圆锥曲线综合压轴，点轨迹、共线、四点共圆问题 学案

圆锥曲线综合(一)
1. 交轨法
2. 三点共线
3. 四点共圆
4. 定值问题
典型例题
x2 y2
例 1双曲线 2 2 1的实轴为 A1A2，点 P是双曲线上的一个动点，引 A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与 A2Qa b
的交点为 Q，求 Q点的轨迹方程.
例 2抛物线 y2 2px( p 0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且 OA⊥OB，过 O作 OP⊥AB交 AB于 P，
求 P点轨迹方程.
例 3 2已知抛物线： y 4x焦点为 F，过点 K(-1，0)的直线 l与 C交于 A、B两点，点 A关于 x轴的对称点为
D，证明点 F在直线 BD上.
2 2
例 4已知椭圆在焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x 4y的焦点，离心率为 ，过椭圆右焦点 F
5
作与坐标轴不垂直的直线 l，交椭圆于 A、B两点.
(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点M(m，0)是线段 OF上的一个动点，且 (MA MB) AB，求 m的取值范围.
(3)设点 C是点 A关于 x轴的对称点，在 x轴上是否存在一个定点 N，使得 C、B、N三点共线？若存在，求出
定点 N的坐标，若不存在，请说明理由.
y2
例 5 已知 O为坐标原点，F 2为椭圆 C： x 1在 y轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为 2的直线 l与 C
2

交于 A、B两点，点 P满足OA OB OP 0
(1)证明：点 P在 C上；
(2)设点 P关于点 O的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
y2
例 6 设 A、B是双曲线 x2 1上的两点，点 N(1,2)是线段 AB的中点
2
(1)求直线 AB的方程；
(2)如果线段 AB的中垂线与双曲线相交于 C、D两点，那么 A、B、C、D四点是否共圆，为什么？
2
2 y
例 7已知椭圆 x 1的左右两个顶点分别为 A、B，曲线 C是以 A、B两点为顶点，离心离为 5的双曲
4
线，设点 P在第一象限且在曲线 C上，直接 AP与椭圆相交于另一点 T.
(1)求曲线 C的方程；
(2)设 P、T两点的横坐标分别为 x1、x2,证明：x1x2=1
x2 y2
例 8已知椭圆 E: 2 2 1(a b 0)
1
的一个焦点为 F1( 3 ,0),而且过点 H( 3， )
a b 2
(1)求椭圆 E的方程；
(2)设椭圆 E的上下顶点分别为 A1、A2,P是椭圆上异于 A1、A2的任一点，直线 PA1、PA2分别交 x轴于 N、M，
若直线 OT与过点M、N的圆 G相切，切点为 T，证明：线段 OT的长为定值，并求出该定值.
练习 1
x2
F y2已知点 是椭圆 2 1(a 0)的右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是 x轴、y轴上的动点，且满足a 1

MN NF 0，若点 P满足OM 2ON PO
(1) 求点 P的轨迹 C的方程；
(2) 设过点 F任作一直线与点 P的轨迹交于 A、B两点，直线 OA、OB与直线 x=-a分别交于点 S、T(O为坐标

原点)，试判断FS FT是否为定值？若是求出这个定值；若不是，说明理由.
参考答案
x , y y 0 y0 0 1 y 0 y0 0例 1设点 P( 0 0 ),Q(x,y),易知 A1(-a,0)、A2(a,0),由已知可得 ① 1②，x a x0 a x a x0 a
2 2
由①②可得 x0 x, y
x a
0 ，而 P( x0 , y0 )在双曲线上，代入可得 a
2x2 b2 y2 a4 ( x a )
y
例 2设 P(x,y),A( x1, y1 ),B( x2 , y2 ),设直线 AB的解析式为 x=my+b,与抛物线联立得 y
2 2mpy 2pb 0得
2 2
y1 y2 2mp, y y
y
2pb， x x 1 y2 21 2 1 2 2 b ，而 OA⊥OB得 x1x2 y1y2 0可得 b=2p，OP⊥AB得4p
y 0 1 1 m y y 得 ,P在直线 AB上，代入可得 x y 2p即 (x p)2 y2 p2；另法：由 b=2p
x 0 m x x
知直线 AB过定点M(2p,0),△OMP为直角三角形，OM=2p，故点 P在以 OM为直径的圆上，故 P点的轨
迹方程为 (x p)2 y2 p2
例 3设 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 )设直线 AB的方程为 y k(x 1)，与抛物线联立得 k
2x (2k 2 4)x k 2 0得
4 4x1
x x 4 2k 2 , x x 1，易知 D( x , y ), k y1 y 4y k
y y y 4y
1 2 1 2 1 1 DF
1 1 2 1 1 12 2 , BF x1 1 y1 y 4 x2 1 1 1 1 x1 y
2 4
1 1 1
4 x1
kDF kBF ，故 F在 BD上
x2
例 4(1) y2 1；(2)设直线 AB解析式为 y k(x 2)与椭圆联立得 (1 5k 2 )x 20k 2x 20k 2 5 0得
5
20k 2 2 x1 x2 2 , x
20k 5
1x2 ，2 MA MB (x1 x2 2m, y1 y ) (x x 2m,k(x x 4))，1 5k 1 5k 2 1 2 1 2

