高二期中考试数学答案
1-4 CADC 5-8BCBC
9.BCD 10.BC 11.BCD 12.BD
17
13.-9 14. 15.120 16. ( 2 1, )
3
7.解：∵直线 ： 的倾斜角为 ，斜率为 ，∴ ，
∵直线 的倾斜角为 ，∴斜率为 ，
∴ 的方程为 ，即 .故选：B．
8．C【详解】由题设， P在以 | AB |为直径的圆上，令 P(x, y)，则 x2 y2 4 ( P不与 A,B重
合)，所以 PC 的取值范围，即为C 4,3 到圆 x2 y2 4上点的距离范围，
又圆心 (0,0)到C的距离 d (4 0)2 (3 0)2 5，圆的半径为 2，
所以 PC 的取值范围为[d r,d r]，即 3,7 .
10.点 关于 轴的对称点为 ，
11. 则反射光线一定经过点 ，
由于 圆心为 ，半径为 1，
若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为 ，
与圆 无交点，
设反射光线的斜率为 ，则可得出反射光线为 ，即 ，
因为反射光线与圆相切，则圆心 到反射光线的距离 ，即 ，
解得 或 ，则反射直线的方程为 或 .
故选： .
11.直线 l : kx y 2k 0，即 k(x 2) y 0，则直线恒过定点 ( 2,0)，故 A错误；
当 k 2时，直线 l : kx y 2k 0与直线 l0 : x 2y 2 0垂直，故 B正确；
因为定点 ( 2,0)在圆O : x2 y2 16内部，所以直线 l与圆O相交，故 C正确；
当 k 1时，直线 l化为 x y 2 0，即 x y 2 0，
圆心O | 2 |到直线的距离 d 2，直线 l被圆O截得的弦长为 2 9 2 2 7，故 D正确．
2
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
12.如图，取 AD的中点 O，BC的中点 E，连接 ， ,
则 ，而 ；
因为 为等边三角形，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 ，所以 两两垂直．
以 O为坐标原点，以 所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则
点 ， ， ， )， ， ，
因为 Q是 PD的中点，所以 Q点坐标为 .
平面 的一个法向量可取为 ， ，
显然 与 不共线，所以 CQ与平面 不垂直，所以 A不正确；
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 x＝1，则 ， ，所以 .
设 PC与平面 所成角为 ，则 ，
所以 ，所以 B正确；
三棱锥 的体积为
，所以 C错误；
由题意四棱锥 Q-ABCD 外接球的球心位于平面 上，设为点 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
即 为矩形 对角线的交点，
所以四棱锥 Q-ABCD 外接球的半径为 ，D正确，
故选：BD.
15.【详解】在面 内，作CE / /AB，过 B作 BE AB交CE于 E，连接DE，如下图示，
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
由 BD AB，则 DBE为二面角的平面角，且CE BD，
又 AC AB,易知 ABEC为正方形，即CE BE，
BD BE B， BD,BE 面 BDE，则CE 面 BDE，
DE 面 BDE，所以CE DE， CDE中CE 6，故DE CD2 CE2 6 3，
2 2 2
BDE BE 6 cos DBE BD BE DE 36 36 108 1在△ 中 ，则 ，
2BD BE 2 6 6 2
由图知： DBE (
π
, π) 2π，可得 DBE .
2 3
2π
故答案为：
3
17.（1）因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时，直线 两条直线重合，
故 时， ；
（2）因为 ，所以 ，解得 或 .
1
18.【解析】（1）连接ON，因为 P 是线段 MN 的中点，所以OP OM ON ，2
2
因为 N 是棱 BC 的中点，OM 2MA，即OM OA，3
1 2 1 1 2 1 所以OP OA OC OB a c b 1a 1 b 1 c．2 3 2 2 3 2 3 4 4
2 2 22 2
（2） OP 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 1 a b a c c b
3 4 4 9 4 4 6 6 8
π 2π
因为 a b c 1， a,b c ,a , b ,c ，
2 3
2 1 1 1 1 1 25 5
所以 OP ，故 OP ．
9 16 16 8 2 144 12
3
19.解：（1）过点 P 2，2 与直线 2x 3y 10 0垂直的直线m的斜率为 k = ，
2
3
所以直线m的方程为 y 2 x 2 ，即3x 2y 2 0 .
2
3x 2y 2 0
由 ，解得圆心C 0， 1 .
x y 1 0
2
所以半径 r 0 2 1 2 2 13 .
