山东省名校联盟高三上学期期中考试数学试题参考答案
1.答案 D
解析 U＝{x∈N||x-3|≤3}={0,1,2,3,4,5,6}， UA＝{0,1,3,5,6}．故选 D.
2.答案 A
解析 因为11+10i=(11+10i)(3+2i)=1+4i，所以复数 z 在复平面内对应的点是(1，4)，位于第一象限．
3-2i (3-2i)(3+2i)
3.答案 A
解析 函数 f (x) 2 x 在(－∞，－ 2)，( 2,+ ∞)单调递增，在(－ 2，0)，(0， 2)单调递减，
x
若函数 f(x)的定义域为[2,+∞)，则函数 f(x)的值域为[3,+∞)，
反之不成立，例如若函数 f(x)的定义域为(0,1)∪[2,+∞)，函数 f(x)的值域也为[3,+∞)，故选 A。
4.答案 B
cos 2 4 cos 2 解析
cos
2 2sin 2 ( ) 1
5
.
3 3 3 6 9 故选 B.
5.答案 C
解析 由题意可得3 2 = 1 + 3，又 为等比数列.设公比为 q2
3 1 = 1 + 1 2，即 2 2 3 2 = 0， 2 + 1 2 = 0.2
4
解得 q = 1 舍 ，q = 2，∴ 4 =
1 2 = 15.故选 C
2 1 2
6. 答案 D
函数f (x)为R上的增函数， {4a 1 00 a 1 且4a 2 1
1 3
，解得 a
解析 4 4 ，故选 D.
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
7. 答案 B
解析 △ABC 中 AB＝2AC，∠BAC 的平分线交边 AB 于点 D，则 = = 2，A→D＝2A→C＋1A→B，即A→B＝－
3 3
2A→C＋3A→D＝－2a＋3b.故选 B．
8. 答案 C
解析
由已知可得：x2 f / x 2xf x ln x,
令g x x2 f x ,则g / x x2 f / x 2xf x ln x,
g x /
且f x 2 , f / x
xg x 2g x x ln x 2g x
,
x x3 x3
再令h x x ln x 2g x ,则h / x 1 ln x 2g / x 1 ln x,
当x 0,e 时，h / x 0,h x 为增函数；当x e, 时，h / x 0,h x 为减函数；
h x h e e 2g e e 2e2 f e 0
f / x 0在 0， 上恒成立； f x 在 0， 上为减函数；
1 ln e 2 ln 2 ln 2 ln 2
又因为 , , ln 2
e e 4 2 2
ln x 1 ln x
故令 x , / x /2 ,当x 0,e 时， x 0, x 为增函数；x x
1 2 ln 2
ln 2
e 4
a c b
9． 答案 AC
T 2
解析 由图可知 A 2， ，所以T ，所以 2，则 f (x) 2sin(2x )，
4 3 12 4
将点 , 2
代入得： 2sin
2
，所以 2k , k Z
12 6
，
6 2
又 | |
，所以 ，所以 f (x) 2sin(2x )，
2 3 3
对于 A，因为 f (0) 2sin 3 ，故 A 正确；
3
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
对于 B，因为 f ( ) 2sin(
) 0，，故 B 不正确；
6 3 3
x 5 7 , 对于 C，因为 ，所以 2x , ， 6 12 3 3 6
所以函数 f
5
x 在 , 上单调递减，故 C 正确； 6 12
对于 D，将函数 f x 图象向左平移 个单位，
6
可得函数 y 2sin
2 x+ 2sin（2x+
2
），不关于 y 轴对称，故 D 错误.
6 3
3
10.答案 ABD
解析 AB 项.当 d=0 时不成立。C 项当 1 > 0， > 1 则 为单调递增数列。当 为单调递增数列时也
可能 1 < 0， 1 < < 0
D 项当 q=-1 时不成立.
