函数的周期性和对称性
一 函数的周期性
1 概念
对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期.
Eg：
上图是三角函数的图像
① 函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；
② 红色图像的水平长度为，它就是函数的最小正周期，即；
(思考：是周期么)
③ 整个函数，对于任何，都有.
(简单说来，两个自变量相差，它们对应的函数值均相等)
下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？
2 常见的结论
① 若 ，则的周期是.
② 若 ，则的周期是；(你可证明试试)
③ 若，则的周期是.
二 函数的对称性
1 函数图象自身的对称关系
① 轴对称：若则有对称轴.
② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称.
2 两个函数图象之间的对称关系
① 轴对称
若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称.
特殊地，函数与函数的图象关于直对称.
② 中心对称
若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称.
特殊地，函数与函数图象关于点对称.
3 周期性与对称性拓展
① 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期；
② 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ；
③ 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期
；
特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期.
【题型一】函数的周期性
【典题1】 设是周期为的奇函数，当时，，则
【典题2】 设偶函数对任意，都有，且当时，，则 ．
巩固练习
1(★★) 已知定义在上的奇函数，满足，且在上单调递减，则( )
2(★★) 已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， .
3(★★★)设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是 .
【题型二】函数图象自身的对称关系
【典题1】定义在上的函数的图象关于点(，0)成中心对称且对任意的实数都有且，则 .
【典题2】已知函数，则( )
函数的图象关于对称 函数的图象关于对称
函数的图象关于对称 函数的图象关于对称
【题型三】两个函数图象之间的对称关系
【典题1】下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是( )
【典题2】 下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是 .
巩固练习
1(★★) 已知函数的对称中心为，则 ； ．
2(★★) 【多选题】函数的图象关于直线对称，那么( )
函数是偶函数 函数是偶函数
3(★★★) 已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为( )
4(★★★) 已知函数，则( )
的图象关于点对称 的图象关于直线对称
在上单调递减 在上单调递减，在上单调递增
5(★★) 同一平面直角坐标系中，函数与的图象( )
．关于原点对称 ．关于轴对称
．关于轴对称 ．关于直线对称
6 (★★★) 【多选题】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则( )
函数是周期函数 函数的图象关于点对称
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函数为上的偶函数 函数为上的单调函数21世纪教育网(www.21cnjy.com)函数的周期性和对称性
一 函数的周期性
1 概念
对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期.
Eg：
上图是三角函数的图像
① 函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；
② 红色图像的水平长度为，它就是函数的最小正周期，即；
(思考：是周期么)
③ 整个函数，对于任何，都有.
(简单说来，两个自变量相差，它们对应的函数值均相等)
下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？
2 常见的结论
① 若 ，则的周期是.
② 若 ，则的周期是；(你可证明试试)
③ 若，则的周期是.
二 函数的对称性
1 函数图象自身的对称关系
① 轴对称：若则有对称轴.
② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称.
2 两个函数图象之间的对称关系
① 轴对称
若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称.
特殊地，函数与函数的图象关于直对称.
② 中心对称
若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称.
特殊地，函数与函数图象关于点对称.
3 周期性与对称性拓展
① 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期；
② 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ；
③ 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期
；
特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期.
【题型一】函数的周期性
【典题1】 设是周期为的奇函数，当时，，则
【解析】是周期为的奇函数，当时，，
.
【典题2】 设偶函数对任意，都有，且当时，
，则 ．
【解析】，
，
函数是以为周期的函数．
当时，，
．
故答案为：．
【点拨】
① 在求值过程中，比如本题中求，先用函数周期性把这个数值变小些，尽量向靠拢.
② 函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.
巩固练习
1(★★) 已知定义在上的奇函数，满足，且在上单调递减，则( )
【答案】
为上的奇函数，且满足，
是以为周期的函数，
，
，
，
又在区间上单调递减，
，即．
故选：．
2(★★) 已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当
时， .
【答案】
【解析】当时，．
，
故选：．
3(★★★)设函数是定义在上的奇函数，满足，若，
，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，可得，
则，故函数的周期为，
则，
又函数是定义在上的奇函数，，
．
，解得．
实数的取值范围是．
【题型二】函数图象自身的对称关系
【典题1】定义在上的函数的图象关于点(，0)成中心对称且对任意的实数都有
且，则 .