故圆C的方程为： x2 y 1 2 13；
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
（2）解：①若斜率存在，设过点Q 2，3 的直线 l斜率为 k，
则直线 l方程为： y 3 k x 2 ，
即 kx y 2k 3 0，
2k 4
圆心C 0， 1 到直线 l的距离 d ，
k 2 1
又 AB 6，r 13
2
2k 4
2 3 13，整理得 4k 3 0，
k 2 1
k 3解得 ，此时直线 l的方程为3x 4y 6 0；
4
②若斜率不存在，直线方程为 x 2，弦心距为 2，半径 r 13 ，
弦长为 2 ( 13)2 22 6，符合题意，
综上，直线 l的方程为3x 4y 6 0或 x 2 .
20.（1）证明：如图 4，连接DE，
∵ E， F 分别为 PB， AB的中点，∴ EF∥PA，
∵ PA 平面 PAC， EF 平面 PAC，∴ EF∥平面 PAC，
∵D，E分别为 BC， PB的中点，∴ DE∥PC，
∴ PC 平面 PAC， DE 平面 PAC，∴DE∥平面 PAC，
又 EF， DE 平面 DGE，且 EF DE E，
∴平面 DGE∥平面 PAC，而 DG 平面 DGE，
∴DG∥平面 PAC
（2）以 A为坐标原点，分别以 AD， AP所在直线为 y、 z轴建立空间直角坐标系，
∵△ ABC是正三角形，且 AP AC，不妨设 AP 4，
∴ P(0,0,4)， D(0,2 3,0)， B(2,2 3,0)，G(1, 3,1) .
PB (2,2 3, 4) ，DB (2,0,0)，DG (1, 3,1) .
设平面 PBC的一个法向量为 n (x, y, z)，
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
n PB 2x 2 3y 4z 0 3
则 取 y 1，则 n (0,1, )
n DB 2x 0 2
设直线 DG与平面 PBC所成角为 ，
3 3
n DG 2
sin cos n,DG 105则
n DG 3 351 5
4
直线 DG 与平面 PBC 105所成角的正弦值为 .
35
21.【小问 1详解】证明：如图所示，连接 A1C，因为侧面 AA1C1C为菱形，且 A1AC 60 ，
所以△AA1C为等边三角形，所以 A1D AC ，
又因为平面 ABC 平面 AA1C1C， A1D 平面 AA1C1C，
且平面 AA1C1C 平面 ABC AC，所以 A1D 平面 ABC．
【小问 2详解】由（1）知 A1D 平面 ABC，
因为 BD,DC 平面 ABC，所以 A1D DB,A1D DC ，
又因为 AB BC，且D为 AC的中点，所以 BD AC，
以D为坐标原点，以 DB，DC，DA1所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
不妨设 AC 2，可得D 0,0,0 ，B 1,0,0 ，C 0,1,0 ， A 0, 1,0 ， A1 0,0, 3 ，
由 A1B1 AB，可得 B1 1,1, 3 ，
则CB1 1,0, 3 ，DC 0,1,0 ，CB 1, 1,0 ，CB1 1,0, 3 ，
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
n
CB1 x 3zDCB n x , y , z 1 1
0
设平面 1的法向量为 1 1 1 ，则有
n
,
·DC y1 0
r
取 z1 3，可得 x 3, y 0，所以 n 3,0, 3 ，
m CB x y
BBC m x , y , z 1 2 2
0
设平面 1 的法向量为 2 2 2 ，则 ，
m
CB x2 3z2 0
ur
取 z2 3，可得 x 3, y 3，所以m 3, 3, 3 ，
设平面DB1C与平面 BB1C 夹角为 ，
r ur
r ur n m
则 cos cos
9 3 2 7
n,m r ur ，
n m 2 3 21 7
2
即平面DB1C与平面 BB1C 夹角的余弦值为 7 ．7
22.（1）设切线方程为 ，即
圆心坐标为 ，半径
根据圆的切线的定义可知： ，即
解得： 或
代回方程可求得切线方程为： 或
或
（2）∵圆
∴圆心 C（2，0），半径 r＝1
设 P（t，﹣t），由题意知 A，B在以 PC为直径的圆上，又 C（2，0）
∴ ，即
又圆 C： ，即
故直线 AB的方程为 ，即
由 ，解得 ，
即直线 AB恒过定点 .
（3）由 ，得
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
∴
设 E（x1，y1），F（x2，y2），
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ 的取值范围为 .
