抽象函数
1概念
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2 常见抽象函数模型
特殊模型 抽象函数
正比例函数
幂函数 或
指数函数 或
对数函数 或
【题型一】求值问题
【典题1】已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求.
【典题2】对任意实数，均满足且， 则_______.
【题型二】单调性问题
设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件
①对任意正数，都有；②当时，；③．
(1)求的值；
(2)证明在是减函数；
(3)如果不等式成立，求取值范围．
【题型三】奇偶性问题
定义在上的增函数对任意都有，则
(1)求；
(2)证明：为奇函数；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【题型四】周期性问题
奇函数定义在上，且对常数，恒有，则在区间上，方程根的个数最小值为 .
巩固练习
(★★) 的定义域为，对任意正实数都有 且，则 .
(★★★)已知是定义在上的偶函数，对任意都有，则 ．
(★★) 是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 .
(★★★) 已知定义在上的函数满足
①对任意，都有；
②当时，且；
试判断函数的奇偶性；
判断函数在区间上的最大值；
求不等式的解集．
(★★★) 已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，．
证明：当时，；
判断函数的单调性并加以证明；
如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
(★★★) 定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
求的值；
求证：为奇函数；
若对恒成立，求的取值范围．
挑战学霸
已知是定义在上不恒为的函数，满足对任意，，．
(1)求的零点；
(2)判断的奇偶性和单调性，并说明理由；
(3)①当时，求的解析式；②当时，求的解析式.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)抽象函数
1概念
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2 常见抽象函数模型
特殊模型 抽象函数
正比例函数
幂函数 或
指数函数 或
对数函数 或
【题型一】求值问题
【典题1】已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求.
【解析】对任意，，都有，，
，
．
【点拨】
① 对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；
② 抽象函数是对数函数型，由可知，
则易得，，作选填题可取.又如，求；由可令，又因，得，故易得.
故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.
【典题2】对任意实数，均满足且，
则_______.
【解析】令，得，
令，得
令，得，
，
，
，即.
【点拨】
① 常常需要赋予一些特殊值(如取等)或特殊关系(如取等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；
② 比如本题中所求的中自变量的取值较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.
【题型二】单调性问题
设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件
①对任意正数，都有；②当时，；③．
(1)求的值；
(2)证明在是减函数；
(3)如果不等式成立，求取值范围．
【解析】(1)令，，
，
令，，
且．
(2) (利用函数单调性的定义证明)
取，则
由②得
在上为减函数．
(3)由条件①得 (凑项，再利用单调性求解)
由得，
又在上为减函数，
又，，(注意函数定义域)
解得的范围是．
【点拨】
① 抽象函数的单调性常用单调性定义证明
任取，且；
作差
此步有时也会用作商法：判断与的大小；
变形；
定号(即判断差的正负)；
下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．
② 在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解.
③ 抽象函数符合对数函数型，
由可知，作选填题可用.
【题型三】奇偶性问题
定义在上的增函数对任意都有，则
(1)求；
(2)证明：为奇函数；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)在中，
令可得，，则，
(2) (定义法证明函数奇偶性)
令，得，
又，则有，
即可证得为奇函数；
(3)因为在上是增函数，又由(2)知是奇函数，
，
即有，得，(分离参数法)
又有(当时取到等号)，
即有最小值，
所以要使恒成立，只要使即可，
故k的取值范围是．
【点拨】
判断或证明抽象函数的奇偶性，从奇偶性的定义入手，判断与的关系.
② 抽象函数是正比例函数型，由是增函数，可知，选填题可用.
【题型四】周期性问题
奇函数定义在上，且对常数，恒有，则在区间上，方程根的个数最小值为 .
【解析】函数是定义在上的奇函数，
故，
又，即周期为，
，
又由，且
，，
故在区间，方程根有，，，，，
个数最小值是个，
【点拨】 抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.
巩固练习
(★★) 的定义域为，对任意正实数都有 且，则 .
【答案】
【解析】取，得；
取，得；
(★★★)已知是定义在上的偶函数，对任意都有，则 ．
【答案】
【解析】根据题意，为偶函数且满足，
变形可得，
即，
令可得，即，
解可得：，
又由满足，
则有，
联立可得：，
变形可得：或，
若，则有，
此时有1±，
若，即，
则有，则有，
则±，
综合可得：±，
故答案为：．
(★★) 是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 .
【答案】
是定义在上的以为周期的奇函数，
，且，
则，则，
，，
，，，
方程的解可能为，，共个，
故选：．
(★★★) 已知定义在上的函数满足
①对任意，都有；
②当时，且；
试判断函数的奇偶性；
判断函数在区间上的最大值；
求不等式的解集．
【答案】(1)偶函数 (2) (3)或x
【解析】 (1)；
令，则，
令，则，
即，
故函数是偶函数，
(2)任取，则，
；
；
)
，时，，
，
得到，
为上的增函数．
故函数在区间上的最大值为，
又由函数是偶函数，
函数在区间上的最大值也为，
故函数在区间上的最大值为；
(3)由(2)得，则，
故不等式可化为：，
由(2)中结论可得：，
即或，
解得或
(★★★) 已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，．
证明：当时，；
判断函数的单调性并加以证明；
如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) 略 (2)减函数，函数单调性定义证明 (3)
【解析】(1)，
令，
则，所以，
再令，则，
当时，．
．
(2)任取，，且，则)
，所以1，则，，
在上是减函数，
(3)恒成立，
恒成立，
在上是减函数，
，
，当且仅当取等号，
实数的取值范围
(★★★) 定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
求的值；
求证：为奇函数；
若对恒成立，求的取值范围．
【答案】 (1) (2)略，定义证明 (3)
【解析】 (1)令，则，．
(2)令，则，
，，
为奇函数．
(3)，，
恒成立，
而单调递增，
从而．
挑战学霸
已知是定义在上不恒为的函数，满足对任意，，
．
(1)求的零点；
(2)判断的奇偶性和单调性，并说明理由；
(3)①当时，求的解析式；②当时，求的解析式.
【解析】(1)记 ①， ②
在①中取得.若存在，使得，则对任意，
，与不恒为矛盾．
所以时，，
所以函数的零点是.
(2)在①中取得，即，
所以是奇函数．
，时，，
可得．
所以函数在上递增．
(3)①由中取得．
因为，所以，
对任意正整数，由①得，
，
又因为，所以时，；
对任意有理数，，由①，
，
所以，即对一切．
②若存在，使得，
不妨设(否则以代替，代替即可)，
则存在有理数，使得
(例如可取，，)．
但，与的递增性矛盾．
所以时，．
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