广东省揭阳市揭东区2023-2024学年高三上学期期中质量监测数学试题（扫描版含答案）

2023-2024学年度第一学期期中教学质量监测
7.设随机变量X~w0,2),流机变量Y-N0.3.P风XS1)与PY≤1)之间
高三级数学科试题
的人小关系是《》
A.PIX)≤PYs1)
B.PX≤)-PY区1)
温蒂提示：遗将答泉写在答视卡上：老试时间为1逊分钟满分15观分
C.Pxs1)>P(Y s1)
D.PXsI)一、选择题（本题共8个小属，每个小题5分，共40分，在每个小区给出的四个法
项中，只有一项是符合图月要求的)
8.若血两-m+2m3=nn-见+2en2+1,划()
1.设A-{xx是小于8的正鉴数，B-1,2,3到，C-3,45,6.求BnC-(）
A.m>eB.C.m-ne
D.m-
A.{L.2,3}B.{3,4,5,6C.1,2.3,4.5,6D.L.2,3,4,56,7}.
二、选择题（本题共4个小题，每个小圈5分，共20分，在每个小国给出的四个法
2.已知乙-1么，Z的共想复数豆的能是（)
项中，有多项是符合圆目要求的.全部选对得5分，部分进对符？分，有选洁的
3+4i
得0分)
B
C.42
5
D
9.下列命邀为真命圈的是《)
A.已知P:⊙)内两条弦相等，9⊙O内两条弦所对的圆同地相除，则是g的充
3,己知点0Q0,向最0A=2,3),OB=6.-3》,点P是线段AB的三0分点，则
受条件
点P的坐标是〔
C.已知4，石是单位向量，G.方=0，且向量c演足c-a-五上1，则向量c的模长
最大信为√互-1
D.E数y=x+上的最小位是2
D.1,+o)
10.已知双曲线C:x-上
=1，则()
5.设aeR,函数f(x)=x3-2ax2+(a+3x的与函数为f(x),若f(x)是阀函数，
人双曲线C与返：-+少=1有3个公关点
则曲线y=)在草点处的切找方程为()
A.y=3x B.y=-2x
C.y=-3x
D.F=2x
B.哀曲线C的离白率与椭圆兰+上=1的高心率的乘积为1
43
6,已知圆C:x2+y2+2x+2y+1=0,圆C2:x2+y2-4x=0,则圆G与圆C的公
共密所在直就的方程是〔)
c双纹C与双线子-？=1有相明的济近线
4.2x+1=0B.2x-2-l=0C.2x+2y+1=0D.2x+2y=0
D,双曲线C的·个焦点与抛约线y=8x的焦点重合
高三加级华科（期中）试恐第1页（共6页】
高三如效年科{新中)试得站2页（共6页》2023-2024 学年度揭东区高三第一学期期中教学质量监测
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BC AB
答案 D C C A A B C A BC AD
D C
1.【答案】D【详解】 A 1,2,3,4,5,6,7 ， B 1,2,3 ，C 3,4,5,6 ，
A B C 1,2,3, 4,5,6,7 .
2.【答案】C.
3.【答案】C

解： OA (2,3)，OB (6, 3) AB OB OA (4, 6)．
1 4 点 P是线段 AB的三等分点， AP AB , 2 ，或者 AP
2
AB 8 , 4 ．3 3 3 3

