参考答案：
1．C
【分析】根据空间向量线性运算，先把向量用来表示，再用空间向量数量积运算即可求解
【详解】在正三棱锥中，，所以，
则，又，，
所以
.
故选：C.
2．B
【分析】由空间向量基本定理求解即可.
【详解】由，点为的中点，
可得，
又，．
故选：B.
3．B
【分析】根据向量共线可得，进而根据空间中点点距离即可求解.
【详解】如图，连接，因为直线与都在平面内，
所以直线与的交点即与平面的交点，
由于且，故由三角形相似，可得，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，所以，从而，
所以的坐标为，所以,
故选:B
4．C
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量计算出外接球的球心O到平面EAC的距离即可.
【详解】如图，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则外接球球心为正方体对角线的中点，
则，，，，
，，设平面的法向量为，
则，令，解得，
又由，则点到平面的距离，
又正方体的对角线长，∴ 外接球半径为，
设截面圆半径为，所以，则；
故选：C.
5．B
【分析】设直线的方向向量，求出两个向量在直线上的投影向量，由题意可得，的关系，进而求出直线的斜率.
【详解】因为在直线l方向向量上的投影向量一定共线，
设l的方向向量为，则，
即，
整理可得：，所以，直线斜率为－1．
故选：B．
6．D
【分析】根据直线法向量利用待定系数法即可得到答案.
【详解】设为平面直角坐标系中任意一点，
则P在直线l上的充要条件是与垂直．
又因为，所以，
整理可得一般式方程为．
故选：D.
7．A
【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解.
【详解】直线，当，得，
即点，
直线，当，得，即点，
且两条直线满足，所以，即，
，
，当时，等号成立，
所以的最大值为4.
故选：A
8．B
【分析】根据圆的几何性质，结合对称的性质、两点间线段最短、两点间距离公式进行求解即可.
【详解】圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
设圆：关于直线对称的圆为圆，
设的坐标为，
于是有，
设P点关于直线对称的点为，
显然有，
于是求的最小值，转化为求的最小值，
由圆的性质可知，当点在同一条直线上时，最小，
最小值为，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是求出圆关于直线对称的圆的圆心坐标.
9．CD
【分析】由向量可以平移的性质来判断A选项，由向量数量积和向量共线的定义来判断B选项，由直线方向向量的概念判断C选项，由向量共面定理判断D选项即可.
【详解】对于A，向量所在的直线为异面直线，因为向量是可自由平移的，
则向量可以平移到同一平面，此时共面，故A错；
对于B，向量，若与的夹角为钝角，
则，且与不共线，
即：，解得：且，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故直线的一个方向向量为，C正确；
对于D，存在不全为0的实数x，y，z，
当时，
，
由向量共面定理知一定共面,
同理，当或时，也一定共面,故D正确.
故选：CD
10．BD
【分析】A选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；B选项，利用空间向量基本定理求出，由；C选项，由图可知与的夹角为钝角，也即与的夹角为钝角；D选项，首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得；
【详解】对于A选项，，故A错误；
对于B选项，，，
，
故，B正确；
对于C选项，，三角形是等边三角形，
因为，，
，
可知与的夹角为钝角，也即与的夹角为钝角，C选项错误.
对于D选项，因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，
故，，，
所以
，故，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
11．ABC
【分析】对于A，由互相平行直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于B，由互相垂直直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于C，由直线平行的充要条件列出方程，解方程对比即可,注意检验；对于D，注意到当截距均为0时，也是有可能的，故可以判断D错误.
【详解】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确；
对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确；
对于C，因为直线与直线平行，
所以，解得或，
注意到当时，两直线重合，所以，故C正确；
对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误.
故选：ABC.
12．BCD
【分析】根据直线与圆的关系，结合题目条件逐一判断选项对错即可.
【详解】圆的圆心为，半径为.
因为直线过点，为线段的中点，所以，
所以点在以为直径的圆上，即点的轨迹是圆，故A错误；
圆心到直线的距离最大时有，最大值为，
故的最小值为，故B正确；
直线的方程是时，圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以圆上仅有三个点到直线l的距离为5，故C正确；
由B选项分析可知，的最小值为6，最大值即为直径14，
由过定点的圆的最短弦与最长弦有唯一性，
而长度介于两者之间的弦有对称性可知，
使为整数的直线共有条，故D正确.
故选：BCD
13．
【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可．
【详解】由二面角的平面角的定义知，
，
由，，得，又，
，
所以，即，
故答案为：．
14．
【分析】用表示,平方求模即可.
【详解】根据题意，
所以即为二面角的平面角，即，
因为为为对角线DF的中点，
所以,
又M为对角线AC靠近点A的三等分点，
则
所以,
所以
,
所以
.
所以所以线段
故答案为：
15．
【分析】由题可得直线所过定点为，则设直线为，其中，则问题转化为已知，，求的最小值，利用基本不等式可得答案.
【详解】
，即直线所过定点为.
由题设直线方程为：，其中，则,.
由基本不等式，，面积的最小值为4，
当且仅当，即时取等号.
则三角形AOB面积最小时直线方程为
故答案为：
16．/
【分析】画出图形，根据图形分析可知当圆心与动点P的距离最小时，切线长最小，由点到直线的距离公式、勾股定理结合已知条件进行运算即可求解.
