(共28张PPT)
1.4 角平分线 (1)
一 学习新知
你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗
你还记得角平分线上的点有什么性质吗
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
你能证明这一结论吗
结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出这个性质的证明过程吗？
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在△OPD≌△OPE
而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS).
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
证明：
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1= ∠2
∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO
∵OP=OP
∴ △OPD≌△OPE (AAS).
∴ PD=PE
几何语言表示：
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
C
B
1
A
2
P
D
E
O
′
思考分析
你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”
的逆命题吗
逆命题
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗
如果是.请你证明它.
已知:如图 所示,
PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别
是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE.
B
A
C
D
E
O
P
证明：∵PD⊥OA PE⊥OB
∴△POD和△BPOE都是Rt△
∵PD=PE,OP=OP
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)
∴ ∠POD= ∠POE
∴ OC是∠AOB的平分线
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.
如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
例题讲析
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴DE= AD= ×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
二 挑战自我
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系
老师期望:你能说出结论并能证明它.
E
D
A
B
C
F
2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).
A区
3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
B
A
E
D
C
F
证明: ∵ AD是△ABC的角平分线
且DE⊥AB,DF⊥AC
∴ DE=DF
∵BD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴ EB=EC
5.如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平线,DE⊥AB,垂足为E.
老师期望:你能正确地解答并规范地写出过程.
(1)如果CD=4cm, 求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
解（1） ∵ AD是△ABC的角平线, DE⊥AB,
DC⊥AC,
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC∴ ∠B=∠BAC(等边对等角)
∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45°
∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°∴BE=DE
在等腰直角三角形BDE中
（2）证明：由（1）的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴ AC=AE.
∵ BE=DE=CD,
∴ AB=AE+BE=AC+CD
四 深入探索
已知，如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
G
证明：∵EG为∠ACB的平分线
∴ ∠BCE= ∠ACE
∵CG为∠ACD的平分线
∴ ∠DCG= ∠FCG
∵ EG∥BC
∴ ∠FEC=∠BCE, ∠FGC=∠GCD
从而∠ACE=∠FEC， ∠FGC=∠FCG
∴EF=FC,FC=FG 从而EF=FG
五 回顾与小结
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
C
B
1
A
2
P
D
E
O
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个 角的平分线上).
C
B
1
A
2
P
D
E
O
独立
作业
习题1.9 1,3题.
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.1.4 角平分线 第一课时
学习目标
1．角平分线的性质定理的证明.
2．角平分线的判定定理的证明.
学习难点
理解角平分线的性质定理的逆定理必须增加前提条件“在角的内部”.
学习过程
任务一：
1、自主学习：有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样
2、合作探究
问题：（1）还记得角平分线的概念吗？
（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？
（3）以前我们用折纸的方法得到了这个结论，我们能进行严格意义的证明吗？你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出已知与求证进行证明？
已知： .
求证：
证明：
定理：
几何语言：
∵ ∴
3、巩固练习：（1）习题1.9第2题
任务二：
1、自主学习：（1）你清楚这定理的条件与结论了吗？（2）交换定理的题设和结论得到的逆命题是什么？（3）你能证明逆命题是真命题吗？
逆命题：
已知：
求证：
证明：
由此得出定理：
推理格式：∵ ∴
2、巩固练习：习题1.9 第3题
任务三：角平分线定理的应用
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
课堂小结：本节课你的收获是什么？你还有那些没解决的问题？
课堂检测
如图：AO平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,OD=OE,
求证：OC平分∠BCA
P
A
O
B
P
A
O
B
A
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C
E
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O
B
A
O
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F
E
D
C
A
A
B
C
O
E
D4．角平分线（一）
一、学生知识状况分析
本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。
教学任务分析
学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为：
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．
2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．
3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
教学难点：
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境 温故知新；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习 ；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业
1：情境引入
我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，
即角平分线上的点到角两边的距离相等．
你能证明它吗
2：探究新知
（1）引导学生证明性质定理
请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。 (用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
（2）你能写出这个定理的逆命题吗
我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．
引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
它是真命题吗 你能证明它吗
没有加“在角的内部”时，是假命题．
(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)
证明如下：
已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上．
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
3.巩固练习
综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范
例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
（4）课本例题学习
4：随堂练习 课本第29页1、2题。
5：课堂小结
这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。
6：课后作业
习题1.9第1，2，3，4题．
四、教学反思
教学时，采用‘‘实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。
