建平县2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 复数(其中为虚数单位)的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2. 直线:与直线:垂直,则直线在轴上的截距是( )
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的左 右焦点分别为、,为椭圆上的一点(不在轴上),则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
4. 光线通过点,在直线上反射,反射光线经过点,则反射光线所在直线方程为( )
A. B. C. D.
5. 已知椭圆过点,且离心率为,则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6. 如图,四面体中,点为中点,为中点,为中点,设,,,若可用,,表示为( )
A. B. C. D.
7. 如图,在棱长为的正方体中,为线段的中点,为线段的中点.直线到平面的距离为( ).
A. B. C. D.
8. 已知点在直线上运动,点是圆上的动点,点是圆上的动点,则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 已知椭圆的左焦点为,点是上任意一点,则的值可能是( )
A. B. C. D.
10. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为最尖,清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为,侧棱长近似为米,则下列结论正确的是( )
A. 正四棱锥的底面边长近似为米 B. 正四棱锥的高近似为米
C. 正四棱锥的侧面积近似为平方米 D. 正四棱锥的体积近似为立方米
11. 已知直线l的一个方向向量为,且l经过点,则下列结论中正确的是( )
A. l的倾斜角等于 B. l与x轴的交点坐标为
C. l与直线垂直 D. l与直线平行
12. 已知圆和圆相交于,两点,下列说法正确的是( )
A. 圆与圆有两条公切线 B. 圆与圆关于直线对称
C. 线段的长为 D. ,分别是圆和圆上的点,则的最大值为
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 已知焦点为,的椭圆的方程为:,且,过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点,则的周长为__________.
14. 已知,,三点都在表面积为的球的表面上,若,,则球心到平面的距离等于__________.
15. 已知圆,圆,若圆平分圆的周长,则__________.
16. 已知圆,圆,动圆与圆外切并与圆内切,则圆心的轨迹方程为__________
四、解答题（第17题10.0分，第18题12.0分，第19题12.0分，第20题12.0分，第21题12.0分，第22题12.0分，共6小题70分）
17. 已知在中,角,,所对的边分别为,,,向量,,且.
(1)求角;
(2)若,,求的面积.
18. 如图,在堑堵中(注:堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体,即两底面为直角三角形的直三棱柱,最早的文字记载见于《九章算术》商功章),已知平面,,,点、分别是线段、的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
19. 已知圆,圆
(1)若圆、相切,求实数的值;
(2)若圆与直线相交于、两点,且,求的值.
20. 已知椭圆,焦点,左顶点为,点的坐标为,到直线的距离为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若为椭圆上的一点,的面积为,求椭圆的方程.
21. (1)已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为,求点的轨迹方程;
(2)已知点是圆上的动点,过点作轴,垂足为,点在线段上,且,求点的轨迹方程,并说明点的轨迹是什么图形.
22. 如图,在三棱台中,是等边三角形,,侧棱平面,点是棱的中点,点是棱上的动点(不含端点).
(1)证明:平面平面;
(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最小值.
数学试卷答案和解析
第1题：
【答案】A
【解析】,所以复数的共轭复数为.故选:A.
第2题：
【答案】C
【解析】∵直线:与直线:垂直,∴,∴,
∴直线:,∴直线在轴上的截距是,故选C.
第3题：
【答案】B
【解析】由三角形面积公式可知,
当最大时有最大值,即点位于椭圆上顶点或下顶点,
其中,
则面积的最大值是,
故选:B.
第4题：
【答案】C
【解析】设点关于直线的对称点为,则,
解得,故.
由于反射光线所在直线经过点和,
所以反射光线所在直线的方程为,即.故选:C.
第5题：
【答案】D
【解析】若焦点在轴上,则.由,得,所以,
此时椭圆的标准方程为.
若焦点在轴上,则.由,得,
此时椭圆的标准方程为.
综上所述,椭圆的标准方程为或.
故选:D.
第6题：
【答案】B
【解析】由题意可得,
而
.
故选:B
第7题：
【答案】D
【解析】∵,平面,平面,∴平面,因此直线到平面的距离等于点到平面的距离,
如图,以点为坐标原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立直角坐标系.
则，，
设平面的法向量为,则,
令,则,设点到平面的距离为,则，
故直线到平面的距离为.故选:D.