OP 1 4 10 OA AP OA AB 2,3 , 2

,1 ，3 3 3

或OP OA AP OA
2
AB 2,3 8 , 4 14 , 1

3 3 3
．

P 14 , 1
P 10 14 10 或 ,1

．∴P 点的坐标为 , 1 或 ,1

．
3 3 3 3
1 1 1
4.【答案】A 解: loga 1 loga loga a ,当 a 1时 loga loga a成立；3 3 3
1 1 a 1 a 1 0
②当 0 a 1时，解得 0 a ．又
3 1 a 0 , 3 3 3
1 1
a3 1 a 1 0 a 1∴a 的取值范围是 0, ． 3
5.【答案】A
解： ，
是偶函数，
，
第 1页
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解得 ， ，
曲线 在原点处的切线方程为 故选 A．
6.【答案】B 依题意求得圆C1和圆C2的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可
证得结果；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.
7.【答案】C
解：X N (0, 22)关于 y轴对称P(| X | 1) P( 1 X 1) P(|Y | 1) P( 1 Y 1)∵
越大，钟型越扁平∴ P(| X | 1) P(|Y | 1)
8.【答案】A
lnm m 2m2 ln n n 2e2 2解： n 1 ln en n 2(en)2 ln en en 2(en)2
令 f (x) ln x x 2x2 (x 0)，则 f (m) f (en)
1 2 15
1 4x2f ' (x) 1 4x x 1
4(x )
因为 8 16 0，
x x x
所以 f (x)在 (0, )上单调递增
m
故m en，即 e，A正确，B，C，D错误n
9.【答案】BC
A.错 p 不是 g 的充要条件， p : O内两条弦相等，所对圆周角相等或者互补。
B．正确 已知 sin 2
5 π π
， ，求 sin 4 ：已知条件给出了 2 的正弦函数值.
13 4 2
π π π
由于 4 是 2 的二倍角，因此可以考虑用倍角公式，由 ，得 2 π .又
4 2 2
2
sin 2 5 5 12，所以 cos2 1 .
13

13 13
sin 4 sin[2 (2 )] 2 5 12 120于是 2sin 2 cos 2 ；13 13 169
C.正确，
、是单位向量， 若向量满足 h，
设 h ， h ， ，
则 h h ，
h，
第 2页
{#{QQABRYQUogCgABIAAQgCUwVgCEAQkAECACoOABAEIAABAAFABAA=}#}
h h h，
故点 的轨迹是在以 hh 为圆心，半径等于 h的圆上，
的最大值为 h h h h，
故答案为： h．
1 1
D.错误 ，只有 x 0，所以 x 2 x 2，命题才成立。
x x
1
当且仅当 x ，即 x2 1， x 1时，等号成立，因此所求的最小值为 2.当 x 0命题不
x
成立。
10.【答案】BCD
h h
解：双曲线 ： h的顶点的坐标 h ，圆 h 的圆心 ，半径

为 h，所以双曲线 与圆 h h有 个公共点，故 A 错误


双曲线 h： h 的离心率为 ，椭圆 h的离心率为 ，所以乘积为 h，故 B正


确；双曲线 与双曲线 h有相同的渐近线 ，故 C 正确；

双曲线 的一个焦点 与抛物线 t 的焦点 相同，故 D正确．
故选 BCD．
11.【答案】ABC
解：对 ∈ 都有 成立，
∈ h] ≠ h 则 是以 为周期的周期函数，当 且 h 时，有 < ，h
则 在 h]上单调递减，由函数 是定义在 上的奇函数有
h h ………①，又 是以 为周期的周期函数，有 h h
h …………②，所以由①②可得 h ，所以 A正确；
由 h 得 h ，又 为奇函数，则 ，
又 是以 为周期的周期函数，则 ，
又 在 h]上单调递减且 h ，则 ∈ h 时 > ，
由 为奇函数，所以 ∈ h 时 < ，根据 是以 为周期的周期函数，
则 ∈ h 时 > ， ∈ h 时 < ，所以 在 上有
h h ，有 5个零点，故 B 正确；
由 是以 为周期的周期函数有 ，故 C正确；
第 3页
{#{QQABRYQUogCgABIAAQgCUwVgCEAQkAECACoOABAEIAABAAFABAA=}#}
由上可知，当 ∈ h 时 > ， ∈ h 时 < ，
则其图象不可能关于 h对称，故 D 不正确．故选 ABC．
12.【答案】AD
解：对于 ：当 ⊥ h 时，Г为以h为直径的球与平面 的交线，

由正方体的棱长为 ，可得h ，h中点到平面 的距离为 ，
故Г是一个点，故 A 正确；
对于 ：由正方体易知 h ⊥平面 ，h ⊥平面 ，
又 、 平面 ，故 BB h ⊥ ，h ⊥ ，
故动点 到直线 h，h的距离即为动点 到点 与点 的距离之和，
又 ，故当动点 到直线 h，h的距离之和为 时，Г是线段，不是椭圆，
故 B 错误；
对于 :由 ⊥平面 ，可知 与平面 所成的角即为∠ ，

直角三角形 中， h，∠ 9 °，∠ ，
所以 为定值，所以则 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，故 C错误；

