(共36张PPT)
二次函数复习
说一说：通过二次函数的学习，
你应该学什么？你学会了什么？
1、理解二次函数的概念；
2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，
对称轴，顶点坐标；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式；
5、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题
及简单的综合运用。
我思考，我进步
想一想
抛物线
形如:y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数
y
x
O
我思考，我进步
想一想
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2 a ＞ 0
a ＜ 0
向上
向下
X=0
(0,0)
我思考，我进步
想一想
X
y
o
1
1. y=4x2
2
2. y=2x2
3
3. y=x2
4
4. y=0.5x2
X
y
O
5
6
7
8
5、y=-4x2
6、y=-2x2
7、y=-x2
8、y=-0.5x2
我思考，我进步
想一想
巩固练习1：
（1）抛物线y= x2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；
上
Y轴
(0,0)
1、2
<
-1
（2）已知（如图）二次函数y = mx 2的图象，则m 0；
若图象过 (2,- 4)，则m= ；
o
.A
业精于勤荒于嬉
小试牛刀
（3）已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 ( ) 过点A（-2，3）。 （填“可能”或“不可能”）
不可能
业精于勤荒于嬉
小试牛刀
（二）形如y = ax 2+k (a≠0)的二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = ax 2+k a 0 向上
a 0 向下
＞
<
X=0
（0，K）
我思考，我进步
想一想
巩固练习2：
（1）抛物线y = x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线
y = x 2向 平移 个单位得到的；
上
X=0
（0，3）
上
3
业精于勤荒于嬉
小试牛刀
（2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0；
若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；
函数关系式是
y = 。
＞
＜
1/2
-2
1/2x2-2
X
Y
A
B
O
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小试牛刀
（三）、形如y = a (x-h) 2( a≠0 ) 的二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x-h) 2 a ＞ 0
a ＜0
向上
向下
x=h
（h，0）
我思考，我进步
想一想
x
y
o
1
2
-1
-2
y=2x2
y=2(x-1)2
y=2(x-2)2
y=2(x+1)2
y=2(x+2)2
y=a(x-h)2 (a≠0)
我思考，我进步
想一想
练习巩固3：
y = - 2(x+3) 2的开口向 ，对称轴是 ,
顶点坐标是 ，
下
x=-3
（-3，0）
业精于勤荒于嬉
小试牛刀
（2）如图是y = a（x-h）2的图象，则a 0，h 0 ；
若图象过A (2，0) 和B (0，-4) 则a = , h = ；
函数关系式是y = 。
＜
＞
-1
2
-（X-2）2
O
A
B
X
y
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小试牛刀
(四) 形如y = a (x-h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x-h) 2+k 向上
向下
a ＞ 0
a ＜ 0
x=h
（h，k）
我思考，我进步
想一想
练习巩固4:
（1）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 ；
（2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。
上
X=1/2
（1/2，1）
＜
＜
＜
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小试牛刀
x
y
o
1
2
-1
-2
1
2
y=2x2
y=2(x-1)2
y=2(x-1)2+2
Y=a(x-h)2+k
Y=2(x-1) +2的图象可看作是由y=2x 的图象经过怎样平移得到的
2
2
x
y
o
1
2
-1
1
2
y=2x2
y=2x2+2
y=2(x-1)2+2
y=a(x-h)2+k
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
-1
-2
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象
是怎样由y=x2的图象平移得到的？
y=x2-6x+7
=x2-6x+9-2
=(x-3)2-2
基础练习
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为
________________________
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为：
_____________________________
y=2(x+2)2-3
=2x2+8x+5
y= - 3(x-1-4)2+2+3
=-3x2+30x-70
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a决定了抛物线的＿＿＿＿和＿＿＿
对称轴由＿＿＿决定；
c决定了图象与_____轴的交点位置；
开口方向
形状
a和b
y
当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立
我思考，我进步
想一想
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
我思考，我进步
想一想
3.说说下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y= -2x2 - 4x - 6
y=x2 - 2x + 1
解:y=x2-2x+1
=(x-1)2
因为a=1>0,
所以开口向上
对称轴:直线x=1
顶点坐标:(1,0)
解:y= -2x2-4x-6
= -2(x2+2x+1+2)
= -2(x+1)2-4
因为a=-2<0,
所以开口向下
对称轴:直线x=-1
顶点坐标:(-1,-4)
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2.选择
抛物线y=x2-4x+3的对称轴是______.
A 直线x=1 B直线x= -1
C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1的__________
A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点
C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
c
B
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2.选择
(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,0), B(4,0),则对称轴是_______
A直线x=2 B直线x=4 C直线x=3 D直线x= -3
(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,m), B(4,m),则对称轴是_______
A 直线x=3 B 直线x=4 C直线x= -3 D直线x=2
C
A
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探究练习:
1.若a>0, b>0, c>0,你能否画出 y=ax2+bx+c的大致图象呢
0
0
0
要画出二次函数的大致图象,不但要知道a,b,c的符号,还必须明白b2-4ac的大小.
