14.1 勾股定理（第2课时）教学课件 (共26张PPT)

(共26张PPT)
14.1 勾股定理
第2课时 直角三角形的判定
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
学习目标
1、了解直角三角形的判定条件；
2、能够运用勾股数解决简单实际问题；
　
温故知新
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，
如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
勾股定理的概念
　
导入新课
思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
讲授新课
知识点一 直角三角形的判定
活动一 画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
B
3
4
C
A
5
B
5
12
C
A
13
B
8
15
C
A
17
判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？
都是直角三角形
讲授新课
思考1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
82+152=172
32+42=52
52+122=132
a2+b2=c2
讲授新课
思考2 根据上述结论你有什么猜想呢？
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
你能证明这个猜想吗？
A
b
a
C
B
c
已知：在△ABC中，AB=c , BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
讲授新课
A
b
a
C
B
c
A′
b
a
C′
B′
∟
证明：画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a， A′C′=b（如图）.
由勾股定理，可得 A′B′ 2= a2+b2.
因为 AB2= a2+b2，
根据“SSS”，可证△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.
讲授新课
勾股定理逆定理
∵在△ABC中，a2+b2=c2，
b
B
A
C
a
c
∟
定理揭示了三角形三边之间的数量关系：a2+b2=c2 → Rt△.
　 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
讲授新课
勾股定理与其逆定理对比：
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系 A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°
a2 + b2 = c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2 + b2 = c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2 + b2 = c2
∠C=90°
数量关系a2 + b2 = c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数
讲授新课
典例精析
(1) a=8，b=15，c=17；
(2) a=13，b=14，c=15.
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.
解：(1) ∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，
∴ 82＋152＝172.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
(2) ∵132＋142＝365，152＝225，
∴ 132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
讲授新课
【例2】已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n4
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2，
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
讲授新课
练一练
(1) a=7，b=25，c=24；
1、判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.
(2) a:b:c=3:4:5.
解：(1) ∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，
∴ 72＋242＝252.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠B是直角.
(2)设a=3k、b=4k、c=5k，
∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，
根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
讲授新课
2、一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
讲授新课
在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
讲授新课
知识点二 常见的勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数。
常见的基本勾股数有：
3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
8，15，17；
7，24，25；
9，40，41；
1.“勾股数”的任意正整数倍仍是勾股数。
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是不是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
讲授新课
典例精析
【例3】 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
讲授新课
练一练
1、像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的三个正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
a 3 6 9 12 … 3n
b 4 8 12 16 … 4n
c 5 10 15 20 … 5n
讲授新课
a 3 5 7 9 11 … 2n+1
b 4 12 24 40 　60 … 2n(n＋1)
c 5 13 25 　41 61 … 2n(n＋1)＋1
①从上面2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．
解：①规律：一组勾股数，都扩大相同倍数n(n为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数的性质
②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．
利用勾股数可以构造直角三角形.
当堂检测
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
当堂检测
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
当堂检测
3.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A.5，6，7 B.10，8，4
C.7，25，24 D.9，17，15
4.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A. B.
C. D.
C
B
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) =0.
∴ a=3, b=4, c=5
即 a2+b2+c2.
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250海里;
在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2
即AB2+BC2=AC2
∴△ABC是Rt△
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
A
B
C
北
课堂小结
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
谢 谢~