学科：数学
专题：锐角三角函数
重难点易错点解析
题面：在Rt△ABC中，∠C 90°，AB 13，AC 12，则cosB ，tanB .
金题精讲
题面：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD 5，AC 6，则tanB的值是( )
A． B． C． D．
满分冲刺
题一：
题面：小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是( )
A.+1 B. +1 C. 2.5 D.
题二：
题面：当锐角A＞60°时，∠A的正弦值( )
A．小于 B．大于 C．小于 D．大于
题三：
题面：若sinα+cosα ，则(sinα cosα)2 .
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：
详解：∵Rt△ABC中，∠C 90°，AC 12，AB 13，
∴BC ．
∴cosB ，
tanB ．
金题精讲
答案：C.
详解：∵CD是斜边AB上的中线，CD 5，∴AB 2CD 10.
根据勾股定理，.
∴.故选C.
满分冲刺
题一：
答案：B.
详解：设AB x，则BE x，在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE EF x，于是BF (+1)x，在直角三角形ABF中，tan∠FAB +1 tan67.5°，选B.
题二：
答案：B.
详解：∵sin60° ，当锐角变大时，它的正弦值也变大，
∴当锐角A＞60°时，∠A的正弦值大于．故选B．
题三：
答案：0.
详解：因为sinα+cosα ，所以2sinαcosα 1，
(sinα cosα)2 1 2sinαcosα 1 1 0.学科：数学
专题：锐角三角函数
重难点易错点解析
题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
金题精讲
题面：已知：如图,△ABC中,∠B＝30°,P为AB边上一点,PD⊥BC于D．当BP∶PA＝2∶1时, 求sin∠1、cos∠1、tan∠1.
满分冲刺
题一
题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠BAC＝30°,延长CA至D点,使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法,求tan22.5°．
题二
1.题面：已知：如图,∠AOB＝90°,AO＝OB,C、D是上的两点,∠AOD＞∠AOC,求证：
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
2.题面：已知：如图,CA⊥AO,E、F是AC上的两点,∠AOF＞∠AOE．
(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．
题三
化简：(其中0°＜＜90°)
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：
金题精讲
答案：
满分冲刺
题一
答案：(1)∠D＝15°,∠DBC＝75°；
(2)
(3)
题二
答案：1.(1)略 (2)略 (3)增大 (4)减小
2.(1)略 (2)增大．
题三
答案：学科：数学
专题：锐角三角函数
重难点易错点解析
题面：已知：如图，△ABC中，AC 10，sinC ，sinB ，求AB．
金题精讲
题面：如图，在Rt△ABO中，斜边AB 1．若OC∥BA，∠AOC 36°，则( )
A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
满分冲刺
题一：
题面：如图，△ABC中，∠C 90°，点D在AC上，已知∠BDC 45°，BD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，AB 20，求∠A的度数.
题二：
题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；
(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
题三：
题面：已知cosα+cosβ ，sinα+sinβ ，则cos(α β) ______
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：24．
详解：作AD⊥BC于D点，如图所示，
在Rt△ADC中，AC 10，sinC ，
∴AD ACsinC 10× 8，
在Rt△ABD中，sinB ，AD 8，
则AB 24．
金题精讲
答案：C.
详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：
A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长.
∵AB∥OC，∴∠BAO ∠AOC 36°.
在Rt△BOA中，∵∠AOB 90°，AB 1，
∴BO ABsin36° sin36°.故本选项错误.
B、由A可知，选项错误.
C、如图，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离.
在Rt△BOA中，∵∠BAO 36°，∠AOB 90°，∴∠ABO 54°.
∴AO AB sin54° sin54°.
在Rt△ADO中， AD AO sin36° AB sin54° sin36° sin54° sin36°.故本选项正确.
D、由C可知，选项错误.故选C.
满分冲刺
题一：
答案：∠A 30°.
详解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC 45°，BD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
∴BC BD sin∠BDC .
∵∠C 90°，AB 20，∴.
∴∠A 30°.
题二：
答案：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，
cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．
详解：(1)由图①，知
sin∠B1AC1 ，sin∠B2AC2 ，sin∠B3AC3 ．
∵AB1 AB2 AB3且B1C1＞B2C2＞B3C3，
∴＞＞．
∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3．
而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3，
而对于cos∠B1AC1 ，
cos∠B2AC2 ，
cos∠B3AC3 ．
∵AC1＜AC2＜AC3，
∴cos∠B1AC1＜cos∠B2AC2＜cos∠B3AC3．
而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3．
由图②知sin∠B3AC ，
∴sin2∠B3AC ．
∴1 sin2∠B3AC 1 ．
同理，sin∠B2AC ，1 sin2∠B2AC ，
sin∠B1AC ，1 sin2∠B1AC ．
∵AB3＞AB2＞AB1，∴<<．
∴1 sin2∠B3AC＜1 sin2∠B2AC＜1 sin2∠B1AC．
∴sin2∠B3AC＞sin2∠B2AC＞sin2∠B1AC．
∵∠B3AC，∠B2AC，∠B1AC均为锐角，
∴sin∠B3AC＞sin∠B2AC＞sin∠B1AC．
而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC．
而对于cos∠B3AC ，
cos∠B2AC ，
cos∠B1AC ．
∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＜＜．
∴cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC．
而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC．
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
(2)由(1)知
sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，
cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．
题三：
答案： ．
详解：已知等式平方得：(cosα+cosβ)2 cos2α+2cosαcosβ+cos2β ①，
(sinα+sinβ)2 sin2α+2sinαsinβ+sin2β ②，
①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ) 1，
即cosαcosβ+sinαsinβ ，
则cos(α β) cosαcosβ+sinαsinβ ．
