福建省福州市仓山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省福州市仓山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 662.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-14 07:01:30 | ||
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文档简介
福州市仓山区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
2．方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在正四面体中，是的中心，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在下列条件中，能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C D．
6．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，直线，若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系中，向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线，其方程均可写为
D．已知，，若直线：与线段有公共点，则
11．点是直线：上的一个动点，A，B是圆：上的两个动点，则（ ）
A．点到直线的距离大于
B．点到直线的距离小于
C．存在点P，A，B，使得
D．若直线PA，PB均与圆相切，则直线AB过定点
12．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形．底面，，点是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面内一点，则（ ）
A．存在点，使平面
B．存在点，使平面
C．的最小值为
D．以为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长为
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13．若直线与圆相切，则______．
14．已知点，，，则点到直线的距离是______．
15．在平面中，，，，则实数______．
16．若直线和直线都过点，则过点和点，的直线方程为______．
17．已知实数x，y满足，则的最大值为______．
18．关于的不等式恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分．
19．已知直线的方程为．
（1）若直线与平行，且过点，求直线的方程；
（2）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．
20．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）与平面的夹角的余弦值．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，圆N过原点O及点且与圆C外切．
（1）求圆N的标准方程；
（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程．
22．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．
（1）平面BDE；
（2）若，线段PC上是否存在一点，使平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知，，以原点O为圆心的圆与直线AB相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l：与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；
（3）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
福州市仓山区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A D C A D B D ABD ACD BD BD
13．2 14． 15．
14． 17．1 18．
19．（1） （2）或
【详解】（1）由直线与平行，可设的方程为，
将，代入，得，
即得，所以直线的方程为
（2）由直线与垂直，可设的方程为，
令，得，令，得，
故三角形面积，
所以，解得，
所以直线的方程是或
20．（1）证明见解析 （2） （3）
【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取
则，所以平面．
（2）由（1）知，
设平面ABD的一个法向量为，则，取，
所以点到平面ABD的距离为；
（3）由（1）知，，，
设平面BCD的一个法向量为，则，取，
设平面BCD与平面ABD的夹角为，则．
21．（1） （2）或．
【详解】（1）由题意知，圆的圆心在直线上，
设，半径为，
因为圆与圆外切，且圆的圆心，半径为，
所以，即①
又，即②，
由①得，，代入②得，，
解得或（舍），所以，
故所求圆的标准方程为．
（2）当的斜率不存在时，的方程为：，与圆相离，不符合题意．
当的斜率存在时，设为，故的方程为，
则圆心到直线的距离为：；
圆心到直线的距离为：，
因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方，
又被两圆截得的弦长相等，所以，
即，解得或，
故直线的方程为或．
22．（1）证明见解析 （2）存在，
【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为ABCD为正方形，所以．
又，且PA，平面ADP，所以平面ADP．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，得．
由题意得．因为平面BDE，所以平面BDE．
（2）存在，理由如下：因为，所以，
令，所以，
，，
所以，解得，则，
故
23．（1） （2） （3）存在，且，
【详解】（1）由于，，则线段AB与x轴平行，且与圆O相切．
所以圆O的圆心为，半径为1，所以圆O的方程为．
（2）由于，所以，，
由于三角形OMN是等腰直角三角形，所以O到直线MN的距离为，
所以．
（3）直线AO的方程为，假设存在符合题意的点，
设，则①，
由于P的任意性，不妨设或，
代入①得，，解得或（舍去），
所以，（负根舍去），
将，带入①得，
整理得，则P在圆O上．
所以，这样的Q点是存在的，坐标为，此时．
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
2．方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在正四面体中，是的中心，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在下列条件中，能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C D．
6．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，直线，若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系中，向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线，其方程均可写为
D．已知，，若直线：与线段有公共点，则
11．点是直线：上的一个动点，A，B是圆：上的两个动点，则（ ）
A．点到直线的距离大于
B．点到直线的距离小于
C．存在点P，A，B，使得
D．若直线PA，PB均与圆相切，则直线AB过定点
12．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形．底面，，点是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面内一点，则（ ）
A．存在点，使平面
B．存在点，使平面
C．的最小值为
D．以为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长为
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13．若直线与圆相切，则______．
14．已知点，，，则点到直线的距离是______．
15．在平面中，，，，则实数______．
16．若直线和直线都过点，则过点和点，的直线方程为______．
17．已知实数x，y满足，则的最大值为______．
18．关于的不等式恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分．
19．已知直线的方程为．
（1）若直线与平行，且过点，求直线的方程；
（2）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．
20．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）与平面的夹角的余弦值．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，圆N过原点O及点且与圆C外切．
（1）求圆N的标准方程；
（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程．
22．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．
（1）平面BDE；
（2）若，线段PC上是否存在一点，使平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知，，以原点O为圆心的圆与直线AB相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l：与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；
（3）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
福州市仓山区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A D C A D B D ABD ACD BD BD
13．2 14． 15．
14． 17．1 18．
19．（1） （2）或
【详解】（1）由直线与平行，可设的方程为，
将，代入，得，
即得，所以直线的方程为
（2）由直线与垂直，可设的方程为，
令，得，令，得，
故三角形面积，
所以，解得，
所以直线的方程是或
20．（1）证明见解析 （2） （3）
【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取
则，所以平面．
（2）由（1）知，
设平面ABD的一个法向量为，则，取，
所以点到平面ABD的距离为；
（3）由（1）知，，，
设平面BCD的一个法向量为，则，取，
设平面BCD与平面ABD的夹角为，则．
21．（1） （2）或．
【详解】（1）由题意知，圆的圆心在直线上，
设，半径为，
因为圆与圆外切，且圆的圆心，半径为，
所以，即①
又，即②，
由①得，，代入②得，，
解得或（舍），所以，
故所求圆的标准方程为．
（2）当的斜率不存在时，的方程为：，与圆相离，不符合题意．
当的斜率存在时，设为，故的方程为，
则圆心到直线的距离为：；
圆心到直线的距离为：，
因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方，
又被两圆截得的弦长相等，所以，
即，解得或，
故直线的方程为或．
22．（1）证明见解析 （2）存在，
【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为ABCD为正方形，所以．
又，且PA，平面ADP，所以平面ADP．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，得．
由题意得．因为平面BDE，所以平面BDE．
（2）存在，理由如下：因为，所以，
令，所以，
，，
所以，解得，则，
故
23．（1） （2） （3）存在，且，
【详解】（1）由于，，则线段AB与x轴平行，且与圆O相切．
所以圆O的圆心为，半径为1，所以圆O的方程为．
（2）由于，所以，，
由于三角形OMN是等腰直角三角形，所以O到直线MN的距离为，
所以．
（3）直线AO的方程为，假设存在符合题意的点，
设，则①，
由于P的任意性，不妨设或，
代入①得，，解得或（舍去），
所以，（负根舍去），
将，带入①得，
整理得，则P在圆O上．
所以，这样的Q点是存在的，坐标为，此时．
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