(共19张PPT)
1.2 直角三角形（1）
勾股定理与它的逆定理的证明
复习回顾
曾经探索过的直角三角形的哪些性质和判定方法？
直角三角形的性质
1.在直角三角形中，两锐角互余.
2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角
边等于斜边的一半.
4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角
边所对的角等于30°.
直角三角形的判定
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.
2.有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是直角三角形.
驶向胜利的彼岸
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
开启 智慧
a
c
b
勾
弦
股
驶向胜利的彼岸
勾股定理的证明
我能行
1
方法一: 拼图计算
方法二：割补法
方法三：赵爽的弦图
方法四：总统证法
方法五：青朱出入图
方法六：折纸法
方法七：拼图计算
这些证法你还能记得多少 你最喜欢哪种证法
总统证法
回顾反思
1
驶向胜利的彼岸
这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。
图中三个三角形面积的和是
2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;
比较可得:c2 = a2+b2 。
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 ．
勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！
a
b
a
b
c
c
驶向胜利的彼岸
勾股定理的逆定理
我能行
2
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
(1)
驶向胜利的彼岸
逆定理的证明
我能行
2
证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
(1)
a
c
b
B′
A′
C′
(2)
A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).
∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图),
∴ AB2=A′B′2(等式性质).
∴ AB=A′B′(等式性质).
∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS).
∴ ∠A=∠A′＝ 900(全等三角形的对应边).
∴ △ABC是直角三角形(直角三角形意义).
几何的三种语言
回顾反思
1
′
驶向胜利的彼岸
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
这是判定直角三角形的根据之一.
在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).
a
c
b
A
B
C
(1)
驶向胜利的彼岸
命题与逆命题
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形
观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系 与同伴交流.
再观察下面三组命题:
如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;
如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗 与同伴进行交流.
开启 智慧
驶向胜利的彼岸
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
开启 智慧
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗
它们都是真命题吗
想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题
驶向胜利的彼岸
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
开启 智慧
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
你还能举出一些例子吗
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
蓄势待发
隋堂练习
1
′
驶向胜利的彼岸
老师提示:
你是否能将有关命题的知识予以整理.
说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假:
四边形是多边形;
两直线平行,同旁内角互补;
如果ab=0,那么a=0,b=0.
请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.
学无止境
读一读
1
勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多种说明！
古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.
驶向胜利的彼岸
P16《读一读》：
勾股定理的证明.
学无止境
读一读
1
历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。
驶向胜利的彼岸
P16《读一读》：
勾股定理的证明.
学无止境
读一读
1
学习永远是件快乐而有趣的事！
勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！
驶向胜利的彼岸
P16《读一读》：
勾股定理的证明.
梦想成真
试一试
2
1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.
试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少
●
A
B
●
30
12
12
回味无穷
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
小结 拓展
知识的升华
独立
作业
P17习题1.5 1,2,3题.
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
下课了!§1.2 直角三角形（一）
教学目标
进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
了解勾股定理及其逆定理的证明方法.
结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
教学重点和难点
重点：勾股定理及其逆定理
难点：结合具体例子了解逆命题的概念
教学方法 观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法
教学手段 多媒体课件
教学过程
从学生原有的认知结构提出问题
上学期，我们学习了命题和定理。表示判断的句子就是命题，经过证明的真命题称为定理。
复习练习
每个命题都是由 、 两部分组成。命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 。
“对顶角相等”是 （填“真”、“假”）命题；“我们是小学生” 是 命题。
把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 。
如图，△ABC是Rt△，根据勾股定理可得： 。
师生共同研究形成概念
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？
定理：直角三角形的两个锐角互余.
定理：有两个角是互余的三角形是直角三角形.
勾股定理
以前，我们曾经利用数方格和图形割补的方法验证了勾股定理，而此处的勾股定理要通过证明推理才能得出其正确性。勾股定理的证明方法有很多，证明过程放在课后的“读一读”。
定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理是在三角形为直角三角形的前提下描绘三边之间关系的，利用勾股定理，已知直角三角形的两边可求第三边。
练习：直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说有一定的难度，因此，只要学生能接受证明的方法和过程即可。
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
练习：如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。
讲解例题
如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA∥DC。
分析：利用勾股定理的逆定理，证明∠D是直角，再根据同旁内角互补，两直线平行解决。
4、互逆命题
☆ 议一议 书本P 15 议一议
勾股定理和勾股定理的逆定理中的条件和结论是互换的。
通过几对数学和生活中的命题，让学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，要求学生归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念。
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
注意：
互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题。
一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假。
练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1、初三（6）班有62位同学； 2、等边对等角；
3、对顶角相等； 4、平行四边形的两组对边相等；
5、正方形的四条边都相等；
5、互逆定理
☆ 想一想 书本P 16 想一想
这个命题的条件和结论都比较明显、简单，写出其逆命题对学生来说应该没有什么问题，关键是让学生验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致。
一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
练习：找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。
1）矩形是平行四边形 2）内错角相等，两直线平行
3）如果，则 4）全等三角形对应角相等
5）对顶角相等
随堂练习
书本 P 16 随堂练习 1
小结
互逆命题和互逆定理的联系和区别。
作业
书本 P 17 习题1.5 1
演示作图过程，让学生易理解1.2 直角三角形（一）
学习目标：
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
学习过程：
前置准备
角
1、直角三角形的两个锐角 ；
2、有两个角互余的三角形是 .
边
1、说出你知道的勾股数
2、勾股定理的内容是：_____________________________;
它的条件是：______________________________________;
结论是：__________________________________________。
二、自主学习：
将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：
下面试着将上述命题证明：
已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2
求证：△ABC是直角三角形。
得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形。
三、合作交流：
1、观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们 是对顶角。
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
（3）三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________。
2、阅读课本P16“想一想”，回答下列问题：
①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？
②什么是互逆定理？
③是否任何定理都有逆定理？
④ 思考我们学过哪些互逆定理？
四、归纳总结：1、勾股定理和逆定理的内容分别是什么？
2、什么是互逆定理，什么是互逆命题？
五、当堂训练：
1、判断
A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。（ ）
B：命题正确时其逆命题也正确。（ ）
C：直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。（ ）
2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5
④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④
课下训练：
1、以下命题的逆命题属于假命题的是（ ）
A：两底角相等的两个三角形是等腰三角形。
B：全等三角形的对应角相等。
C：两直线平行，内对角相等。
D：直角三角形两锐角互等。
2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是 。
3、若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为（ ， ）
4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。
5、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
A：五边形是多边形。
B：两直线平行，同位角相等。：
C：如果两个角是对顶角，那么它们相等。
D：如果AB=0，那么A=0，B=0。
6、公园中景点A、B间相距50m，景点A、C间相距40m，景点B、C间相距30m，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？
7、台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8m处，已知旗杆原长16m，则旗杆在距底部几米处断裂。
8、小明将长2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7m，如果梯子的顶端垂直下滑0.4m，那么梯子的底端B将向外移动多少米。
中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？
