学科：数学
专题：相似三角形的性质
重难点易错点解析
题一：
题面：两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=12，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积．
金题精讲
题面：如图△ABC中，AD为△ABC的角平分线，求证：AB DC=AC BD．
满分冲刺
题一：
题面：如图，Rt△ABC中，有三个正方形，DF=9cm，GK=6cm，则第三个正方形的边长PQ= ．
题二：
题面：已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=4，CD=6，BC=14，P为BC上一点，试问BP= _________2或12或5 时，△ABP与△PCD相似．
题三：
题面：如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c．
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF；
（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：42．
详解：∵AB=12，
∴DE=12，
又∵DH=3，
∴HE=12 3=9，
∵HE∥AB，
∴，
即，
故EC=12，
∴S△DEF=DE EF=×12×(4+12)=96；
S△HEC=HE EC=×9×12=54；
∴S阴影部分DHCF=96 54=42．
金题精讲
答案：AB DC=AC BD．
详解：过C作CE∥AB交AD延长线于E，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵CE∥AB，
∴∠1=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AC=CE，
∴，
∴AB DC=AC BD．
满分冲刺
题一：
答案：4cm．
详解：由已知可得PK∥EF∥AC，
∴△QPK∽△KGF∽△FDA，
∴由相似三角形的性质和正方形的性质可得：
，
又∵PK=KG QP，GF=DF GK，DF=9cm，GK=6cm，
∴
即，解得QP=4cm．
题二：
答案：2或12或5.6．
详解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，
∴∠C=∠B=90°，设BP=x，
当PB：DC=AB：PC时，△PAB∽△DPC，
∴，解得BP=2或12；
当PB：PC=AB：DC时，△PAB∽△PDC，
∴，
解得x=5.6；
解得BP=2或12或5.6．
题三：
答案：；DG平分∠EDF；BG⊥CG．
详解：（1）∵D、E、F分别是△ABC三边中点，∴DE=AB，DF=AC．
又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，
∴BG=AC+AG．
∵BG=AB－AG，∴．
（2）证明：，，
∴FG=DF．∴∠FDG=∠FGD．
又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD．∴∠FDG=∠EDG．
∴DG平分∠EDF．
（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形．
∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形．
∴∠B=∠BGD．∴BD=DG．
∴CD= BD=DG．∴B、G、C三点共圆．
∴∠BGC=90°．∴BG⊥CG．学科：数学
专题：相似三角形的性质
重难点易错点解析
题一：
题面：如图，把△ABC沿着AB的方向平移到△A′B′C′的位置，使它们重叠部分的面积（图中阴影）是△ABC面积的四分之一，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′等于
。
金题精讲
题面：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为 ．
满分冲刺
题一：
题面：如图，在Rt△ABC内画有边长依次为a，b，c的三个正方形，则a，b，c之间的关系是（ ）
题二：
题面：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，DE⊥AC于E点．
（1）△ABC与△EDA相似吗？说明理由；
（2）若AB=6，BC=10，AD=DC，求线段DE的长．
题三：
题面：如图，点E是线段BC的中点，分别以B、C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．
（1）AE和ED的数量关系为 ，AE和ED的位置关系为 ；
（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD得到图2．在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：1．
详解：∵把△ABC沿着AB的方向平移到△A′B′C′的位置，
∴AC∥A′C′，
∴△A′OB∽△ACB，
∵重叠部分的面积A′OB是△ABC面积的四分之一，
∴，
∵AB=2，
∴A′B=1．AA′是1．
金题精讲
答案：AB=3．
详解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．∴．
∵△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，∴△ABC的面积为9．
又∵AE=2，∴，解得：AB=3．
满分冲刺
题一：
答案：b2=ac．
详解：根据条件可以得到△EFG∽△GHD，
得到：EF：HG=FG：HD
而EF=a b，FG=b，HG=b c，HD=c，
则(a b)：(b c)=b：c，
则得到：b2=ac．
a，b，c之间的关系是b2=ac．
题二：
答案：△ABC∽△EDA；DE=3．
详解：（1）△ABC与△EDA相似，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ACB，
∵∠BAC=90°，DE⊥AC，
∴∠AED=∠BAC=90°，
∴△ABC∽△EDA；
（2）①在Rt△BAC中，AB=6，BC=10，由勾股定理得：AC=8，
∵AD=DC，DE⊥AC，
∴AE=CE=AC=4，
∵△ABC∽△EDA，
∴，
∴，
∴DE=3
题三：
答案：（1）AE=ED，AE⊥ED；（2）GH=HD，GH⊥HD．
详解：（1）AE=ED，AE⊥ED．
（2）由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
∵△EGF与△EAB的相似比1：2，
∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB．
∴∠GFE=∠C．∴EH=HC=EC．
∴GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD．
∴△HGF≌△DHC（SAS）∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
∵∠HDC+∠DHC=90°，∴∠GHF+∠DHC=90°．∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．学科：数学
专题：相似三角形的性质
重难点易错点解析
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
题一
题面：如图，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P＇Q＇R＇的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ=，则此三角形移动的距离PP＇是( )．
A． B． C．1 D．
金题精讲
题一
题面：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线．
(1)求证：AD2=CD·AC；
(2)若AC=a，求AD．
相似三角形的性质、黄金三角形
满分冲刺
题一
题面：如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是( )．
A．b=a＋c B．b=ac
C．b2=a2＋c2 D．b=2a=2c
相似三角形的性质
题二
题面：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=3，BC=11，DC=6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．
相似三角形的性质
题三
题面：(1)如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：．
(2) 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．
相似三角形综合
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：D
金题精讲
题一
答案：(1)提示：证△ABC∽△BCD；(2)．
满分冲刺
题一
答案：A
如图，
易知∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，∠3＋∠4=90°，
∴∠1=∠3，即∠1十∠4=90°．
∵∠FDE＋∠4=90°，
∴∠FDE=∠1．
∴△DEF∽△HGM．
∴．
而EF=b a，DE=a，HG=b c，GM=c，
即，得ac=(b a)(b c)．
整理可知b(a＋c)=b2，而b≠0，∴a＋c=b．
题二
答案：BP=2，或，或9．
当BP=2时，S△ABP∶S△PCD=1∶9；
当时，S△ABP∶S△DCP=1∶4；
当BP=9时，S△ABP：S△PCD=9∶4．
题三
答案：(1)证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴DP/BQ=AP/AQ．
同理在△ACQ中，EP/CQ=AP/AQ．
∴DP/BQ=EP/CQ．
(2)．
(3)证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC．
∴DG/CF=BG/EF，
∴DG·EF=CF·BG
又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF·BG
由(1)得DM/BG=MN/GF=EN/CF∴(MN/GF)2=(DM/BG)·(EN/CF)
∴MN2=DM·EN．