11.答案 ACD
解析 当 m=1 时，a2+b2-ab=9，a2+b2
2
=9+ab≤ 9 + +
2
，a2+b2≤ 18,当且仅当 a=b 时等号成立，a2+b2
2
有最大值，最大值为 18，选项 A 正确；
当 m=3 时，a2+b2
2
-3ab=9，设 ab=k(k>0),则 a2+b2 3ab=9 化为 a2+ 2 3k=9, a
4+(9+3k)a2+k2=0,
因为 =(9+3k)2-4k2=81+54k+5k2>0,所以方程 a4+(9+3k)a2+k2=0 有解,所以 ab 没有最大值，选项 B 错
误；
当 m=1 时，a2+b2-ab=9， (a+b)2=9+3ab≤9+3 (a + b)2, (a+b)2≤36, 6 ≤ a+ b ≤6, 当且仅当
4
a=b=3 时 a+b=6，a=b= 3 时 a+b= 6，a+b 有最小值，最小值为 6，选项 C 正确；
2 2
当 m=3 时，a2+b2-3ab=9，a2+b2 =9+3ab≥9+3( + ), a2+b2≥ 18，当且仅当 a= b 时等号成立，
2 5
a2+b2 有最小值，最大值为18，选项 D 正确.故选 ACD.
5
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
12.答案 BD
解析
x 1 2 x2 / 4x 3 x 1 x 3 对于函数g x ，g x ,当x ,1 和 3， 时，
ex ex ex
g / x 0, g x 为减函数；当x 1,3 时，g / x 0, g x 为增函数； 值域为 0， ，选项A错；
由已知F x e x ln x 2,F / x e x 1 ,显然在 0， 上为增函数，且F / 1 e 1 0,
x
F / 1
1
e 2 2 0, x
1 ,1 使F / x e x 1 0 0, 当x 0,x 时，F / x 0,F x 单调递减；
2 0 0 0 2 x0
1
当x x0， 时，F / x 0,F x 单调递增， F x F x x00 e lnx0 2 xx 0 2 0,0
选项B正确；
C :方程e2 G x 2 e2 1 G x 1 0的两根为G x 1或G x 1 2 ，而函数G x 的图象如下e
由图象可知选项C项错误；
2
不等式g x x 1 ax x 1 a x a x 1 0,当x 1时，不等式可化为e ex a 0,
令h x x 1 x a,则h / x
2 x
,当x 1时，h / x 0,h x 在 ，1 上为增函数，则h x 0
e ex
3 a 0
在 h 2 0 2，1 上的3个整数解为 2， 1,0， eh 3 0即 4 解得 4 e3 a 3 e2, 故选项D正确。
3 a 0e
13. 答案 3x+y+2=0
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
解析
对f x 求导可得，f / x 2x 2 f / 1 1 ,则f / 1 1 2 f / 1 1 2 ，解得f / 3
2 x 2 2 2
f x x2 6x ln x f 1 5; f / x 2x 6 1 , f / 1 3
x
切线方程为y 5 3 x 1 ,整理得3x y 2 0
14.答 案 -2
解析 f x 1 是偶函数，f x 是奇函数， f x 以x 1为对称轴，
以 2，0 为对称中心， T 4，f 2023 f 3 f 1 2
15.答案 6 .
解析 cos2 C cos2 B sin2 A sin Asin B ，
1 sin 2 C 1 sin 2 B sin 2 A sin Asin B，
即 sin2 B sin2 A sin2 C sin Asin B ，
由正弦定理角化边得b2 a2 c2 ab ，
a2 2cosC b c
2 ab 1
, C ，
2ab 2ab 2 3
a b c
由正弦定理 ，
sin A sin B sinC
2
ab c2 ab c 3
即 1 2 ，化简得 c
2 ab
2 sin ，sin Asin B sin C 22 3
又 ABC的面积为 S 1 ABC absinC 3 ab 42 c
2 6 解得 c 6.