【解析】，
则
是周期为的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和便可)
则
函数的图象关于点(，0)成中心对称，
【典题2】已知函数，则( )
函数的图象关于对称 函数的图象关于对称
函数的图象关于对称 函数的图象关于对称
【解析】方法一 利用函数平移和奇偶性
对于选项：若函数的图象关于对称，则是偶函数，
而不是偶函数，错误；
对于选项，可以采取类似选项的方法排除；
对于选项：若函数的图象关于对称，则则函数向左和向下均平移个单位的函数关于原点对称，即是奇函数.
易得是奇函数，正确；
对于选项：若函数的图象关于对称，则函数向左和向下均平移个单位的函数关于原点对称，即是奇函数.
而不是奇函数，错误．
故选．
方法二 利用函数自身的轴对称和中心对称关系
利用函数自身的轴对称关系:若则有对称轴.
对于选项：若函数的图象关于对称，则有
而错误；
对于选项：若函数的图象关于对称，则有
而错误；
利用函数自身的中心对称关系：
若为常数),则函数的图象关于点对称.
对于选项：若函数的图象关于对称，则
易得，正确；
对于选项：若函数的图象关于对称，则
而显然不恒等于8，错误．
故选．
方法三 取特殊值排除法
对于选项：，，故函数的图象不可能关于对称，排除；
对于选项：，故函数的图象不可能关于对称，排除；
对于选项：，故函数的图象不可能关于对称，排除；
故选．
【点拨】
① 从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；
② 方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；
③ 方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；
对于函数自身的轴对称和中心对称关系
(1) 轴对称:若则有对称轴.
对于选项，令,有，即证明是偶函数便可.
(2) 中心对称:若函数满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称.
对于选项，令，，有,
即证明是奇函数.
【题型三】两个函数图象之间的对称关系
【典题1】下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是( )
【解析】设所求函数图象上任意一点，
则关于对称的点在上，即，
所以
故选：．
【典题2】 下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是 .
【解析】设为所求函数图象上的任意一点，
它关于直线对称的点是．
由题意知点在函数的图象上，
则，即．
【点拨】这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法.
巩固练习
1(★★) 已知函数的对称中心为，则 ； ．
【答案】，
，
结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数的对称中心为
的对称中心为，
故答案为：1，6
2(★★) 【多选题】函数的图象关于直线对称，那么( )
函数是偶函数 函数是偶函数
【答案】
【解析】由的图象关于对称可知，，，
把函数的图象向左平移个单位可得的图象，关于对称，即为偶函数，把函数的图象向右平移个单位可得的图象，关于对称，
故选：．
3(★★★) 已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为( )
【答案】
【解析】函数的图象关于直线对称，
可得，
即，
即有，
可得，
即，
可得，且，解得，
可得，
则．故选：．
4(★★★) 已知函数，则( )
的图象关于点对称 的图象关于直线对称
在上单调递减 在上单调递减，在上单调递增
【答案】
0，则函数定义域为，，，
即，有关于点对称的可能，
进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，
，定义域为，奇函数且单调递增，
为向右平移两个单位得到，
则函数在单调递增，关于点对称，
故选：．
5(★★) 同一平面直角坐标系中，函数与的图象( )
．关于原点对称 ．关于轴对称
．关于轴对称 ．关于直线对称
【答案】
【解析】可看做由的图象右移个单位，
而的图象可看做由的图象向左平移个单位，
且与的图象关于轴对称，
故函数与的图象关于轴对称．
故选：．
6 (★★★) 【多选题】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则( )
函数是周期函数 函数的图象关于点对称
函数为上的偶函数 函数为上的单调函数
【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，函数满足，则，即函数是周期为的周期函数，正确；
对于B，奇函数，则的图象关于原点对称，又由函数的图象是由向左平移个单位长度得到，故函数的图象关于点对称，正确；
对于，由可得：对于任意的，都有，
即0，变形可得，
则有对于任意的都成立，
令，则，即函数f(x)是偶函数，正确；
对于，为偶函数，则其图象关于轴对称，在上不是单调函数，错误；
故选：．
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