1.1 等腰三角形（1）
教师寄语：良好的开端是成功的一半
学习目标：
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤步骤和书写格式.
2、经历“探索---发现---猜想---证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.
3、通过探究，养成严谨的科学态度、不懈的探究精神和良好的说理方法.
学习过程：
前置准备：
请你用自己的语言说一说证明的基本步骤.
列举我们已知道的公理：
（1）公理：同位角 ，两直线平行.
（2）公理：两直线 ，同位角 .
（3）公理： 的两个三角形全等.
（4）公理： 的两个三角形全等.
（5）公理： 的两个三角形全等.
（6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 .
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.
自主学习：
利用已有的基本事实和定理证明：
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
证明：
根据三角形的定义，我们可以得到
合作交流；
议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.
定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为 ）
已知：
求证：
证明：
还有其他证明方法吗？与同伴交流.
（提示1：作等腰三角形的顶角平分线AD；
提示2：分别延长AB、AC至点E、D，使BE=CD，连接CE、BD，先证明
△ACE≌△ABD，再证明△CBE≌△BCD，得出∠CBE=∠BCD，运用等角的补角相等即可得出）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合.
四、 归纳总结：1、我的收获？
2、我不明白的问题？
五、 例题解析：
在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，
试猜想EF与AD之间有什么关系 并证明你的猜想.
六、 当堂训练：
1、下列各组几何图形中，一定全等的是（ ）
A、各有一个角是550的两个等腰三角形；
B、两个等边三角形；
C、腰长相等的两个等腰直角三角形；
D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.
2、如图，已知：∥，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个
条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（ ）
A、∠A=∠B ; B、BF=CE;
C、AE∥DF; D、AE=DF.
3、如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为 。
4、（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为 .
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为 .
5、△ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，则∠A的度数为 .
6、如图，已知D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE
学习笔记：
课下训练：P4 习题1、2
中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G是垂足，求证：
（1）G是CE中点（2）∠B=2∠BCE
B
C
A1.等腰三角形（一）
一、学生知识状况分析
在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。
二、教学任务分析
本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：
1．知识目标：
理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；
在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；
熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2．能力目标：
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；
3．情感与价值目标
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；
培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.
4．教学重、难点
重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
三、教学过程分析
学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；
教师课前准备：制作好的几何画板课件.
本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾旧知 导出公理；第二环节：折纸活动 探索新知；第三环节：明晰结论和证明过程；第四环节：随堂练习 巩固新知；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节：回顾旧知 导出公理
活动内容：提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：
1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；
2.回忆全等三角形的性质。
活动目的：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。
活动效果与注意事项：由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。具体证明如下：
已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°-(∠A+∠B)，
∠F=180°-(∠D+∠E)，
∴∠C=∠F（等量代换）。
又BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
第二环节：折纸活动 探索新知
活动内容：在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。
活动目的：通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。
活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”。
第三环节：明晰结论和证明过程
活动内容：在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合
活动目的：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2，则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。
第四环节：随堂练习 巩固新知
活动内容：学生自主完成P4第2题：如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数。
活动目的：巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。
第五环节：课堂小结
活动内容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。
活动目的：形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。
活动效果与注意事项：教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如：
1、具体有关性质定理；
2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据．
3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性．
第六环节：布置作业
P4习题1,2.
四、教学反思
本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 “探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。
→
→(共12张PPT)
1.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,________相等;
3. ____________对应相等的两个三角形全等; （SAS）
4. ____________对应相等的两个三角形全等; （ASA）
5. _____对应相等的两个三角形全等; （SSS）
你能证明下面的推论吗？
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
基本事实:
同位角
同位角
两边及其夹角
两角及其夹边
三边
用心想一想，马到功成
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
F
E
D
C
B
A
议一议, 做一做
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗 尽可能回忆出来.
(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
→
→
D
C
B
A
D
C
B
A
D
(C)
B
A
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：取BC的中点D, 连接AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SSS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
C
B
A
D
证法一:
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SAS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
C
B
A
D
证法二:
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
等腰三角形的性质
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：在△ABC和△ACB中
∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB,
∴ △ABC≌△ACB (SAS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
C
B
A
证法三:
点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
想一想
C
B
A
D
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质 为什么 由此你能得到什么结论
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (三线合一)
1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；
等腰三角形的性质
2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，
（1）求证： △ABD是等腰三角形;
（2）求∠BAD的度数.
1. 通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据。
2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性。
课堂小结, 畅谈收获：
习题1. 1
知识技能1、2、3
数学理解4、5
