上海市某中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(无答案)

上海市某中学2023学年第一学期高二年级数学期中
2023.11
一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）
1.计算：______.
2.若，，且，，则______（填“”、“”、“”、“”）.
3.已知空间两个角、，且的两边与的两边分别平行，若，则的大小为______.
4.已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是______.
5.若，与、的夹角都是60°，且，，，则______.
6.四面体的所有棱长均为2，则二面角的大小为______.
7.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，，，则这块菜地的面积为______.
8.已知圆锥底面的半径为10，母线长为60，则底面圆周上一点沿侧面绕两周回到点的最短距离是______.
9.已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为______.
10.对下列命题：①两两相交的三条直线确定一个平面；②已知直线、和平面，若、与所成的角相等，则；③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；④三个两两垂直的平面的相应交线也两两垂直，其中真命题的序号是______.（填上所有真命题序号）
11.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______.
12.如图，在长方体中，，，，，分别是，，的中点，点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______.
二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）
13.已知平面上的一条直线和这个平面的一条斜线，则“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
14.给出下列命题，其中是假命题是（ ）
A.存在每个面都是直角三角形的四面体
B.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C.在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
15.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ）
A. B. C. D.
16.在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为； ②的最小值为；
③的最大值为； ④的最大值为10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
三、解答题：（本题共有4大题，满分42分.解题时要有必要的解题步骤）
17.（本题共2小题，第1小题4分，第2小题4分，满分8分）
如图，在直三棱柱中，，、、分别是棱、、的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
18.（本题共2小题，其中第1小题5分，第2小题5分，满分10分）
已知向量，.
（1）若，且，求的值；
（2）设，求函数在上的最大值和最小值.
19.（本题共2小题，其中第1小题5分，第2小题7分，满分12分）
《九章算术商功》：“斜解立方，得两斩堵.斜解暂堵，其一为阳马，一为鳖臑期马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣，”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”
堑堵 阳马 鳖臑
如图，在鳖臑中，侧棱底面；
（1）若，，，，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若，，点在棱上运动.求面积的最小值.
20.（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）
在数列中，，在等差数列中，前项和为，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.