1.1等腰三角形（2）
教师寄语：未来与期待总是并肩向我们走来
学习目标：
1、能够证明等腰三角形的判定定理，并会运用其定理进行证明.
2、掌握特殊的等腰三角形---等边三角形的性质定理并会证明.
学习过程：
前置准备：
等腰三角形的性质是什么？
等腰三角形的一个内角为700，则顶角为 。
等腰三角形的一个外角为1000，则其顶角为 。
自主学习：
在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线、中线、高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
等腰三角形的两底角的平分线相等吗？怎样证明。
已知：
求证：
证明：
得出定理： 。
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流。
合作交流；
请同学们阅读P6的问题（1）、（2），由此得到什么结论？
请同学们 “想一想”，等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知：
求证：
证明：
归纳总结：
我的收获？
我不明白的问题？
五、例题解析：
在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数.
温馨提示：先利用等边对等角找出各相等的角，再用方程思想解决，这样可使几何的计算问题化繁为简.
六、 当堂训练：
1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
2.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
中考真题：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.
求∠ECD的度数；
若CE=5，求BC的长.
A
C
D
B
B
E
C
D
A1. 等腰三角形（二）
一、学生知识状况分析
在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。
二、教学任务分析
本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下：
1．知识目标：
①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；
2．能力目标：
①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；
③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；
3．情感与价值观要求
①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
4．教学重、难点
重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题 变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质； 第五环节： 随堂练习 及时巩固 ；第六环节：探讨收获 课时小结。
第一环节：提出问题，引入新课
活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗 你能证明你的结论吗
活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。
第二环节：自主探究
活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。
活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。
活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：
你可能得到哪些相等的线段？
你如何验证你的猜测？
你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；
还可以有哪些证明方法？
通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：
等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
并对这些命题给予多样的证明。
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
证法1：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC，
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
证法2：证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
又∵∠3=∠4．
在△ABC和△ACE中，
∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。
第三环节：经典例题 变式练习
活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：
在课本图1—4的等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢 由此，你能得到一个什么结论
(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗 如果AD=AC，AE=AB呢 由此你得到什么结论
活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。
活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢 从而引出“议一议”。
由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。
在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。
下面是学生的课堂表现：
[生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
又∵∠ABD=∠ABC, ∴∠ACE=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
[生]如果在△ABC中，AB=AC, ∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：
在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠∠ABC，∠ACE=∠ACB，就一定有BD=CE成立．
[生]也可以更直接地说：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．
[师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言．
[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：在△ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．证明如下：
∵AB=AC．
又∵AD=AC，AE=AB，
∴AD=AE．
在△ADB和△AEC中，
AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
[生]一般结论也可更简洁地叙述为：在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．
[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．
第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质
活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，ΔABC中，AB=BC=AC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．
同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．
活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程：
第五环节： 随堂练习 及时巩固
活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.
求证:AE=CD
活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。
第六环节：探讨收获 课时小结
本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，
四、教学反思
本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。(共14张PPT)
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗 你能证明你的结论吗
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
用心想一想，马到功成
2
1
E
D
C
B
A
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
用心想一想，马到功成
4
3
E
D
C
B
A
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的高．
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
求证：BD=CE．
E
D
C
B
A
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
求证：BD=CE．
E
D
C
B
A
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗 你能从上述证明的过程中得到什么启示
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢
想一想, 做一做
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗 如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢 由此，你能得到一个什么结论
(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗 如果AD= AC，AE= AB呢 由此你得到什么结论
小结
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，
AE= AB，那么BD=CE.
简述为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
C
B
A
随堂练习 及时巩固
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
A
B
C
D
E
证明:
∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD
∴ △ABE≌△CBD
∴AE=CD
.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由.
A
B
C
E
F
A
B
E
C
F
A
B
C
F
E
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？
2.等边三角形有哪些性质？
3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
习题1.2
知识技能1、2、3
数学理解4