【详解】如图所示：
过直线上任意一点P作圆的切线，设切点为，
由题意圆的圆心坐标为，半径为，
则切线长，
若要切线长最小，
则只需最小即可，
而的最小值即为点到直线的距离，
因此的最小值为，
从而切线长的最小值为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由向量对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义即可求解；
（2），结合（1）及数量积的运算律即可求解.
【详解】（1）因为是的中点，
所以............................2
．................................4
（2）根据题意可知，
，
，.......................8
∴
，............................10
所以，所以的长为．...............12
18．(1)或；
(2)k的值是．
【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线可设，结合模长公式可求；
（2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值；
【详解】（1）空间中三点，
则，，
，且，，........................4
，
，或．.............................7
（2）因为，，且向量与互相垂直，.......................9
，解得．
的值是．..............................12
19．(1)证明见解析
(2)；
【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求得相关点坐标，利用平面，可得，即可求得m的值，即得线段的长；根据空间角的向量求法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：平面，平面，
．
又，，，，平面，
平面，又平面，
平面平面，即平面平面；．...............................4
（2）取CD中点为E，连接AE，因为，，，，
则，即四边形为矩形，故，
又平面，平面，则可得两两垂直，
故以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
..........................................5
设，，，，，，
，由平面，则，
而，，，故，
即；..........................8
，，，，
设平面的一个法向量，
，即，可取，.........................10
设与平面所成角为，，
..........................................12
20．(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）将直线方程整理成关于的式子，再令其系数为0，解关于和的方程组即可；
（2）易知，，由，再利用基本不等式即可求出答案.
【详解】（1）由得，
则，解得，所以不论为何值，直线必过一定点；...........3
（2）由得，
当时，，当时，，...................5
又由，得，.........................9
，...........11
当且仅当，即时，取等号．...................12
所以三角形面积的最小值为12．
21．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可求解.
（2）斜率存在的两直线平行的充要条件是斜率相等，由此即可求解.
（3）斜率存在的两直线垂直的充要条件是斜率之积为，由此即可求解.
【详解】（1）将直线的方程变形为，
由题意不论为何值，都有，
所以有，解得，
所以直线必过一定点..................4
（2）由（1）可知直线必过一定点，
将直线的方程变形为，
所以直线的斜率，
将直线方程变形为，
所以直线的斜率为，
由题意可得，解得，
将代入直线的方程得直线的方程为.......................8
（3）由（1）可知直线必过一定点，
且由（2）可知直线的斜率，直线的斜率为，
由题意可得，解得，
将代入直线的方程得直线的方程为，即.................12
22．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，直线的方程为
【分析】（1）利用两直线垂直与直线方程系数的关系可证得结论成立；
（2）求出直线所过定点的坐标，直线所过定点的坐标，分析可知，，结合勾股定理可求得曲线的方程；
（3）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，由求出的取值范围，列出韦达定理，由题意可得，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得实数的值.
【详解】（1）证明：因为直线的方程为，直线的方程为，
且，故.................3
（2）解：对于直线，其方程可变形为，由，解得，
故直线过定点，
对于直线，其方程可变形为，由，解得，
故直线过定点，
因为，设点，则，
即，
整理可得，
所以，曲线的方程为..........................8
（3）解：设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，即，解得，
由韦达定理可得，，
，，
由题意可知，，则
，
解得或（舍），故，所以，直线的方程为.......................12
答案第1页，共2页四子王旗实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 每题5分
1．在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A．-2 B．-4 C．-8 D．-10
2．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，若直线与平面交于点，则线段的长度为（ ）
A． B．2
C． D．
4．如图，在棱长为2的正方体中，棱的中点为，则平面截正方体的外接球所得截面圆的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．向量，，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
6．已知直线l经过点，而且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为( )
A．4 B．8 C． D．
8．已知点P为圆：上一动点，点Q为圆：上一动点，点R在直线l：上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题 每题5分（错选多选0分，少选2分）
9．在下列四个命题中，正确命题的是（ ）
A．若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
B．向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为；
C．直线的一个方向向量为；
D．若存在不全为0的实数x，y，z使得，则共面
10．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是60°
D．
11．下列结论中正确的有（ ）
A．过点且与直线平行的直线的方程为
B．过点且与直线垂直的直线的方程为
C．若直线与直线平行，则的值为3
D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
12．已知圆，直线过点，且交圆于两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹不是圆
B．的最小值为6
C．若的方程是，则圆上仅有三个点到直线l的距离为5
D．使为整数的直线共有16条
三、填空题每题5分
13．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，，则的长等于 ．
14．如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN= .
15．直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 .
16．过圆外一直线上一动点P作圆的切线，则切线长最小值为
四、解答题共计70分
17．（本题10分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，长为2，长为1，侧棱的长为，且与，的夹角都等于，M是的中点．设，，．
(1)试用，，表示出向量；
(2)求的长．
18．（本题12分）已知空间中三点，设．
(1)若，且，求向量，
(2)已知向量与互相垂直，求k的值．
19．（本题12分）如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是的重心．
(1)求证：平面平面；
(2)求线段的长及直线与平面所成角的正弦值．
20．（本题12分）设直线的方程为．
(1)求证：不论为何值，直线必过一定点；
(2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，求面积的最小值．
21．（本题12分）设直线的方程为
(1)求证：不论为何值，直线必过一定点；
(2)若直线过点且与直线平行，求直线的方程；
(3)若直线过点且与直线垂直，求直线的方程；
22．（本题12分）设为实数，直线与直线相交于点．记的轨迹为曲线．
(1)求证：；
(2)求曲线的方程；
(3)是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由