16、答案 3/2
解析 设 AB a，AC b 1 1，则 AM (a+b)，BN b-a，∵ AM BN ，∴ AM BN 0 ,
2 2
1
∴ (a+b) (1 b-a)=0，
2 2
1
化简得 (a+b) (1 b-a)=0，b2 a b 2a2 0，|b|2 1 |a| |b| 2|a|2 0,
2 2 6
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
|b|2 1 |b| 2 0, |b| 3 |b| 42 或 ( )
AC 3
舍 ，∴ .
|a| 6 |a| |a| 2 |a| 3 AB 2
17.
a2 c2 b2 b2 a2 c2 1
解：(1)（法一）由题意，结合余弦定理得， ，………………2分
2abc 2abc a
所以bc a2 8……………………………………………4 分
cosB cosC 1
（法二）由题意，结合正弦定理得 ,………………2 分
sin B sinC sin A
sinC cosB+sin B cosC sin(B+C) sin A 1
即 ,
sin B sinC sin B sinC sin B sinC sin A
sin2 A sin BsinC,
∴bc a2 8……………………………………………4 分
1
(2)由于 S ABC bc sin A 4sin A 7 ， sin A
7
……………………………5 分2 4
又Q c a b A为锐角，即 3…………………………6 分cos A
4
2 2
b2 c2 a2 b c 3bc b c 24
cosA 3 ，
2bc 2bc 16 4
∴b c 6，…………………………8 分
又b c 8,c a b，∴b 2,c 4…………………………10 分
18.
解：（1）方法 1∵ +1 = 2 +1
∴当 n ≥ 2， = 2 3 = 2 1............2 分
1 1 2 1
∴ = 2 1..........3 分
又 n=1 也适合上式，.........4 分
∴ = 2 1 （ n N* ）............5 分
方法 2：∵ +1 = 2 .........2 分
+1
∴ { }为公比为 2 首项为 1 的等比数列............3 分
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
∴ = 2 1………4 分
∴ = 2 1 ..........5 分
（2）由（1）知，
=1 20 + 2 21 + 3 22 + + 2 1①......6 分
2 1 = 1 2 + 2 22 + 3 23 + + 2 ②......7 分
①-②，- = 1 + 21 + 22 + + 2 1 2 ......8 分
1 2
= 2
1 2
= 2 1 2 ......10 分
∴ = 1 2 + 1 ......12 分
【说明】(1)第一问方法 1不验证 n=1扣 1分
方法 2有 4分点，不看 3分点；
(2)第二问错位相减法按步骤给分；
19. 【详解】（1） f (x) x3 2x 2 ax 2 ， f '(x) 3x2 4x a，·················1分
因为函数 y f (x)在 x [1, )上单调递增，
所以 f '(x) 3x 2 4x a 0在 x [1, )恒成立，······································ 2分
2
即 a 3x 4x ，········································································· 3分
min
y 3x2 4x在 x [1, )上单调递增，
x 1 3x2当 时， 4x 7，···························································· 4分
min
所以 a的取值范围 ( ,7]．································································· 5分
（2） f (x) x3 2x 2 ax 2 与 y a(1 x)有且只有一个交点，
即 x3 2x2 ax 2 a(1 x) 只有一个根，················································ 6分
x3 2x2 2 a只有一个根，
令 h x x3 2x2 2，所以 h x 的图象与 y a的图象只有一个交点，·······7分
h x 3x2 4x，令 h x 0 x 4 ，解得 或 x 0，
3
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
h x 0 4令 ，解得 x 0，
3
4
所以 h x 在 , ， 0,
4
上单调递增， , 0 上单调递减，········ 9分
3 3
h x 4 h 86所以 ,h x h 0 2，···························· 10分极大值 3 27 极小值
又因为 h x 的图象与 y a的图象只有一个交点，
86
所以 a ( , 2) ( , ) .····································································· 12分
27
【说明】（1）有 3分点，不看 2分点，有 5分点，不看 4分点，第一问不分参求解对应得分；
（2）第二问有 7分点，不看 6分点；
（3） a的取值范围求对一半扣 1分.