AB (x2 x1, y2 y1) (x2 x1,k(x2 x1))，故

(MA MB) AB (x1 x2 2m)(x2 x1) k
2 (x1 x2 4)(x2 x1) (x2 x )[x x 2m k
2
1 1 2 (x1 x2 4)] 0
得 k 2 m 8 0得0 m
8 5m 5
y y
(3)易知 C( x1, y1 ),直线 BC的方程为 y y 1 21 (x x1)，令 y=0，则x2 x1
x x (x2 x1)y1 x (x2 x1)[k(x1 2)] x (x x )(x 2) 5 5 1 1 1 2 1 1 ，故点 N( ,0)y1 y2 k(x1 x2 4) x1 x2 4 2 2
例 5(1)设 A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )直线 AB方程为 y 2x 1与椭圆联立得 4x
2 2 2x 1 0，
x 2
2
1 x2 , y1 y2 1得 P( ， 1 ),代入验证可知点 P在椭圆上；2 2
2 2 1 2
(2)易知点 Q( ，1 ),AB的中垂线为 y x ，PQ的中垂线为 y x ，两直线的交点为
2 2 4 2
2 1
M( ， ),而易验证MA=MQ,故 A、P、B、Q四点在同一圆上
8 8
2 2
例 6(1)设 A( x1, y1 ),B( x2 , y ),则有 x
2 y1 2 y y y x x
2 1 1, x2 2 1两式相减得 1 2 2 1 2 1故直线 AB的2 2 x1 x2 y1 y2
方程为 y x 1
(2)易知 A(-1,0),B(3,4),AB的中垂线为 y x 3，与双曲线联立得 x2 6x 11 0 ,CD的中点为
M(-3,6),CD=4 10 ,MA=MB=2 10 ,故 A、B、C、D四点共圆
y2
例 7 (1) x2 1
4
(2)P( x1, y1 ),T( x
2 2 2
2 , y2 ),设直线 PT方程为 y k(x 1)与双曲线联立得 (4 k )x 2kx (k 4) 0得
k 2x 4
2
，同理与椭圆联立得 (4 k 2 )x2 2k 2x k 2 4 k1 4 k 2
4 0得 x1 ，故 x x 14 k 2 1 2
x2
例 8(1) y2 1
4
y 1
(2)设 P( x0 , y0 ),A1P方程为 y 0 x 1
x y 1
可得 N( 0 ,0),同理 A2P方程为 y 0 x 1
x
，M( 0 ，0 )
x0 y0 1 x0 y0 1
x x x2
由切割线定理得 OT2=OM·ON= 0 0 0 4，故 OT=2
y0 1 y0 1 1 y
2
0
练习 1(1)设点 P( x, y ),易知 ( m,n)(a, n) 0,即有 n2 ma 0，同时 m= 2(0,n) ( x, y)即有
m x,2n y 2代入得 y 4ax
(2)设 A( x1, y1 ),B( x2 , y2 ),直线 AB的解析式为 x my a联立得 y
2 4amy 4a2 0，
2
y 2 y1 4ax 4a1 y2 4am, y1y2 4a ，可知 OA方程为 y x 得 S( a, )；同理 OB方程为x1 y1 y1
y y 4ax 4a
2 4a2 4a2 16a2
2 x ,T( a, ),FS FT ( 2a, )( 2a, ) 4a2 4a2 4a2 0
x2 y2 y2 y1 y2 y1y2