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幂函数
1 定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数．
2 常见幂函数图像
3 性质
① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数．
特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸；
③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
【典题1】已知幂函数过点则 ( )
，且在上单调递减 ，且在单调递增
且在上单调递减 ，且在上单调递增
【典题2】下列命题中：
①幂函数的图象都经过点和点；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当时，幂函数的图象是一条直线；
④当时，幂函数是增函数；
⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小．
其中正确的是( )
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
【典题3】 如图所示是函数(且互质)的图象，则( )
是奇数且 是偶数，是奇数，且
是偶数，是奇数，且 是偶数，且
巩固练习
1(★) 已知幂函数的图象经过点，则的值为 ．
2(★) 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 ．
3(★) 图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为( )
． ．
4(★★) 已知幂函数y，的图象如图所示，则( )
均为奇数，且 为偶数，为奇数，且
为奇数，为偶数，且 为奇数，为偶数，且
5(★★) 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则( )
或
21世纪教育网(www.21cnjy.com)幂函数
1 定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数．
2 常见幂函数图像
3 性质
① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数．
特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸；
③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
【典题1】已知幂函数过点则 ( )
，且在上单调递减 ，且在单调递增
且在上单调递减 ，且在上单调递增
【解析】幂函数过点， ，解得，
，在上单调递减．
故选：．
【点拨】利用待定系数法求解函数解析式.
【典题2】下列命题中：
①幂函数的图象都经过点和点；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当时，幂函数的图象是一条直线；
④当时，幂函数是增函数；
⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小．
其中正确的是( )
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
【解析】①幂函数的图象都经过点，但不一定经过点，比如，故错误；
②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；
③当时，幂函数的图象是一条直线去除点，故错误；
④当时，如，幂函数在上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；
⑤当时，幂函数在上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小，故正确．
故选：．
【典题3】 如图所示是函数(且互质)的图象，则( )
是奇数且 是偶数，是奇数，且
是偶数，是奇数，且 是偶数，且
【解析】函数的图象的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：.
巩固练习
1(★) 已知幂函数的图象经过点，则的值为 ．
【答案】
幂函数过点，
，解得，
，.
2(★) 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 ．
【答案】
，
幂函数为奇函数，且在上递减，
是奇数，且，
．
3(★) 图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为( )
． ．
【答案】
【解析】根据指数函数的单调性，时，，
相应于曲线，，，的依次为．
故选：．
4(★★) 已知幂函数y，的图象如图所示，则( )
均为奇数，且 为偶数，为奇数，且
为奇数，为偶数，且 为奇数，为偶数，且
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，所以为偶数，
且由图象形状判定．
又因互质，所以为奇数．所以选．
5(★★) 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则( )
或
【答案】
【解析】幂函数在上是减函数，
则，解得；
又，，，；
当时，，图象关于原点对称；
当时，，其图象不关于原点对称；
当时，，其图象关于原点对称；
综上，的值是或．
故选：．
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