20．
解：因为 m n，故 ，bcos 3 A
a cos
A C
2 2
由正弦定理得， ．………………………1 分
sin B sin A sin Acos A C
2
又 sin A 0，则 A C B B ， …………………………2 分sin B cos cos sin
2 2 2
即 ，而 ，故 ，故 ．………………3 分
2sin B cos B sin B sin B 0 cos B 1 B 2
2 2 2 2 2 2 3
（Ⅰ）由余弦定理得，b2 a2 c2 2accosB，即 ，整理得
7a2 a2 16 1 2a 4
2
3a2 2a 8 0，…………………………4 分
解得 a 2或 4 （舍去），b 2 7 ，故△ABC的周长为6 2 7 ．…………5 分
3
（Ⅱ）设 BCM 0,
， BMC ．
3 3
2c
BM BC CM a 6
由正弦定理得， 即 3 2 2 ，…………6 分
sin sin BMC sin B sin sin
3
3 2
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
故 c 3 2sin ， a 2sin 6cos ，
所以 a c 2 2sin 6cos 14sin ，…………………………7 分
其中
sin = 21 ,cos = 2 7 3
， ，……………8 分,tan
7 7 2
,
6 4
0 , ,
3 3
又 则当 时， a c取得最大值 14 ，…9 分 , ,
6 4 3 2 2
又 21 1 2 7 3 3 21 ………10 分 sin( ) sin cos cos sin
3 3 3 7 2 7 2 14
3 21 21 …………………………11 分
sin( ) sin
3 14 7
所以 a c的取值范围为 …………………………12 分
6, 14
21、
解：（1）∵ , 在函数 = 1 + 1 +1 上.2
∴ +1 =
1 + 1 ，. . ...............1 分2
2+2 +1
又 = +1，∴ = +1+1 = 2
2
+1
1 +1
=
+1 1 2 2 +1 1
2
∴ +1 = 2 ，. . ...............3 分
两边取以 3 为底的对数，
log3 +1 = 2 log3 .............4 分
又 = 1+11 = 3，log3 1=11 1
∴ log3 是首项为 1，公比为 2 的等比数列...........5 分
∴ log 13 = 2 . ∴ = 32
1
................6 分
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
（2）∵ = +1, ∴ = +1 3
2 1
= +1 . ...........7 分 1 1 32 1 1
32 1∴ C = 1 = +1 3
2 1+1 2
n 2 1 = 1 . ................8 分3 1 32 1
32
1 1
则 +1 = 1 3
2
= 12 2 =
1 < 1 < 1
3 1 1 1 132 1 3
2 +1 32 3
∴ +1 <
1 ，. . ................10 分 又 1 = 1.3
2 n 1
Sn= C1 + C2 + + Cn < C +
1C + 11 1 C1 + +
1 C
3 3 3 1
1 1
n
= 3 = 3 1 1
n
< 31 . .......12 分1 2 3 23
【说明】（1）第一问不求 log3 1=1，不说明首项公比只下定义说 log3 是等比数列不扣分
1
（2）第二问 8分点之后的证明 +1 < 其他方法酌情给分3
2
f '(x) ax (1 2a) 2 ax (1 2a)x 2 (ax 1)(x 2)22．【详解】（1） ，定义域为 (0, ) 1分
x x x
当 a 0时， f '(x) 0， f (x)在 (0, )上单调递增；································· 2分
x (0, 1当 a 0时， )时， f '(x) 0， f (x)在 (0,
1
)上单调递增，
a a
x 1 1 ( , )时， f '(x) 0， f (x)在 ( , )上单调递减；························3分
a a
综上，当 a 0时， f (x)在 (0, )上单调递增；
当 a 0时， f (x)在 (0,
1 ) 1 上单调递增，在 ( , )上单调递减.··············· 4分
a a
1
（2 ax 2）方程 f (x) e ax 即 (1 2a)x 2ln x e ax ，即
2 x 2 ln x 2ax e
ax ，
即 eln x 2ln x e ax 2( ax)，
令 g(x) ex 2x，则 g(ln x) g( ax) ······················································ 5分
因为 g '(x) ex 2 0，所以 g(x) ex 2x在 R上单调递增，
a ln x 1 1所以 ln x ax，即 ，所以 a ln ········································· 6分
x x x
