哈尔滨市南岗区四十八中2014—2015学年度初三2月月测数学试题及答案

黑龙江哈尔滨市南岗区四十八中2014—2015学年度2月月测数学试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.的倒数是( )
（A） － （B） （C）－ （D）
2．下列运算错误的是( )
(A)－(a－b)=－a+b (B)a2 a3=a6 (C)a 2－2ab+b2=(a－b)2 (D)3a－2a=a
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
4．抛物线y=ax2+bx+c(a>0) ( http: / / www.21cnjy.com )的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为(－3，0)，
则它与x轴另一个交点的坐标为( )
(A) (－2，0) (B) (－1，0) (C) (2，0) (D) (5，0)
5、如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是( )
（A） （B） （C） （D）
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC、B ( http: / / www.21cnjy.com )D交于点O，点E在
AB边上，点F在CD边上，EF经过点O，若图中两阴影部
分面积和为1，则四边形ABCD面积为( )
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16
7．若反比例函数y=的图象经过点(－1，2)，则它一定不经过下列四个点中的( )
(A)(2，1) (B)(1，－2) (C) (2，－l) (D)(－2，1)
8．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为( )
(A) (B) (C) (D)
9．在1，2，3，4四个数中任取两个数相加等于5概率为( )
(A) (B) （C） (D)
10．大客车从甲地开往乙地，出租车从乙地开 ( http: / / www.21cnjy.com )往甲地，
两车同时出发，它们离甲地的距离y(千米)与客车
行驶的时间x(小时)之间的函数关系图象如图所示，
则下列结论不正确的是( )
(A)甲、乙两地相距600km (B)客车比出租车晚4小时到达终点
(C)出发4小时，两车相遇 (D)大客车的速度比出租车慢40千米/时
二．填空题：(每小题3分，共30分)
11． 17800用科学记数法可表示为 ．
12．计算4＋ = ．
13．因式分解4m2－8mn+4n2= ．
14．不等式组的解集为 ．
15．如图，将△ABC绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )A逆时针旋转20°得到△AB′C′，此时BC与B′C′交于点P，
则∠B′PC的度数为 ．
16．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润为250万元，则平均每月增长 ％．
17．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积为 ．
18．PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上
(不与点A、B重合)，若∠P=70°，则∠ACB的度数是 ．
19 . 如图，在矩形ABCD中，点E ( http: / / www.21cnjy.com )在AB边上，将该矩形沿直线
DE折叠，点A恰好落在BC边的点F处．若AE=5，BF=3，
则AD边的长是____________.
20．如图，在△ABC中，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C，点E、F分别在AB和AC上，
CE与BF相交于点D，若AF=BE，BD∶DF=3∶4，
则ED∶CD =____________.
三、解答题(共60分，其中21～24题各6分，25、26题各8分。27、28题各10分)
21．(本题6分)
先化简，再求代数式÷(－a－2)的值，其中a=tan60°－ 6sin30°．
22．(本题6分)
如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均
为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
(1)在图中以AB为一腰作等腰三角形ABC，使得△ABC
一个顶角为钝角，点C在小正方形顶点上．
(2)直接写出△ABC的周长
23．(本题6分)
如图平面直角坐标系中，第一象限内的P点在直线y＝x+1上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A，若四边形AOBP的周长为8， 反比例函数y＝(k≠0)经过P点，
(1) 求P点坐标
(2) 求反比例函数y＝(k≠0)的解析式
24、(本题6分)
随机调查了某小区内若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求出扇形统计图中a、b的值并补全条形统计图.
（2）若该小区年龄在15～59岁居民约有5100人，请估计年龄在60岁以上的居民人数．
25．(本题8分)
如图， 等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于F，过D作AC的垂线交AC于E，
(1) 求证：DE是⊙O的切线；
(2) 若CD＝，AF＝1，求⊙O的半径
26．(本题8分)
17中学计划购进一批人文类图 ( http: / / www.21cnjy.com )书与科技类图书，每本人文类图书的价格相同。每本科技类图书的价格也相同．且每本人文类图书的价格比每本科技类图书的价格少l元，用420元购入的科技类图书与用360元购入的人文类图书册数相同，
(1)求每本科技类图书和每本人文类图书的价格分别为多少元
(2)学校计划用不多于2．3万元购买2000 ( http: / / www.21cnjy.com )本科技类图书和若干本人文类图书，在购买时书店给了每本书l元的优惠，求该校至多购买人文类图书多少本
27．(本题l0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+6与x轴交于A，B两点(A右B左)，与y轴的正半轴交于点C，A点坐标为(8，0)
