x，
∴S矩形EFPQ=EF EQ=x(8 x)= x2+8x= (x 5)2+20，
∵ ＜0，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
题二：
答案：D．
详解：∵△ABC中，AD、BE是两条中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=AB．
∴△EDC∽△ABC．∴．故选D．
题三：
答案：当DM=3cm或cm时，△CDM与△ADE相似．
详解：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠AED=90°，
所以使得△CDM中有一个直角即可，
①∠DMC=90°，DM=DE=3cm，
②∠DCM′=90°，
，
cm，
故存在M点，当DM=3cm或cm时，△CDM与△ADE相似．学科：数学
专题：相似三角形的判定
重难点易错点解析
判断三角形是否相似，要注意思维的完整性．
题一
题面：如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．
金题精讲
题一
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，想一想，
(1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；
(2)求证：CD2=AD·AD；
(3)求证：AC·BC=AB·CD．
三角形相似
题二
题面：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．
求证：AB·CD=BE·EC．
圆周角定理、相似三角形
满分冲刺
题一
题面：如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB=2AD．如图乙所示，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值 最大值是多少
相似多边形、二次函数
题二
题面：已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC．试求AF与FB的比．
利用平行线构造相似三角形
题三
题面：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．
图13－2
相似三角形的判定
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：6对．
金题精讲
题一
答案：利用三角形相似证明．
题二
答案：提示：连结AE、ED，证△ABE∽△ECD．
满分冲刺
题一
答案：时，S的最大值为．
题二
答案：．
题三
答案：如图13－3．
图13－3
∵AB⊥BC，PB⊥BF，
∴∠ABP=∠CBF．
当，即，BM1=3时，△CBM1∽△ABP．相似比k=1．
当即时，△CBM2∽△PBA．相似比．
∴当BM=3或时，以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，相似比分别为1和．