因为 x , x f (x) e ax
1
1 2 是方程 ax
2 1 1
的两个实根，所以 x , x 是方程 a ln 的两个实根，
2 1 2 x x
a 1 ln 1 ,a 1 ln 1 1即 ，所以 ,
1
x x x x x x 是方程 a x ln x的两个实根.············7分1 1 2 2 1 2
令 h(x) x ln x，则 h '(x) ln x 1
x (0, 1当 )时， h '(x) 0 h(x) x (
1
， 单调递减，当 , )时， h '(x) 0， h(x)单调递增；
e e
h(1) 1 ,h(1) 0，当 x 0时， f (x) 0 ··············································8分
e e
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}
令m
1
,n 1 m n 1
x x ，不妨设 ，则
0 m n 1，
1 2 e
1 1 2
要证 2x1 x2 e(x1 x2 )
2
，即证 x x e ，即证
m n ··························· 9分
1 2 e
令 (x) h(x) h(
2
x)，则 '(x) h '(x) h '(
2
x) ln x ln(2 x) 1 1 2在 (0, )上单调递增，且 '( ) 0，
e e e e e
所以 '(x)
1
'( ) 0，所以 (x)在 (0,
1) 1上单调递减，又 ( ) 0
e e e
所以 (m) (
1
) 0，即 h(n) h(m) h(
2
m)，······································11分
e e
因为 h(x) (
1
在 , )
2
单调递增，所以 n m，即m
2
n
e e e
所以 2x1 x2 e(x1 x2 ) ········································································· 12分
【说明】（1）第二问有其他方法证明的对应得分。若直接用对数平均值不等式证明，但未证明对数平均值
不等式的，此处扣 1分；
（2）第二问评分标准把握：同构 1分，构造函数 2分，单调性 1分，证明的变形 1分，证明 3分。
{#{QQABQYQQgggoAAJAAAhCQwkwCACQkBGCAKoOREAMMAABARFABAA=}#}机密★启用前
试卷类型A
山东名校考试联盟
2023一2024学年高三年级上学期期中检测
数学试题
2023.11
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在
答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右
上角“条形码粘贴处”
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效，
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
1.已知全集U={x∈N川x一3|≤3}，集合A={2,4},则CuA=
A.{2,4}
B.{1,3,5,6}
C.{0,1,2,3,5,6}
D.{0,1,3,5,6}.
2复数号十票在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知函数f()=x十2p:函数f(x)的定义域为[2，十∞)9：函数f(x)的值坡为
[3,十∞)，则
A.力是q的充分不必要条件
B.力是q的必要不充分条件
C.p是q的充要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
高三数学试题第1页（共4页）
4.已知im(答+a)-号，则coa(2a+智)的值为
A哥
一号
c
5.各项均为正数的等比数列a,)的前n项和为5。，且-u1,寻a,a,成等差数列，若a1=1,
3
则S,=
A音我15
B餐政-5
C.15
(4a-1)x-1,x≤1
6.已知函数f(x)=
为R上的单调递增函数，则α的取值范围是
a1-x,x>1
a(任
B(保，)
C.(1,+∞)
D.(会别
7在△ABC中AB=2AC,∠BAC的平分线AD交边BC于点D,记AC=a,AD=b,则
AB=
A.3a-2b
B.-2a+3b
C.3a+2b
D.2a+3b
8.定义在0，+)上的可导函数fx),满足了)+22-竖，且fe)=云者a-
f日，b=f②3)c=fnwE),则a,bc的大小关系是
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>c>a
D.c>b>a
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9.已知函数f(x)=Asin(uz+p)(A>0,w>0,|p|<)
的部分图象如图所示，下列说
法正确的是
A.f(0)=√3
B,函数f(z）的图象关于直线x=一π对称
6
C.函数∫(x)在
[后
上单调递减
0
D,将函数∫(x)图象向左平移石个单位所得图象关于y轴对称
高三数学试题第2页（共4页）
