函数的单调性
1 函数单调性的概念
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
Eg：在上单调递减，但它不是减函数，
特别注意它的减区间是，不是.
2 单调性概念的拓展
① 若递增，，则.
比如：递增，则.
② 若递增，，则.
比如：递增则.
递减，有类似结论！
3 判断函数单调性的方法
① 定义法
解题步骤
(1) 任取，且；
(2) 作差；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差的正负)；
(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是.
④ 复合函数的单调性
(1)如果则称为的复合函数；
比如： (和的复合函数)；
(和的复合函数)；
(和的复合函数).
(2) 同增异减
设函数的值域是，函数
若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增；
若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减.
4 函数的最值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1) ，都有；(2)，使得；
那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.
【题型一】对函数单调性的理解
【典题1】 函数在是增函数，若，则有 ( )
【典题2】已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于 .
巩固练习
1(★★) 设，函数在区间是增函数，则( )
．
．
2(★★) 已知是定义在上单调递增的函数，则满足的取值范围是 .
【题型二】 判断函数单调性的方法
方法1 定义法
【典题1】判断在的单调性.
方法2 数形结合
【典题2】函数的单调增区间是 ( )
方法3 复合函数的单调性
【典题3】函数的单调减区间为 .
巩固练习
1(★) 下列四个函数在是增函数的为( )
2(★)设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是( )
．在上为减函数 ．在上为增函数
．在上为增函数 ．在上为减函数
3(★) 函数的递减区间为 ．
4(★) 函数的单调递减区间为 ．
5(★★) 函数的单调递增区间为 ．
6(★★★) 已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的个数.
7(★★★) 函数在区间上都有意义，且在此区间上
①为增函数，；②为减函数，．
判断在的单调性，并给出证明．
【题型三】函数单调性的应用
角度1 解不等式
【典题1】已知函数，若，则实数的取值范围是 .
角度2 求参数取值范围或值
【典题2】若()，在定义域上是单调函数，则的取值范围 .
角度3 求函数最值
【典题3】已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)当时，求函数在区间上的最小值．
巩固练习
1(★★) 已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是( )
有最大值，无最小值 有最大值，最小值
有最大值，无最小值 有最大值2，最小值
2(★★) 若是上的单调减函数，则实数的取值范围为 ．
3(★★) 若函数在上的最小值为．则 ．
4(★★) 已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
5(★★) 已知函数的最小值为，则实数的值为 ．
6(★★★) 已知函数的定义域为(为实数)．
当时，求函数的值域；
求函数在区间上的最大值及最小值，并求出当函数取得最值时的值．
【题型四】 抽象函数的单调性
定义在上的函数满足对所有的正数都成立，
且当，．
求的值
判断并证明函数在上的单调性
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
巩固练习
1 (★★★) 定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
求和的值；
试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
求满足的的取值集合．
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1 函数单调性的概念
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
Eg：在上单调递减，但它不是减函数，
特别注意它的减区间是，不是.
2 单调性概念的拓展
① 若递增，，则.
比如：递增，则.
② 若递增，，则.
比如：递增则.
递减，有类似结论！
3 判断函数单调性的方法
① 定义法
解题步骤
(1) 任取，且；
(2) 作差；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差的正负)；
(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是.
④ 复合函数的单调性
(1)如果则称为的复合函数；
比如： (和的复合函数)；
(和的复合函数)；
(和的复合函数).
(2) 同增异减
设函数的值域是，函数
若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增；
若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减.
4 函数的最值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1) ，都有；(2)，使得；
那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.
【题型一】对函数单调性的理解
【典题1】 函数在是增函数，若，则有 ( )
【解析】
又函数在上是增函数，
故选.
【典题2】已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，
则的值等于 .
【解析】函数在上是单调函数
可设(是个常数)，则；
；
在上单调递增，只有时对应的函数值是，即；
；
【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个对应一个，所以题目中“”只能是个常数.
巩固练习
1(★★) 设，函数在区间是增函数，则( )
．
．
【答案】
【解析】根据题意，，
又由函数在区间上是增函数，则有；
故选：．
2(★★) 已知是定义在上单调递增的函数，则满足的取值范围是 .
【答案】
【解析】是定义在上单调递增的函数，
不等式等价为，即，
即不等式的解集为，
【题型二】 判断函数单调性的方法
方法1 定义法
【典题1】判断在的单调性.
【解析】设
则
(因式分解方便判断差的正负)
(1) 假如则
又所以故函数单调递减；
(2) 假如则
又所以故函数单调递增；
所以函数在内单调递减，在内单调递增．
【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.
方法2 数形结合
【典题2】函数的单调增区间是 ( )
【解析】 (分离常数法)
的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到, 如下图
的单调增区间是．故选．(切勿选)
【点拨】
① 本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性.
② 利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等.
方法3 复合函数的单调性
【典题3】函数的单调减区间为 .
【解析】函数是由函数和组成的复合函数，
函数的定义域是
(优先考虑定义域，否则容易选)
由二次函数图像易得在单调递减，在单调递增，
而在是单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
【点拨】
① 研究函数的基本性质，优先考虑定义域；
② 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.
巩固练习
1(★) 下列四个函数在是增函数的为( )
【答案】
【解析】对于，二次函数，开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故不对．
对于，一次函数，，在是减函数，故不对．
对于，二次函数，开口向下，对称轴为，在)是增函数，故C不对．
对于，反比例类型，，在是增函数，故对．
故选：．
2(★)设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是( )
．在上为减函数 ．在上为增函数
．在上为增函数 ．在上为减函数
【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，若，则，在上不是减函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，函数在上为增函数，
则对于任意的，设，必有，
对于，则有，
则在上为减函数，正确；
故选：．
3(★) 函数的递减区间为 ．
【答案】
【解析】当时，，对称轴为，此时为增函数，
当时，，对称轴为，抛物线开口向下，当时，为减函数，
即函数的单调递减区间为，
故选：．
4(★) 函数的单调递减区间为 ．
【答案】
【解析】由题意，，可得或，
函数的定义域为，
令，则在上单调递增，
，在上单调递减，在上单调递增，
函数的单调递减区间为，
5(★★) 函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】作出函数的图象如图，
由图可知，函数的增区间为．
6(★★★) 已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的个数.
