浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期数学期中练习1
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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4. 四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 设点，，直线l过点且与线段AB不相交，则l的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
6. 设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为
A. B. C. D. 2
7. 已知空间直角坐标系中有一点，点 是平面内的直线上的动点，则，两点间的最短距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：
9．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ）
A．∥ α∥β B．⊥ α⊥β
C．∥ l∥α D．⊥ l∥α
10.下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．过、两点的所有直线的方程为
D．若两直线与平行，则
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
12.如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．与向量共线的单位向量是__________________________________．
14. 将直线l：向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线，则直线l与之间的距离为__________．
15. 椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆的周长为，两点的坐标分别为，，则__________．
16.已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知空间三点，设.
（1）的夹角的余弦值；
（2）若向量互相垂直，求实数的值；
（3）若向量共线，求实数的值.
18.已知直线的方程为点的坐标为.
(1)证明：直线一定经过第一象限；
(2)设直线与轴 轴分别交于，两点，当点到直线的距离取得最大值时，求的面积.
19．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
20. 已知圆经过点，，从下列3个条件选取一个_______
①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．
22. 已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点.
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期数学期中练习1参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
1．【答案】C
【解析】.
故选：C
2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.【答案】C
【解析】当时，：，即；：，
即，两直线的斜率相等，所以，即“”是“”的充分条件；
当时，，解得或，当时，两直线方程不同，符合题意，
当时，：，：即，不符合题意，
所以，当时，，即“”是“”的必要条件，
综上所述，“”是“”的充要条件．故选：C．
3. 如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3.【答案】B
【解析】如图，
记点E为BC的中点，连接AE，OE，所以，
又G是的重心，则，所以.
因为，
所以
.
4. 四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.【答案】A
【解析】四面体满足，即两两垂直，
以点O为原点，以射线的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
因为，，则，
于是，，
所以点到直线的距离.
故选：A
5. 设点，，直线l过点且与线段AB不相交，则l的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
5.【答案】C
【解析】直线方程为，即，直线方程为，
由，解得，
由，得，此时直线与线段有公共点，
所以直线与线段不相交时，或．
故选：C．
6. 设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为
A. B. C. D. 2
6.【答案】C
【解析】
将化为：，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
圆上的点到直线的最小距离，
最大值为到直线的距离，即
则．
故选：．
7. 已知空间直角坐标系中有一点，点 是平面内的直线上的动点，则，两点间的最短距离是（ ）
A. B. C. D.
7.【答案】B
【解析】点是平面内的直线上的动点，
可设点，由空间两点之间的距离公式，
得，
令，
当时，的最小值为，
所以当时，的最小值为，即两点的最短距离是，
故选：B.
8. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A. B. C. D.
8.【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.
9．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ）
A．∥ α∥β B．⊥ α⊥β
C．∥ l∥α D．⊥ l∥α
9．【答案】AB
【解析】为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），
则∥ α∥β，⊥ α⊥β，∥ l⊥α，⊥ l∥α或l α.
因此AB正确.
故选：AB.
10．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．过、两点的所有直线的方程为
D．若两直线与平行，则
10．【答案】ABC
【解析】对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得或.
因为 ，所以，“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错；
对于B选项，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，B错；
对于C选项，当或，方程无意义，C错；
对于D选项，若直线与平行，
则，整理可得，解得或.
当时，，，两直线重合，不合乎题意；
当时，，，两直线平行，合乎题意，D对.
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
11.【答案】BC
【解析】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误；
对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，正确；
对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得，
曲线化为标准式得，
所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确；
对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误；
故选：．
12．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
12.【答案】BC
【解析】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
，设
∴直线D1P与AC所成的角为，故A错误；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，
∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，
∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正确；
对于C，，P到平面CDD1的距离BC＝1，
∴三棱锥D1﹣CDP的体积：
为定值，故C正确；
对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误；
故选：BC．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．与向量共线的单位向量是__________________________________．
14．【答案】和
【解析】设，则
所以与共线的单位向量为
或，
故答案为：和
14. 将直线l：向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线，则直线l与之间的距离为__________．
14.【答案】
【解析】【详解】由题意可得，直线的方程为，即，则直线与之间的距离.
故答案为.
15. 椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆的周长为，两点的坐标分别为，，则__________．
15.【答案】
【解析】在椭圆中，．
∵的内切圆的周长为，∴内切圆的半径为．
由椭圆的定义得的周长为，
又
且，∴，
解得．
答案：．
点睛：本题的解答中运用了数学中“算两次”的方法，即从两个不同的角度分别求出了的面积，从而建立了关于的关系式，使得问题得以求解．对于圆锥曲线的问题，一定要注意定义的运用，这样可简化解题过程中的推理和运算．
16.已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.
16.【答案】
【解析】设圆的圆心为，半径为，则圆的方程为，
即，
因为圆，所以与的公共弦所在直线的方程为，即，
因为与的公共弦所在直线的方程为，所以，解得，，故圆的方程为，故答案为：.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知空间三点，设.
（1）的夹角的余弦值；
（2）若向量互相垂直，求实数的值；
（3）若向量共线，求实数的值.
17.【答案】（1）；（2）或；（3）或.
【解析】（1）已知空间三点，
（2）若向量互相垂直，
又，则
解得：或
（3）向量共线，又
当时，
当时，，成立，
当时，，不成立，
故：或
18.已知直线的方程为点的坐标为.
(1)证明：直线一定经过第一象限；
(2)设直线与轴 轴分别交于，两点，当点到直线的距离取得最大值时，求的面积.
18. 【答案】(1) 见证明；(2)4.
【解析】(1)直线：，整理可得：，
∴直线恒过和的交点，即直线恒过定点在第一象限，
∴直线一定经过第一象限；
(2)由（1）可得：直线恒过定点，
当与垂直时，到直线的距离最大，为，
又，故直线的斜率为，即，可得，
直线的方程为：，
令得：；令得：，即，，
∴，
∴.
19．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由菱形的性质可知，
由线面垂直的定义可知：，且，
由线面垂直的判定定理可得：直线平面；
(Ⅱ)以点A为坐标原点，AD,AP方向为y轴,z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
则直线PB的方向向量，很明显平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，.
20. 已知圆经过点，，从下列3个条件选取一个_______
①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
20.【答案】（1）；（2）.
【解析】选①设圆的方程为，，
由题意可得，解得，
则圆E的方程为即；
选②，直线恒过（1,0）
而圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心为（1,0），可设圆的标准方程为
由圆经过点，得
则圆E的方程为；
选③，：圆E的方程为；
由题意可得，解得，
则圆E的方程为；
（2）因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得：，
所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为.
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，
由解得，
所以M的轨迹方程为：
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．
21．【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，
∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），
（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），
设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，
则cosθ，
∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．
（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），
设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），
解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），
（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），
设平面APC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，），
平面ADP的法向量（1，0，0），
∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，
∴|cos|，
解得，∴P（0，，），
∴PF的长度|PF|．
22. 已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点.
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.
22.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】（1）由题意知：，，
又，则以为圆心且过的圆的半径为，
故，所以椭圆的标准方程为：.
（2）（ⅰ）设直线的方程为：，
将代入得：，
所以且，
故.
又，
点到直线的距离，
所以，
等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为.
（ⅱ）显然直线的斜率一定存在，
设直线的方程为：，，
由（ⅰ）知：
所以，
所以，
解得，，直线过定点或，
所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，
所以存在定点或，使得为定值.
