(共23张PPT)
线段的垂直平分线(1)
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分
线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明
这一结论吗
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
A
C
B
P
M
N
分析：要想证明PA=PB,可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等.也就是想办法证明△APC≌△BPC.而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS).故结论可证.
你能写出它的证明过程吗？
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
A
C
B
P
M
N
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
几何语言描述
老师提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一.
A
C
B
P
M
N
如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
深入思考：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点距离相等”的逆
命题吗
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗 如果是,请你证明它.
思考分析
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上.
分析:要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点,),然后证明另一个结论正确.
试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？
A
B
P
方法一：
过点P作PC⊥AB,垂足为C
∵PC⊥AB
∴△APC和△BPC都是Rt△ ∵PC=PC,PA=PB
∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)
∴AC=BC(全等三角形的对应边相等)
∴ P在AB的垂直平分线上
A
C
B
P
方法二：
把线段AB的中点记为C,连接PC
∵C为AB的中点
∴AC=BC
∵PA=PB,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SSS)
∴∠PCA=∠PCB=90°
∴PC⊥AB
即P在AB的垂直平分线上
A
C
B
P
.
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
A
B
P
练一练
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他证明方法吗？
加强练习：
1，如图,已知AB是线段CD的
垂直平分线,E是AB上的一
点,如果EC=7cm,那么ED=
cm;如果∠ECD=600,那
么∠EDC= 0.
老师期望:你能说出填空结果的根据.
E
D
A
B
C
7
60
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
B
A
E
D
C
分析提示：这是一道计算题，题目中出现了线段垂直平分线，你首先应该想到我们刚刚学习的有关线段垂直平分线的性质，得出相关的结论，再结合已知的三角形的周长，将两个条件有机结合，进行转化，得出最后的结果.
试一试：你能独立完成这道题目吗？
解：∵DE为AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长等于50
∴BE+EC+BC=50
即：AE+EC+BC=50
∴AC+BC=50
∵AC=27
∴BC=23
比一比：你的写作过程完整吗？
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一点.
求证：PB=PC
P
B
D
C
A
解：∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一点.
求证：PB=PC
P
B
D
C
A
深入探索：你还有其他的证明方法吗？
拓广探索：已知：如图，点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，MN交AB于O，OB=4cm，∠APB+3∠ABP=210°，求点B到AP的距离.
M
A
B
P
N
∟
C
∟
0
今天你收获了什么？
1、线段垂直平分线的定理及证明
2、线段垂直平分线的逆定理及证明
3、两个定理之间的区别与联系
独立
作业
习题1.7 1,2,4题.
祝你成功！
条理清晰，因果相应,言必有据,是初学证明者谨记和遵循的原则.3．线段的垂直平分线(一)
一、学生知识状况分析
学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。
二、教学任务分析
在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位：
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果
教学重点、难点
重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应用 ；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。
第一环节：创设情境，引入新课
教师用多媒体演示：
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．
线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗 ”
第二环节：性质探索与证明
教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)． ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
教师用多媒体完整演示证明过程．
第三环节：逆向思维，探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”
写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
引导学生分析证明过程，有如下四种证法：
证法一：
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．
∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴P在AB的垂直平分线上．
从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，
我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．
第四环节：巩固应用
在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。
例题：
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
第五环节：随堂练习
课本P23；习题1.7：第1、2题
第六环节：课堂小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？
第七环节：课后作业
习题l.7 第3、4题
四、教学反思
在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．学科导学案
年级 八年级 授课教师 年级主任签名 备课组长签名 编号
自主预习什么是线段的垂直平分线？2.如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 课题：1.3线段的垂直平分线（一） 课型：新授课 主备人： 审核人： 时间：学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．(重难点） 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识. 3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果. 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上．证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，
二、合作探究探究一：线段的垂直平分线的性质定理性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．定理运用时的数学语言：∵ ∴ 探究二：线段的垂直平分线的判定定理 你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
导学案
即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． ∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上．线段垂直平分线的判定定理： 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．判定定理运用时的数学语言： ∵ ∴ 例题：已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。三.当堂检测1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线，则（1）BD = ；（2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °， ∠DAC = °。（3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ， △ACD的周长为 。 2.如图，△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，DE为AB的中垂线，则∠1 = °，∠C = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABC的周长为16cm，BC = 4cm，则AC = ，△BCE的周长为 。3.如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm，△ABD的周长是13cm，求△ABC的周长.四．课堂小结引导学生对于本节课的收获进行 总结．
教学反思
