二次方程根的分布问题
1 概念
二次方程的根(即二次函数零点)的分布问题.
2 常见题型
① 两根与的大小比较(以为例)
分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即
大致图像
得出的结论
② 两根分别在区间外
大致图像
得出的结论
③ 根在区间上的分布(以为例)
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内
大致图像
得出的结论
【题型一】两根与的大小比较
【典题1】若关于的二次方程的两个互异的实根都小于，则实数的取值范围是 ．
【典题2】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围.
【题型二】根在区间上的分布
【典题1】已知关于的二次方程若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的范围是 ．
【典题2】方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ．
【典题3】已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为 ．
【题型三】两根分别在区间外
【典题1】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ．
巩固练习
1(★)已知关于的方程有两个实数根，且一根大于，一根小于，则实数的取值范围为 ．
2(★)方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ．
3(★★)若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为 ．
4(★★)关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是 ．
5(★★)若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且，则实数的取值范围是 ．
6 (★★★) 求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
挑战学霸
二次函数中实数满足，其中，
求证：； 方程在内恒有解．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)二次方程根的分布问题
1 概念
二次方程的根(即二次函数零点)的分布问题.
2 常见题型
① 两根与的大小比较(以为例)
分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即
大致图像
得出的结论
② 两根分别在区间外
大致图像
得出的结论
③ 根在区间上的分布(以为例)
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内
大致图像
得出的结论
【题型一】两根与的大小比较
【典题1】若关于的二次方程的两个互异的实根都小于，则实数的取值范围是 ．
【解析】关于的二次方程的两个互异的实根都小于，
则 ，
(开口向上，有两根，对称轴在左边，
确定最大根小于)
即 求得，
即的范围为，，故答案为：，．
【点拨】思考下，要确保题意成立，中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢？不要其中一项是否可以，又为什么呢(结合图像)？确定仅满足这四项就行了么？
这属于对题意的必要性与充分性的思考，做到“等价转化”！
【典题2】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围.
【解析】方法一
当时，若要满足题意，必须；(注意开口方向)
当时，若要满足题意，必须；
即，解得.
方法二：(韦达定理)
设是的两个根，
若要满足题意，则，
解得.
【点拨】对于一些特殊根的分布问题，我们可灵活采取其他的方法.
【题型二】根在区间上的分布
【典题1】已知关于的二次方程若方程有两根，其中一根在区间
内，另一根在区间内，则的范围是 ．
【解析】设，
问题转化为抛物线与轴的交点分别在区间和内，则 ，解得，
故的范围是 .
【点拨】需要考虑对称轴位置么？需要讨论判别式么？
【典题2】方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ．
【解析】构造函数，图象恒过点
(能发现很重要，要满足题意只能，避免讨论减少计算量，要注意函数是否过定点)
方程0在区间内有两个不同的根，
.
【典题3】已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为 ．
【解析】方法1
方程对应的函数为
若要满足题意，
则
故答案是.
方法2 方程
(发现方程可以直接因式分解求根)
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案是.
【点拨】显然方法2比方法1更简洁些，主要是因为它能通过因式分解求出的根形式简洁！那前面的例题是否都不可以先求出根再求解呢？
我们拿本题型中的典题2看看，很难直接因式分解，利用求根公式得,
，根据题意要计算,
其中还要注意和与的分类讨论,是否突然懵圈了么.
在方法的选取上，我们要清晰方法的适用范围！
【题型三】两根分别在区间外
【典题1】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ．
【解析】显然，关于的方程对应的二次函数
(对开口方向进行讨论，分和)
① 若，即图象开口向上，
的两个实根一个小于，另一个大于，只需，且，
即且，则；
(若发现结合图像也可知不可能)
② 若，即图象开口向下，
的两个实根一个小于，另一个大于，只需，且，
即且，则
综上可得的范围是．
故答案为：．
【方法总结】
① 求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化”;多画图思考：图像要怎么画才能满足题意，怎么画就不满足题意，它们之间的区别在哪里？
② 画图时注意二次函数四大因素--开口方向，对称轴，判别式，特殊点.
备注：特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与轴的交点)或某些函数值的正负.
③ 对于一些特殊情况，还可以利用韦达定理、因式分解求出根再求解等方法.
巩固练习
1(★)已知关于的方程有两个实数根，且一根大于，一根小于，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，由题意可得，
即：，整理：，解得，
所以实数的取值范围为；
故答案为：．
2(★)方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，方程的两根都大于，
令，
可得：，即，
解得：．
3(★★)若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设函数，
方程的一个根在区间上，另一根在区间，
，，即，
则
即实数的取值范围是；
4(★★)关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于的方程在区间内有两个不等实根，
令，
则有，求得，
5(★★)若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意设，
方程有两个不相等的实根，
且，，
，则，
解得，
6 (★★★) 求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】 设．
依题意有，即，得．
(2)依题意有，解得．
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得
综上所述，得．
挑战学霸
二次函数中实数满足，其中，
求证：； 方程在内恒有解．
【答案】
【证明】
由于是二次函数，故．
又，所以．
由题意，得，．
①当时，由(1)知．
若，则，又，
在内有解；
若，则，
又，
所以在内有解．
因此方程在内恒有解．
②当时，同样可以证得结论．
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