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}高二期中考试数学试题
一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）
1．化简 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
2. 直线 x 3y 1 0的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 120° D. 150°
3. 己知 m，n是两条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，下列命题中正确的是
（ ）
A. 若m // , n ，则m //n B. 若 , ，则 //
C. 若m // ,m // ，则 // D. 若m , n ，则m //n
4．如图，在平行六面体 中，P是 的中点，点 Q在 上，且 ，
设 ， ， ．则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点 P(1,2) ，向量m ( 3,1)，过点 P 作以向量m为方向向量的直线为 l，则点 A(3,1)到
直线 l 的距离为（ ）
A． 3 1 B．1 3 C． 2 3 D． 2 3
2
6. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC BC ，AB 2AC 2AA1 4，则异面直线 AC1与B1C所
成角的余弦值为（ ）
A. 3 B. 13 C. 2 D. 13
3 3 4 4
7.已知直线 ： 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，且直线 在 轴上的截距为
3，则直线 的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
1
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
8．已知点 A 2,0 ， B 2,0 ，C 4,3 ，动点 P 满足 PA PB，则 PC 的取值范围为（ ）
A． 2,5 B． 2,8 C． 3,7 D． 4,6
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
2
A ．若直线 l的方向向量为 e 1,0,3 ，平面 的法向量为 n 2,0, ，则直线 l / /
3
1 1 1
B．若对空间中任意一点O，有OP OA OB OC，则 P、A、 B、C四点共面
4 4 2
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量 a 9,4, 4 ，b 1,2,2 ，则 a在b 上的投影向量为 1,2,2
10．一条光线从点 射出，经 轴反射后，与圆 相切，则反射后
光线所在直线的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知直线 l : kx y 2k 0和圆O : x2 y2 9，则（ ）
A．直线 l恒过定点 (2,0)
B．存在 k使得直线 l与直线 l0 : x 2y 2 0垂直
C．直线 l与圆O相交
D．若 k 1，直线 l被圆O截得的弦长为 2 7
12．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，侧面 PAD是边长为 的正三角形，
底面 为矩形， ，Q是 PD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．CQ⊥平面 PAD
B．PC与平面 AQC所成角的余弦值为
C．三棱锥 B-ACQ的体积为
D．四棱锥 Q-ABCD外接球的半径为 3
三．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
2
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
13． 已知圆C : x2 y2 6x 8y m 0，其中m R，如果圆C与圆 x2 y2 1相外切，则m的
值为________.
14. 已知点 A(2, 1,1)，B(1,-2,1)，C(0,0,-1)，则 A到 BC 的距离为______.
15.如图，在二面角 l 中， A l,B l, AC ,BD 且 AC AB,BD AB，垂足分别为
A，B，已知 AC AB BD 6，CD 12，则二面角 l 所成平面角为 ．
16．若圆 x2 y2 r 2 (r 0)上恰有四个点到直线 x y 2 0的距离为 1，则实数 r的取
值范围是
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知两直线 .当 为何值时， 和 .
(1)平行； (2)垂直.
18．如图，在四面体 OABC 中，OM 2MA，N 是棱 BC 的中点，P 是线段 MN 的中点．设OA a，
OB b，OC c．
(1)用 a，b， c表示向量OP；
a b c 1 a ,b c ,a π , b,c 2π(2)已知 ， ，
2 3
求 OP 的大小．
3
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
19.已知圆C的圆心C在直线 x y 1 0上，且与直线 2x 3y 10 0相切于点 P (2，2) .
（1）求圆C的方程；
（2）若过点Q (2，3)的直线 l被圆C截得的弦 AB长为 6，求直线 l的方程.
20.(本小题满分 12分)
如图 4， AP是圆柱的母线，正△ ABC是该圆柱的下底面的内接三角形，D，E，F分别为 BC，
PB， AB的中点，G是 EF 的中点，且 AP AC .
（1）求证：DG∥平面 PAC；
（2）求直线DG与平面 PBC所成角的正弦值.
21. 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB BC,AC AA1，点D为棱 AC的中点，平面 ABC
平面 AA1C1C
，且 A1AC 60 .
（1）求证： A1D 平面 ABC .
（2）若 AB BC，求二面角D B1C B的余弦值.
22．已知圆 C： ，点 P是直线 上一动点，过点 P作圆 C的两条切
线，切点分别为 A，B.
(1)若 P的坐标为 ，求过点 P的切线方程；
(2)试问直线 AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线 与圆 C交于 E，F两点，求 的取值范围（O为坐标原点）.
4
{#{QQABQY6QogCAABIAAQhCUwWgCgMQkBGCAAoOBEAIIAABwRFABAA=}#}