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1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a___0, b_ _0, c___0, abc___0
b 2a, 2a-b___0, 2a+b_____0
b2-4ac_____0
a+b+c_____0,
a-b+c____0
4a-2b+c_____0
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小试牛刀
<
<
>
>
=
=
<
>
<
>
>
0
-1
1
-2
0
0
A
B
A
B
对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉，创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：
1.从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息;
2.从抛物线上两点之间的线段被抛物线的对称轴垂直平分获得对称信息.
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
求抛物线解析式的三种方法
练习（四） 填空
1、二次函数y= x2+2x+1写成顶点式为：
__________，对称轴为_____，顶点为______
1
2
y= (x+2)2-1
1
2
x=-2
(-2，-1)
2、已知二次函数y=- x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。
1
2
0
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解: 抛物线y=ax2+bx+c和y=-x2-3x+7的形状相同， a=1或a=-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
2.若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
解：∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0）
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°
∴OC2=OA·OB=4
∴OC=2，点C（0，-2）
A
B
x
y
O
C
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
y
O
x
(3)、求它的解析式和顶点坐标；二次函数的复习
一、考试说明的要求：
要求 知识内容
二次函数 abbcccc ①体会二次函数的意义②会用描点法画二次函数的图象③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)④通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式⑤能从图象认识二次函数的性质⑥会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解⑦能用二次函数解决简单的实际问题
二、 复习目标
认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围.
能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题.
能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.
了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
三、知识点回顾
1、二次函数的概念：形如的函数.
2、抛物线的顶点坐标是()；对称轴是直线.
3、当a＞0时抛物线的开口向上；当a＜0时抛物线的开口向下.越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.相同的抛物线，通过平移(或旋转、轴对称)一定能够重合.
4、a、b同号时抛物线的对称轴在y轴的左侧；a、b异号时抛物线的对称轴在y轴的右侧.抛物线与y轴的交点坐标是(0，C).
5、二次函数解析式的三种形式：
(1)一般式：
(2)顶点式：
(3)交点式：，抛物线与x轴的交点坐标是()和().
6、抛物线的平移规律：从到，抓住顶点从(0，0)到(h，k).
7、(1)当＞0时，一元二次方程有两个实数根，抛物线与x轴的交点坐标是A()和B()。
(2)当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根(或说一个根)，抛物线的顶点在x轴上，其坐标是().
(3)当＜0时，一元二次方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.
8、二次函数的最值问题和增减性：
系数a的符号 时， 最值 增减性
a＞0 最小值 时y随x的增大而减小.
a＜0 最大值 时y随x的增大而增大.
四、例题精析
例1：函数、、的图象的共同特征是( )
(A)开口都向上，且都关于y轴对称 (B)开口都向下，且都关于x轴对称
(C)顶点都是原点，且都关于y轴对称 (D)顶点都是原点，且都关于x轴对称
分析：C.
【回顾】研究二次函数的图象与性质，一般从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点、最值等来观察和探究。注意其中的规律。
例2：已知二次函数.
(1)用配方法化为的形式.
(2)写出它的顶点坐标和对称轴，并画出它的图象.
(3)根据图像指出：①当取何值时，随值的增大而减小. ②当取何值时，有最大(小)值，值是多少？③抛物线与、两坐标轴的交点坐标. ④当取何值时.
分析：＝＝＝
解略。
例3：已知△中，，上的高，为
上一点，，交于点，交于点(不过、
)，设到的距离为，则△的面积关于的函数的图象大致为( )
分析：D
利用△AEF与△ABC相似，确定EF的长，写出关于的函数关系式，确定自变量x的取值范围，从而知晓.
例4：如图，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，设抛物线的顶点为P.
(1)求△ABC、△COB的面积
(2)求四边形CAPB的面积
例5：一批名牌中都商场销售衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，尽快增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每件衬衫降价x元，商场每天的赢利为y。
(1)你能写出x和y的关系吗？
(2)当每件衬衫降价多少元时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？
例6：如图有一个边长为5cm的正方形ABCD，和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线上，当C、Q两点重合时，△PQR以1cm／秒的速度向左开始匀速运动，设与正方形重合部分面积为Scm2。当时，求S与t的函数关系，并求出何时S最大？
五、 课堂练习
1、抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；它是由抛物线的图象_________________________________平移得到的；
2、当，函数的函数值为；
3、如果抛物线的顶点在轴上，那么；
4、已知函数，则它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；图象与轴的交点为 ，与轴的交点为 ；
5、二次函数的顶点坐标为(,)，则；
6、某抛物线的顶点为，且经过点，，则这个抛物线的解析式为 ；
7、在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为( )
8、二次函数的图象如图所示，则
、、、的取值范围是( )
(A) ＞0，＜0，＜0，＞0
(B) ＜0，＜0，＜0，＜0
(C) ＞0, ＞0，＜0，＞0
(D) ＞0，＜0，＞0, ＞0
9、下列图中阴影部分的面积与算式的结果相同的是( )
10、如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A 和A、点B和B分别关于轴对称，隧道拱部分BCB为一条抛物线，最高点C离路面AA的距离为米，点B离路面为米，隧道的宽度AA为米；
(1)求隧道拱抛物线BCB的函数解析式；
(2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为米，他能否通过这个隧道？请说明理由.
x
y
O
B
y
O
C
x
y
O
D
x
y
O
A
x
第8题