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线在第一象 ( http: / / www.21cnjy.com )限内的一个动点，点P的横坐标为t，过P作y轴的平行线交
AC于E，设线段PE的长为d，求出d与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )当t为何值时，d最大？当d最大时，连PC、AP，点F在y轴上，问是否存在这样的F点，使得△PCF与△APC相似，若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．
28．(本题l0分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，BH平分∠ABC，交AC边于点H，CD⊥BH，垂足为点D，点E在线段BD上，且．∠EAC=3∠ABH
(1)如图l， 求证：AE=CD；
(2)如图2，延长AE交BC于F，G在BE上，且GF=EF，探究GB×BD与BE2之间的数量关系并证明．
参考答案
一、选择题 DBCDA BACBC
二、填空题
11、1.78×104 12、5 13、4(m－n)2 14、116、25 17、12π 18、55°或125° 19、15 20、1∶6
三、解答题
21.原式=÷[－(a+2)]
= ÷= ×=－ -------2分
当x=－6×=－3时，-------2分
原式=－ = －= － -------2分
22.共有两种画法
（1）画图正确-------4分 （2）周长为10+3或10+4，-------2分
23. (1)设P点坐标为(x，x+1)，
∵PA⊥y轴、PB⊥x轴， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°＝∠AOB，
∴四边形AOBP是矩形，-------2分
∴AP＝OB＝x，AO=BP=x+1，∴2x+2(x+1)＝8，
∴x=2，∴P(2，2) -------2分
(2)∵反比例函数y＝(k≠0)经过P点，∴k=2×2=4，
∴反比例函数y＝(k≠0)的解析式为y＝ -------2分
24. (1) ∵样本中15岁至40岁共有144人，占抽样人数的48%
∴144÷48%=300(人) ------1分
∴300－144－60－36=60 (人) 补图 ------1分
∴a=×100%=20%， b=×100%=12% ------2分
(2) 样本中15岁至59岁占抽样人数的(48%+20%)=68%, 60岁以上占12%
∴由样本估计总体：5100×=900 (人) ------1分
答：估计该小区60岁以上居民有900人 ------1分
25．(1)证明：连OD，
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°------1分
∵BO、DO都是⊙O半径，
∴BO=DO， ------1分
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC， ------1分
∴∠ODE＝∠AED＝90°，
∴DE是⊙O的切线 ------1分
(2) 解：连AD、BF
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，
∴∠CFB＝∠CDA＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD=CD＝，------1分
∵∠C＝∠C，
∴△CBF∽△CDA，------1分
∴CD∶FC＝AC∶BC，
∴CD×CB=CF×AC，
∴×2=CF×(CF+1)
∴CF2+CF－20=0, ∴CF1=－5(舍) CF2=4
∴AB=AC=1+4=5, ------1分
∴⊙O的半径为 ------1分
另：证：△CFD∽△CBA亦可
26.（1）设每本科技类图书为x元，则每本人文类图书为(x－1)元，----1分
由题意得： = -------1分
解得x=7 经检验x=7是原方程的解 ----1分
x－1=7－1=6(元) --------1分
答：每本科技类图书为7元，则每本人文类图书为6元
（2）设该校购买人文类图书a本，---------1分
依题意得：2000×(7－1) +(6－1)a≤2.3×104-------2分
解得a≤2200 ---------1分
答：该校至多购买人文类图书2200本
27.(2+4+4)
解：(1) 将A点坐标为(8，0)代入y=ax2+x+6
得：64a=－20，∴a=－，---------1分
∴抛物线的解析式：y=－x2+x+6 ---------1分
(2) y=－x2+x+6令x=0，y=6，
∴C(0，6)，设AC直线解析式为y=kx+b，
∴∴∴y=－x+6 ---------2分
设P(t，－t2+t+6) ，E(t，－t+6)
∴ PE=(－t2+t+6)－(－t+6)
=－ t2+t ---------1分
∴d=－ t2+t (0(3) 延长PE交AB于L，
d最大时，t=－=4， ---------1分
此时PE=5，
∴P(4，8)，E(4，3) ∵AO=8，∴E是AC中点，
∵Rt△ACO中，AC==10
∴CE=AE=5=PE，
∴∠ACP=∠CPE，∠EPA=∠EAP
∵∠ACP+∠CPE+∠EPA+∠EAP=180°
∴∠APC=90°，---------1分
∵PE∥y轴，
∴∠ACP=∠CPE=∠1，共分两种情况：
① ∠PF1C=90°，∴△PF1C∽△APC，∴F1的坐标为(0，8) ---------1分
② ∠F2PC=90°，∴△F2PC≌△APC，∴OF2=2O F1=16，∴F2的坐标为(0，16) ----1分
综上所述，t=4时d最大，F点坐标为(0，8)，(0，16)
28. (5+5)
(1)证明： 过A作AL⊥BD于L，延长CD、BA交于K，连AD．
设∠ABH＝α＝∠CBD，
∵∠BAD＝∠BDC=90°
∴∠CDA=∠ABD=α
∵∠K=90°－α=∠BCK
∴BK=BC，∵∠BDC=90°
∴DK=CD，∴AD是Rt△CAK的斜边中线----2分
∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=α，
∵∠ALB=90°=∠BDK，∴AL∥CD，
∴∠LAH=∠DCH=α，∴∠EAL=2α=∠DAL
∴∠AED=90°－2α=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=CD ----3分
(2) BE2=BG×BD ----1分
先证：△ABE∽△FBG，
得AB∶BF=BE∶BG ----2分
再证：△ABD∽△FBE，
得AB∶BF=BD∶BE
∴BE∶BG=BD∶BE
∴BE2=BG×BD ----2分