【答案】 (1) (2)个
【解析】(1)任取，且
则
，则，因为函数在定义域上单调递增
所以，在上恒成立，
所以，在上恒成立，，，所以。
(2)因为，所以，即，
解得：(舍去)，或，
因为大于，不大于的整数有个，
所以方程存在整数解，满足条件的个．
7(★★★) 函数在区间上都有意义，且在此区间上
①为增函数，；②为减函数，．
判断在的单调性，并给出证明．
【解析】减函数，令 ，则有，即可得；
同理有，即可得；
从而有
*
显然，从而*式，
故函数为减函数．
【题型三】函数单调性的应用
角度1 解不等式
【典题1】已知函数，若，则实数的取值范围是 .
【解析】和在上都单调递减，
在上都单调递减，
由得，，解得．
【点拨】
我们有增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，由此性质求出函数单调性.
② 处理类似“”这样的不等式，可利用函数的单调性去掉求解，不要硬代入原函数来个“暴力求解”，特别是复杂的函数或者抽象函数的时候.
角度2 求参数取值范围或值
【典题2】若()，在定义域上是单调函数，则的取值范围 .
【解析】在定义域上是单调函数，
①函数的单调性是增函数时，可得当时，
即，解之得，
时，是增函数，
时，是增函数，，得或，
综上实数的取值范围是；
②函数的单调性是减函数时，可得当时，，
即，解之得或，
时，是减函数，
又时，是减函数，
，得或
综上实数的取值范围是；
综上所述，得.
【点拨】遇到分段函数，注意分离讨论和数形结合“双管齐下”方能一击制敌.
角度3 求函数最值
【典题3】已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)当时，求函数在区间上的最小值．
【解析】(1)时，，
(遇到绝对值可变成分段函数处理)
在上递减，在上递增，
，
值域为．
(2)，
①当时，，对称轴，
在单调递增，．
②当时，，对称轴，
(对于分段函数，多结合图像进行分析，比较对称轴与的大小)
当即时，在单调递增，
，
．
当，即时，
在单调递减，在单调递增，
，
若，即时，，
若，即时，，
综上．
【点拨】
① 遇到绝对值，可利用去掉绝对值符号，本题函数变成了分段函数；
② 函数最值或值域均与函数的单调性密不可分，了解到函数的单调性相当清晰函数的大致图像，最值便易于求解；而二次函数的单调性与函数的对称轴和开口方向有关；
③ 在分类讨论时，注意结合函数图像进行思考找到分类讨论的“临界值”.
巩固练习
1(★★) 已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是( )
有最大值，无最小值 有最大值，最小值
有最大值，无最小值 有最大值2，最小值
【答案】
【解析】函数2
即有在递减，则处取得最大值，且为，
由取不到，即最小值取不到．
故选：．
2(★★) 若是上的单调减函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】若是上的单调减函数，
则，解得，
故答案为：．
3(★★) 若函数在上的最小值为．则 ．
【答案】
【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上，
(1)当时，函数在上单调递增．则，
由，得，不符合；
(2)当时．则，
由，得或，，符合；
(3)当时，函数在上单调递减，
，由，得，
，不符合，
综上可得．
4(★★) 已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知，函数在上单调递增，
，则，
即且，
解可得或．
5(★★) 已知函数的最小值为，则实数的值为 ．
【答案】或
【解析】当，即时，，
则，所以或(舍)．
当，即时，，
则，所以或(舍)．
综上得或.
6(★★★) 已知函数的定义域为(为实数)．
当时，求函数的值域；
求函数在区间上的最大值及最小值，并求出当函数取得最值时的值．
【答案】
当时，无最小值，当时取得最大值;
当时，无最大值，当时取得最小值;
当时，无最大值,当时取得最小值.
【解析】 (1)当时，，任取，
则．
，
在上单调递增，无最小值，
当时取得最大值，所以的值域为．
(2)当时，在上单调递增，无最小值，
当时取得最大值；
当时，，
当1，即时，在上单调递减，无最大值，
当时取得最小值；
当，即时，在上单调递减，
在[上单调递增，无最大值，当时取得最小值．
【题型四】 抽象函数的单调性
定义在上的函数满足对所有的正数都成立，
且当，．
求的值
判断并证明函数在上的单调性
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】，
取，得：；；
设，则，(定义法证明)
；；
又时，；；
，；在上单调递减；
，；
由
又在上单调递减，
．
【点拨】
① 求具体值时，要大胆尝试，可取特殊值，如、等，可取特殊关系，如.
② 抽象函数的单调性用函数的定义法证明，具体的思路有
作差法 令再根据题意“凑出”，证明其大于或者小于;
作商法 令再根据题意“凑出”，证明其大于或者小于，此时还要注意是否成立；
③ 涉及抽象函数，解类似这样的不等式，都要利用函数的单调性去掉;
④ 恒成立问题可用分离参数法，最终转化为最值问题，如恒成立等价于，即求在上的最小值.
巩固练习
1 (★★★) 定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
求和的值；
试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
求满足的的取值集合．
【答案】(1) (2)略，提示：定义法 (3)
【解析】 (1)令得，则，
而，
且，则；
(2)取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
(3)由条件①及(Ⅰ)的结果得，
，，
，
，解得，
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故的取值集合为.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
