学科：数学
专题：三角函数综合问题
重难点易错点解析
题面：一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，试求CD的长.
金题精讲
题面：如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．(结果保留根号)
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
满分冲刺
题一：
题面：在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，则在等式：①AB2=BD BC；②AC2=BC CD；③AD2=BD DC；④AB AC=AD BC中，正确的有 ①②③④ (填序号)．
题二：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AD=AC=9，DE⊥CD交BC于点E，tan∠DCB=，则BE= ．
题三：
题面：如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
(1)求证：BE与⊙O相切；
(2)连结AD并延长交BE于点F，若△ABF的面积为，sin∠ABC=，求⊙O的半径．
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：12－.
详解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
∴BC=AC=，∠ABC=45°.
∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=45°.
∴BM=BC×sin45°= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，CM=BM=12.
在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，∴∠EDF=60°.
∴MD=BM÷tan60°=.∴CD=CM－MD=12－ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
金题精讲
答案：；.
详解：∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°.
∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°.
∴ ∠A＝∠DBC＝36°.
又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC.∴
设AD＝x，则BD＝BC＝x．则，解得：x＝(舍去)或.
∴x＝ .
如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝AB＝.
在Rt△AED中，cosA＝＝＝.
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满分冲刺
题一：
答案：①②③④
详解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，
∴△ABD∽△CBA，△ADC∽△BAC，△ABD∽△CAD，
∴AB：BD=BC：AB，AC：BC=CD：AC，AD：BD=DC：AD，AB：AD=BC：AC．
∴得到：①AB2=BD BC；②AC2=BC CD；③AD2=BD DC；④AB AC=AD BC．
∴正确的有①②③④．
题二：
答案：3．
详解：过A作AM⊥DC于M，EN∥CD交AB于N，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，CM=CD，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DCE+∠DEC=90°，∠BDE+∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠DEC，∠BDE=∠DCE，
∵EN∥CD，∠CDE=90°，
∴∠DEN=90°，
∵tan∠DCE==，
∴DE=CD，tan∠BDE==，
∴EN=CD，
∵CM=CD，DE=CD，
∴DE=CM，
在△CDE和△AMC中
∵∠AMC＝∠EDC，CM＝DE，∠ACM＝∠DEC，
∴△CDE≌△AMC
∴EC=AC=9，
∵EN∥CD，
∴△BNE∽△BDC，
∴==，
∴，
∴BE=3
题三：
答案：(1)见详解；(2)圆O的半径为3．
详解：(1)证明：连接OC，则OC⊥CE，即∠DCO+∠DCE=90°，
∵OB=OC，
∴∠DCO=∠DBO，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∵在△CDE和△BDE中，
CD＝BD，∠CDE＝∠BDE＝90°，DE＝DE
∴△CDE≌△BDE(SAS)，
∴∠DCE=∠DBE，
∴∠DBO+∠DBE=90°，即BE与圆O相切；
(2)过D作DG⊥AB，可得∠DGB=90°，即∠GDB+∠ABC=90°，
∵∠ODB=90°，
∴∠ODG+∠GDB=90°，
∴∠ABC=∠ODG，
∵∠DGA=∠FBA=90°，
∴DG∥FB，
∴△ADG∽△AFB，
设OB=r，
∵sin∠ABC=sin∠ODG=，
∴OD=OBsin∠ABC=r，OG=ODsin∠ODG=r，
在Rt△OGD中，由勾股定理得：DG=r，
又AG=AO+OG=r+r=r，
△ADG∽△ABF，
∴=，
即，
∴BF=，
∵S△ABF=AB BF==，解得：r=3，
∴圆O的半径为3．学科：数学
专题：三角函数综合问题
重难点易错点解析
题面：已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC的周长.(结果保留根号)
金题精讲
题面：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ．
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
满分冲刺
题一：
题面：如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD= ．
题二：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC= ．
题三：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．
(1)求证：BD=BF；
(2)若BC=6，AD=4，求sinA的值．
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：6+2
详解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠BAC=90°，∴∠C=30°，∵sinC=，∴BC==4， ∵cosC=，∴AC=BC·cosC=2，∴△ABC的周长是6+2．
金题精讲
答案：12.
详解：∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°.∴四边形FCGE是矩形.
∴FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，∴∠BEG=∠A=45°=∠B.∴EG=BG.
同理AF=EF，∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12.
满分冲刺
题一：
答案：
详解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，
∴AB=．
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A=．
题二：
答案：8．
详解：设DE为x，则CD=x，AC=9 x，
∵sinB=，
∴BD=x，
tanB=，
∴，，
解得x=3，
∴BC=x+x=8．
题三：
答案：(1)见详解(2)
详解：(1)证明：连结OE．
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∵∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F
∴BD=BF
(2)解：设⊙O半径为r，由(1)知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴＝，
即，
∴r2 r 12=0，
解之得r1=4，r2= 3(舍去)．
在Rt△AOE中，
∴sinA=．学科：数学
专题：三角函数综合问题
重难点易错点解析
题面：已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝
30°，AB＝2a．求BC的长．
金题精讲
题一
题面：在中，AB=AC，点E在AC上，且点D在AB上，
且连结DE、BE，求证：
满分冲刺
题一
题面：如图所示，在中，，过C作于D.
求证：
题二
题面：如图所示，在中， ， .
求证：.
题三
题面：已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）连结并延长交于点，若，求的长．
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：．
金题精讲
题一
答案：略
满分冲刺
题一
答案：略
题二
答案：略
题三
答案：（1）略（2）
C
A
B
E
