恒成立和存在性问题
1 恒成立和存在性问题
单变量的恒成立问题
① 恒成立，则；
② 恒成立，则；
③ 恒成立，则；
④ 恒成立，则;
单变量的存在性问题
① 使得成立，则；
② 使得成立，则；
③ ，使得恒成立，则；
④ 使得 恒成立，则;
双变量的恒成立与存在性问题
① 使得 恒成立，则;
② 使得 恒成立，则;
③恒成立，则;
④使得 恒成立，则;
相等问题
① 使得，则两个函数的值域的交集不为空集；
② 使得，则的值域的值域
2 解题方法
恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有
直接最值法
分类参数法
变换主元法
数形结合法
【题型一】恒成立和存在性问题的解题方法
1 直接构造函数最值法
【典题1】 设函数的最大值是，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是 .
2 分离参数法
【典题1】 已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为 .
【典题2】 已知，其中为常数
(1)当时，求的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；
3 变换主元法
【典题1】对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
4 数形结合法
【典题1】已知当时，有恒成立，求的取值范围.
【题型二】 恒成立与存在性问题混合题型
【典题1】已知函数．
(1)若对任意，任意都有成立，求实数的取值范围．
(2)若对任意，总存在使得成立，求实数m的取值范围．
.
【典题2】 设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ．
巩固练习
1(★★) 已知对一切上恒成立，则实数的取值范围是 ．
2(★★) 若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 ．.
3(★★) 若不等式在内恒成立，实数的取值范围是 ．
4(★★★) 已知函数，，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 ．
5(★★★) 已知且，函数，．
(1)求的单调区间和值域；
(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)恒成立和存在性问题
1 恒成立和存在性问题
单变量的恒成立问题
① 恒成立，则；
② 恒成立，则；
③ 恒成立，则；
④ 恒成立，则;
单变量的存在性问题
① 使得成立，则；
② 使得成立，则；
③ ，使得恒成立，则；
④ 使得 恒成立，则;
双变量的恒成立与存在性问题
① 使得 恒成立，则;
② 使得 恒成立，则;
③恒成立，则;
④使得 恒成立，则;
相等问题
① 使得，则两个函数的值域的交集不为空集；
② 使得，则的值域的值域
2 解题方法
恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有
直接最值法
分类参数法
变换主元法
数形结合法
【题型一】恒成立和存在性问题的解题方法
1 直接构造函数最值法
【典题1】 设函数的最大值是，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是 .
【解析】当时，；当时，，
则，即．由题意知在上恒成立，
即在上恒成立 ，
(把不等式中移到右边，使得右边为，从而构造函数求最值)
令，则问题等价于在上恒成立，
在上，，
即．
【点拨】
① 直接构造函数最值法：遇到类似不等式恒成立问题，可把不等式变形为，从而构造函数求其最值解决恒成立问题；
② 在求函数的最值时，一定要优先考虑函数的定义域;
③ 题目中在上是取不到最大值，，而要使得恒成立，可等于，即，而不是.
2 分离参数法
【典题1】 已知函数关于点对称，若对任意的，
恒成立，则实数k的取值范围为 .
【解析】由为奇函数，可得其图象关于对称，
可得的图象关于对称，
函数关于点对称，可得，
对任意的恒成立，
恒成立，
【思考：此时若利用最值法，求函数的最小值，第一函数较复杂，第二函数含参要分离讨论，路漫漫其修远兮，务必另辟蹊径】
即在恒成立，
所以3，
(使得不等式一边是参数，另一边不含关于的式子，达到分离参数的目的)
令，由，可得，
设，
当时，取得最大值，
则的取值范围是，
【点拨】
① 分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题；
② 恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.
【典题2】 已知，其中为常数
(1)当时，求的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；
【解析】(1)
；
(2)
，
令，
，
设，则
在上为增函数 时，有最小值为2，
.
【点拨】在整个解题的过程中不断的利用等价转化，把问题慢慢变得更简单些.
3 变换主元法
【典题1】对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
思考痕迹 见到本题中“”潜意识中认为是变量，是参数，这样会构造函数，而已知条件是，觉得怪怪的做不下去;此时若把看成变量，看成参数呢？
【解析】因为不等式恒成立
不等式恒成立...①，
令
若要使得①成立，只需要
解得或故的取值范围
【点拨】变换主元法，就是要分辨好谁做函数的自变量，谁做参数，方法是以已知范围的字母为自变量.
4 数形结合法
【典题1】已知当时，有恒成立，求的取值范围.
思考痕迹 本题若用直接最值法，去求函数的最大值，就算用高二学到的导数求解也是难度很大的事情；用分离参数法呢？试试也觉得一个硬骨头.看看简单些的想法吧！
【解析】 不等式恒成立
等价于恒成立...①，
令 ，
若①成立，则当时，的图像恒在图像的下方，
则需要或
(不要漏了，因为，不一定是指数函数)
又，解得
即实数的取值范围为
【点拨】
① 数形结合法：恒成立上，函数的图像在函数图像的下方.
② 遇到不等式恒成立，可以把不等式化为用数形结合法，而函数与最好是熟悉的函数类型，比如本题中构造出,两个常见的基本初级函数.
【题型二】 恒成立与存在性问题混合题型
【典题1】已知函数．
(1)若对任意，任意都有成立，求实数的取值范围．
(2)若对任意，总存在使得成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由题设函数，．
对任意，任意都有成立，
知：，
在上递增，
又在上递减，
有，的范围为
(2)由题设函数，．
对任意，总存在，使得成立，
知，
有，即，的范围为．
【点拨】 对于双变量的恒成立--存在性问题，比如第二问中怎么确定，即到底是函数最大值还是最小值呢？
具体如下思考如下，
先把看成定值，那，都有，当然是要；
再把看成定值，那，都有，当然是；
故问题转化为.
其他形式的双变量成立问题同理，要理解切记不要死背.
.
【典题2】 设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ．
【解析】，
当时，，
当时，，
由，即，，，
故，
又因为，且．
由递增，可得，
对于任意，总存在，使得成立，
可得，
可得，．
巩固练习
1(★★) 已知对一切上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】可化为，
令，由，得[，+∞)，
则，
在上递减，当时取得最大值为，
所以．
故答案为：．
2(★★) 若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围.
【答案】
【解析】令；
不等式对满足的所有都成立
对任意，恒成立
，解得。
3(★★) 若不等式在内恒成立，实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】不等式在内恒成立；
不等式在内恒成；
令，
当时，的图像在的下方；
显然当时，是不能满足题意的；
当时，则需要，解得。
4(★★★) 已知函数，，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】 或
【解析】对任意，总存在使得成立，等价于．
当时，为递减函数，时，；
当时，的对称轴为，
①当时，在上递增，所以，
，解得；
②当时，在上递减，所以，
，解得：；
③当时，，
，解得：或，这与相矛盾，故舍去．
综上所述：或。
5(★★★) 已知且，函数，．
(1)求的单调区间和值域；
(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】 (1) (2) (3)
【解析】 (1)，
则，为偶函数，
设，则函数等价为，
若，当时，单调递增，且，此时函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．
若，当时，单调递减，且，此时函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．
综上当时，函数单调递增，
函数是偶函数，当时，函数单调递减．
故函数的递增区间为，递减区间为．
函数的值域为]．
(2)且，
的对称轴为，
函数在时，函数单调递减．
，．
即，
若对于任意，总存在，使得成立，
即且，
则，即，
此时，
且，，
即的取值范围是；
(3)若对于任意，任意，都有恒成立，
即，
则，，
，解得，
且，
，
即的取值范围[．
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