第8题：
【答案】B
【解析】如图所示:
圆的圆心,半径为,
设圆关于直线的对称圆为圆,设圆心,
则,解得,故圆的圆心为,半径为,
因为,所以两圆外切,
此时点的对称点为,且,所以,
与在直线同侧,当三点不共线时,,
当三点共线时,,
所以三点共线且最大时,最大,
直线与直线相交于点,与圆在点左侧的交点为,
与圆在点右侧的交点为,如图所示,
此时最大值,最大值为.
故选:B.
第9题：
【答案】B,C
【解析】由题意可知,所以,即.故选:BC.
第10题：
【答案】B,D
【解析】如图,在正四棱锥中,为正方形的中心,则平面,
则为侧棱与底面所成角,且.
设底面边长为.所以,.
在中,,所以,正四棱锥的底面边长为米,高为,侧面积平方米,体积,
故选:BD.
第11题：
【答案】A,D
【解析】由直线l的一个方向向量为求得,又直线经过,所以,化简得
,,所以直线的倾斜角为,故A对;
当时,,故B错;
,故C错;
且,故D对.
故选:AD.
第12题：
【答案】A,B,D
【解析】根据题意,圆,其圆心为,半径,
圆,即,
其圆心为,半径,依次分析选项:
对于A,由于,,又,所以两圆相交,故有两条共切线,A正确,
对于B,圆和圆的半径相等,则线段的垂直平分线为,
则圆与圆关于直线对称,B正确,
对于C,联立,化简可得,即的方程为,
到的距离,则,C错误;
对于D,,则的最大值为,D正确,
故选:A、B、D.
第13题：
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为,则,
故,
所以的周长为,
故答案为:.
第14题：
【答案】3
【解析】如图所示,设的外接圆的圆心为,
根据正弦定理可知,
由球的表面积为得,
由球的性质可知,构成直角三角形,故球心O到平面ABC的距离.
故答案为:3
第15题：
【答案】
【解析】圆的标准方程为,圆心为,半径为,
将两圆方程作差可得,
因为圆平分圆的周长,则这两圆相交,且相交弦所在直线的方程为,
由题意可知,直线过圆心,
所以,,解得.
故答案为:.
第16题：
【答案】
【解析】设动圆的圆心为,半径为,
由题意得,
所以,
所以点的轨迹为以为焦点的椭圆,
则,即,,则,
所以动圆圆心的轨迹方程为,
故答案为:.
第17题：
【解析】(1)因为向量,,且,所以,由正弦定理得,又,则,即,又,所以;
(2)由余弦定理的,整理得,解得或(舍),所以的面积.
第18题：
【解析】(1)证明:连接,
因为且,故四边形为平行四边形,因为为的中点,则为的中点,又因为为的中点,所以,,因为平面,平面,所以平面.
(2)取中点,由题意可知,所以,且,
因为平面,平面,所以,又,所以,因为,、平面,所以平面.连接,则是直线与平面所成的角.由题意,同理可得,则,因为平面,平面,则,则,因为,,即直线与平面所成角的余弦值为.
第19题：
【解析】(1)已知圆,圆,
圆的圆心为,半径,
圆的圆心,半径为,圆心距,
当两圆外切时,有,
即,解得,
当两圆内切时,有,
即,解得,
故的取值为或.
(2)因为圆与直线相交于、两点,且,
而圆心到直线的距离,
有,即,
解得:或.
第20题：
【解析】(1)由题意,,,
因为到直线的距离为,即,
所以,即,又,
所以,所以,
因为离心率,所以,解得或(舍),
所以椭圆的离心率为;
(2)由(1)知离心率,即,①
因为的面积为,则,
所以,
又,所以,②
联立①②得,所以,
所以椭圆的标准方程为.
第21题：
【解析】(1)设点的坐标为,由题意可得,两边平方得,
整理得,所以点的轨迹方程为.
(2)依题意,设,,则,因为,则,
则,可得,解得,即.
因为点在圆上,则,即,
所以点的轨迹方程是,点的轨迹是椭圆.
第22题：
【解析】(1)因为是等边三角形,点是棱的中点,所以,
又平面,平面,所以, 又,平面,
所以平面,又平面,所以平面平面.
(2)在平面中,过点作,
由(1)可知,, 所以,,
又平面,平面,所以,
以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示:
因为是等边三角形,, 所以,,,
因为,所以
设所以,
所以
设平面的法向量为,
又
所以,即,
令,得所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为,又
所以,即,
令,得
所以平面的一个法向量为,
设平面与平面的夹角为,
所以,
设,因为,
所以,所以,
所以,
设,则由复合函数单调性可知在时单调递增,所以当时,
