二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设，求在上的最大值与最小值．
分析：将配方，得顶点为、对称轴为；
当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：
(1)当时，
的最小值是 的最大值是中的较大者．
(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是 ．
(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．
当时，可类比得结论．
【题型一】定轴动区间
已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．
【题型二】动轴定区间
求在区间上的最大值和最小值．
【题型三】逆向题型
已知函数在区间上最大值为，求实数的值．
巩固练习
1 (★★) 已知函数．
当时，求函数在区间上的值域；
当时，求函数在区间上的最大值；
求在上的最大值与最小值．
2(★★) 已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在为单调函数，求的值；
(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．
3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.
4(★★★) 已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.
挑战学霸
设为实数，记函数的最大值为．
(1)设，求的取值范围，并把表示为的函数，求和表达式及的取值范围．
(2)求.
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二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设，求在上的最大值与最小值．
分析：将配方，得顶点为、对称轴为；
当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：
(1)当时，
的最小值是 的最大值是中的较大者．
(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是 ．
(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．
当时，可类比得结论．
【题型一】定轴动区间
已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．
【解析】(1)是二次函数，且的解集是，
可设．(待定系数法，二次函数设为交点式)
在区间上的最大值是．
由已知得，，
．
(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为
(讨论对称轴与闭区间的相对位置)
①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)
此时的最小值；
②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)
此时的最小值；
③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)
此时，
综上所述，得的表达式为：．
【点拨】
① 利用待定系数法求函数解析式；
② 对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域
不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.
【题型二】动轴定区间
求在区间上的最大值和最小值．
【解析】的对称轴为．
①当时，如图①可知，在上递增，
，．
②当时，
在上递减，在上递增，
而，(此时最大值为和中较大者)
当时，，，
当时， ，如图③，
③当时，由图④可知，在上递减，
，．
综上所述，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
【点拨】
① 题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论.
② 在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定哪个是最大值，则还有分类;
【题型三】逆向题型
已知函数在区间上最大值为，求实数的值．
【解析】若，(注意函数不一定是二次函数)
则而在上的最大值,
(2)若则的对称轴为，
则的最大值必定是这三数之一，
若，解得，此时
而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立．
若，解得，此时
而 距右端点较远，最大值符合条件，.
若，解得，
当时，，则最大值不可能是；
当时，此时最大值为，；
综上所述或
【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行.
巩固练习
1 (★★) 已知函数．
当时，求函数在区间上的值域；
当时，求函数在区间上的最大值；
求在上的最大值与最小值．
【答案】(1) (2) ；
(3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为．
【解析】 (1)当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，，
函数在区间上的值域是；
(2)当时，，
，函数在区间上的最大值；
，函数在区间上的最大值；
函数在区间上的最大值；
(3)函数 的对称轴为，
①当，即时，函数在上是增函数，
当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
③当，即时，a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
④当，即时，函数在上是减函数，故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．
2(★★) 已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在为单调函数，求的值；
(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．
【答案】(1) 最大值是，最小值 (2) 或 (3) 或
【解析】 (1)时，；
在上的最大值是，最小值是；
(2)在为单调函数；
区间在f(x)对称轴的一边，即，或；
或；－
(3)，中必有一个最大值；
若；
，符合最大；
若，；
，符合最大；
或．
3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.
【答案】
【解析】
若时，在上是减函数
，即则条件成立，
令
(Ⅰ)当时，即则函数在上是增函数，
=
即，解得,
(Ⅱ)当即
若解得矛盾;
(2)若时 即
解得矛盾;
综上述：．
4(★★★) 已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.
【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。
①若，则
解得
②若，则，无解
③若，则，无解
④若，则，无解
综上，
解析2：由，知，则，
又∵在上当增大时也增大所以
解得
挑战学霸
设为实数，记函数的最大值为．
(1)设，求的取值范围，并把表示为的函数，求和表达式及的取值范围．
(2)求.
【答案】 .
【解析】，
∴要使有意义，必须且，即．
，①
∴的取值范围是．
由①得，
.
由题意知即为函数的最大值．
注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论．
① 当时，函数的图像是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，
．
② 当时，，．
③ 当时，函数的图像是开口向下的抛物线的一段．
若，即，则．
若，即，则．
若，即，则．
综上有
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