４．角平分线（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。
二、教学任务分析
本节课的教学目标是：
1．知识目标：
（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
2．能力目标：
（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．
（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
3．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
4．教学重点、难点
重点
①三角形三个内角的平分线的性质．
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
难点
角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：展示思维过程，构建探究平台；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结;第五环节：课后作业。
第一环节：设置情境问题，搭建探究平台
问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么 能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
第二环节：展示思维过程，构建探究平台
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢
（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点
直角三角形 交于斜边的中点
交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
问题2
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的
要求学生思考、交流。实况如下：
[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
[生]我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3
教师讲评。
第三环节：例题讲解
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
∴∠B=×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．
∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．
(2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢
第四环节：课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
第五环节：课后作业
习题1.10第1、2题
四、教学反思
本节对学生能力的要求很高，如例1中问题作为教师要善于 利用这个典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。如果课堂时间允许还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解。1.3 角平分线 第二课时
一、学习目标：
1．证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.
2．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
3．提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力.
二、学习过程
任务一：
1.自主学习：
（1）、作三角形的三个内角的角平分线，你发现三条角平分线位置有什么关系？你能证明证明这个结论吗？
已知：
求证：
证明：
（本题基本思路提示）：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.
（2）.问题：在上面的证明过程中除了证明三角形的三条角平分线相交于一点外，还发现这个点到三边的距离关系怎样？
归纳：定理:
证明此定理.
已知：（自己动手作出图形）
求证：
证明：
2、巩固练习：
已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB
垂足分别为C、D，
求证：（1）OC=OD； （2）OP是CD的垂直平分线
任务二：
1、合作探究
如图，在△ABC中 ，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
垂足为E.
（1）已知CD=cm，求AB的长；
（2）求证：AB=AC+CD。
分析：本题需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和
证明融合在一起。目的是使同学们进一步理解、掌握这些
知识和方法，并能综合运用它们解决问题，第（2）问中，
求证AB=AC+CD，这是我们第一次遇到这种形式的证明，
需要利用转化的思想,用相等的线段代换就可以转化出结果。
2、思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？
3、巩固练习
课本P31习题第1题
三、课堂小结
通过本节课的学习，你学会了什么？还有哪些不足？
四、课堂检测
如图：CO,BO分别平分∠ACN和∠ABC,求证：点O在∠MAC的角平分线上。
A
B
C
C
O
A
B
P
D
B
E
A
D
C
A
B
C
O
M
N(共25张PPT)
1.4 角平分线 (2)
一 回顾与思考
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
C
B
1
A
2
P
D
E
O
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.
如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
二 探究新知
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.
结论:三角形三个角的平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗
观察这三条角平分线,你发现了什么
你能证明这个命题吗
利用尺规作出三角形三个角的角平分线.
结论:三角形三个角的角平分线相交于一点.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
你想证明这个命题吗 你能证明这个命题吗
再观察这三条角平分线,你又发现了什么 与同伴交流.
思考分析
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本思路:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考 虑前面刚刚学到的逆定理.
如何证三条直线交于一点？
A
B
C
P
M
N
D
E
F
如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别E,F,D.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF∴PD=PF.
.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且 到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC
老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.
A
B
C
P
M
N
D
E
F
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
H
[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
练一练
D
A
B
E
C
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)
∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°．
∴∠BDE=90°-45°=45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm．
[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
练一练
D
A
B
E
C
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
三 挑战自我
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
A
B
C
D
证明 ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 30°
∴Rt△ABC中，AB=2BC, ∠BAC= 60°
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°,AD=BD
∴ Rt△ACD中，AD=2CD
∴ BD=2CD
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
F
D
E
证明： ∵ BF是∠CBD的角平分线
∴ F到BC,AD的距离相等
∵ BF是∠CBD的角平分线
∴ F到BC,AE的距离相等
∴ F到AD,AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上.
3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.
求证:
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
B
A
P
D
C
O
证明(1) ∵P为P是∠AOB平分线上的一个点
PC⊥OA,PD⊥OB
∴PC=PD
Rt△POC和 Rt△POD
∵ OP=OP
Rt△POC ≌ Rt△POD ∴OC=OD
(2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分线上
由OC=OD得O在CD的垂直平分线上
∴OP是CD的垂直平分线.
拓展探索：如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点 这样的点有几个 如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗
A
B
C
四 回顾与小结
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC
老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.
A
B
C
P
M
N
D
E
F
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
H
独立
作业
复习题 4,6,7题.
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
