(共33张PPT)
线段的垂直平分线(2)
一 回顾与思考
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等
老师提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一.
N
A
C
B
P
M
如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
A
B
P
已知:线段AB,（如图）.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
回顾思考：
用尺规作线段的垂直平分线.
1.分别以点A和B为圆心,以大AB/2 长为半径作弧,两弧交于点C和D.
A
B
C
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
想一想：请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.
特别提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以以后我们经常也会用这种方法作线段的中点.
二 学习新知
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.
观察这三条垂直平分线,你发现了什么
结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗
你能证明这个命题吗
老师期望:
你能写出规范的证明过程.
利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么 与同伴交流.
结论:三角形三条边的垂直平分线相交 于一点.
你想证明这个命题吗
你能证明这个命题吗
老师期望:
你能写出规范的证明过程.
如何证三条直线交于一点？
命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点。要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB .
同理,PB=PC.
∴PA=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上,
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.
A
B
C
P
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直平分线的定理以及逆定理的几何语言的表示方法，你能把这个定理也用几何语言表示出来吗？
试一试：你能独立完成这个写作过程吗？
老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据.
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).
A
B
C
P
a
b
c
三 挑战自我
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗
如果能,能作出几个 所作出的三角形都全等吗
老师期望:你能亲自探索出结果并能用尺规作出图形.
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个
例题
已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.
已知:线段a,h(如图).
a
h
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
老师期望:你能独立写出作法.
请你写出作法.
作法:
（1）作线段BC=a(如图)
（2）作线段BC的垂直平分线m，
交BC于点D
（3）在m上作线段DA，使DA=h
（4）连接AB,AC
△ABC为所求的等腰三角形
h
a
B
C
A
D
m
已知直线 l 和 l 上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P．
已知：直线l和l上一点P．
求作：PC⊥ l ．
作法：1、以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
l
P
A
B
C
做一做
四 学以致用
1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰三角形.这个等腰三角形有什么特征
老师提示:先分析,作出示意图形,再按要求去作图.
2.如图，已知△ABC，求作：
（1）AC边上的高；（2）BC边上的高.
A
B
C
老师提示:钝角三角形中三边的高的情况.
3.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等.
老师期望:养成用数学解释生活的习惯.
P●
Q●
R●
P●
Q●
R●
(1)
(2)
(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置;
(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置
(3).你对上述建议有何评论 你对选址有什么建议
P●
Q●
R●
P●
Q●
R●
(1)
(2)
4,如图，某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于 一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了三种连接方案：
（1）AB+BC
（2）AD+BC(D为BC的中点)
（3）OA+OB+OC(O 为△ABC三边的垂直平分线的交点)
要使铺设的光缆长度最短应选哪种方案？
A
B
C
A
D
B
C
O
D
C
B
A
（1）AB+BC
（2）AD+BC(D为BC的中点)
（3）OA+OB+OC(O为△ABC三边的垂直平分线)
五 回顾与小结
定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).
A
B
C
P
a
b
c
尺规作图的解题格式(六步骤):
已知: 作法：
求作: 证明：
分析: 讨论：
课外作业
P34 复习题8、9题.
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.3．线段的垂直平分线(二)
一、学生知识状况分析
通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．
二、教学任务分析
在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的主要任务是性质和判定的应用。因此本节课的目标为：
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点
2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．
3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．
4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点、难点
重点：
①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．
②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．
难点：证明三线共点。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：例题解析；第三环节：引申拓展； 第四环节：动手操作；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结 ；第五环节：课后作业。
1：情景引入
活动内容：尺规作图作三条边的垂直平分线。
活动目的：让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。
活动过程：
教师提问：“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么 (教师可用多媒体演示作图过程)”
“三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．”等都是学生可以发现的直观性质。
下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论 与同伴交流．
教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．”
这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．
上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。
2：例题解析
（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。
我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．
通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．”
虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢
师生共析，完成证明
（2）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规范性。
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．
∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论 ” （交点P到三角形三个顶点的距离相等．）
（3）多媒体演示我们得出的结论：
定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
3.引申拓展
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个
学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。
由学生思考可得：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图：
已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h
从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．（见几何画板课件）
（2）如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．”
（3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
例题学习
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作BC=a；
2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．
做一做：课本第25页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法叙述的准确性加以更正。
4.动手操作
（1）例题：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。
（2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.
5.随堂练习:：习题1.8第1、2题。
6.课时小结
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．
7.课后作业
习题1．8第3、4题
四、教学反思
本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线．已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。课题：1.3《线段的垂直平分线》（第2课时）导学案
学习目标：
1、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。
2、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底边及底边上的高作出等腰三角形。
3、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力。
学习重点：能够证明三角形三边垂直平分线交于一点；能够利用尺规作已知底边及底边上的高作出等腰三角形。
学习难点：证明三线共点是难点。
学法指导：
1、先利用10分钟阅读并思考P24—P26教材内容，先通过折纸的办法发现三角形三边垂直平分线交于一点这一结论，然后能理解这一结论的证明；思考课本24页议一议。
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。
3、A、B层同学掌握导案所有内容，并完成探究案；C层同学能基本掌握学习目标，合作完成探究案。
一、自主探究：
1、剪一个三角形纸片，
通过折叠找出每条边的 图片粘贴处
垂直平分线 你发现了什么？
2、用尺规作出下列三角形三边的垂直平分线，你发现什么结论？
3、在锐角三角形ABC中，∠BAC=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1__∠2，∠3____∠4，∠5____∠6，∠2+∠3=______°，
∠1+∠4=______°，∠5+∠6=______°，
∠BOC=___ _°
二、合作探究
探究点一：三角形三条边的垂直平分线交于一点 ，并且这一点到三个顶点的距离相等.
1、证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点 ，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：
求证：
证明：
探究点二：已知三角形的一边及这边上的高做三角形
1、（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个
2、已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：
探究点三：用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：
探究点三：应用
1、如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，
使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置
（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）
2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2，求AB与BC的长
3、已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段。
三、随堂练习
1、如图， D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上。
2、如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B______∠1，∠C_____∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度。
3、课本26页问题解决第3题（在书上画图完成）
四、作业（★B层同学选做题，☆C为层同学选做题）（自己画图）
1、课本26页知识技能第1题
2、课本26页问题解决第3题
谈谈自己的收获：
A
B
C