对于 :以 为原点，为 轴，为 轴，h为 轴建立空间直角坐标系，
则h ， ， ， h ，
设 ，则 h ，取平面 hh的一个法向量为 h ，

若 与 hh所成的角为 ，则cos < >
· ，
· h×h

化简得 h，即 的轨迹为双曲线，所以 D正确．

三．填空题
13 答案： 3
第 4页
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解：因为 PBC 3是正三角形，其边长为 ，所以 S PBC .4
因此，四面体 P ABC的表面积 SP ABC 4
3
3 .
4
14.答案：121
3
所以含 x3的项为：(C 3 C 3 C 3 C 3) x ，
5 6 7 8
所以含 x3的项的系数是的系数是(C 3 C 3 C 3 C 3)，5 6 7 8
所以 x3的项的系数是 121
x2 y2
15.答案： 1(x 5)．
25 100
解：设点 M的坐标为 (x, y)，因为点 A 的坐标是 ( 5,0)，所以直线 AM 的斜率
k yAM (x 5)
y
．同理，直线 BM 的斜率 kBM (x 5)．x 5 x 5
y y
由已知，有 4(x 5)，化简，得点 M 的轨迹方程为
x 5 x 5
x2 y2
1(x 5)．点 M的轨迹是除去 ( 5,0)， (5,0)两点的椭圆．
25 100
20sin π16.答案： t 【详解】设 AOB ，过点 O作 OC AB ，垂足为 C ，则
60
AC OA sin 10sin ，即 d 2 AC 20sin ，当 t 0,30 π时， t ，
2 2 2 30
d 20sin 20sin π t；
2 60
π π
17.当 t 30,60 时， 2π π t，d 20sin 20sin π t 20sin t，30 2 60 60
π
综上， d 20sin t， t 0,60 .
60
第 5页
{#{QQABRYQUogCgABIAAQgCUwVgCEAQkAECACoOABAEIAABAAFABAA=}#}
π
故答案为： 20sin t .
60
四 解答题
17.解：由 a cosC 3a sinC b c 0 及正弦定理得
sin AcosC 3 sin AsinC sin B sinC 0 . ……………1 分
因为 sin B sin A C sin A C sin AcosC cos AsinC，
所以 3 sin AsinC cos AsinC sinC 0 . ……………2 分
由于0 C ，所以 sinC 0， 3 sin A cos A 1 0
sin A 1所以 6
. ………………4 分
2
又0 A ，

故 A … ………………………………5 分
3
【小问 2 详解】
由题得 ABC 1的面积 S bc sin A 2 3，故bc 8①. ……………………6 分
2
而 a2 b2 c2 2bc cos A，且 a 2 2，故b2 c2 16②， …………………8 分
由①②得 (b c) 2 b2 c2 2bc 32, b c 0， …………………9 分
b c 4 2 ……………………………………10 分
18.解：解： h 设等差数列 的公差为 ，
则由 t h，5 ，
h 5 t 得 h5 h
，解得 h ，
所以 h × ，
即 ． ……………………5 分
由 h 可得 h ，
h h h所以 h h，
第 6页
{#{QQABRYQUogCgABIAAQgCUwVgCEAQkAECACoOABAEIAABAAFABAA=}#}
h h h h h h h h则 … h h
h
h． ………………9 分
易知 在 ∈ 单调递增，
当 时， h，
所以由 h t 得 ，
解得 ∈ h] ． ……………………12 分
19.证明： h 平面 h ⊥平面 ，平面 h 平面 ，h ⊥
h ⊥平面 ，又 平面 h ⊥





⊥ ，又 h ，h 平面 h
⊥平面 h …………………5 分
解： ……h
⊥平面
以 点为坐标原点，以 为 轴，为 轴，为 轴建立空间直角坐标系
设 ，则 h
， h ， hh ， h ，h hhh ， h ，

h hh ， h h ， ………………………7 分
由 h 知， ⊥平面 h

平面 h的一个法向量为 h …………………8 分

设平面 h的一个法向量为
·h
，即 ，令 h，则 h， h h hh …………10 分·
cos 设所求的锐二面角为 ，则 ………………………12 分
第 7页
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20. 解：（1）函数的定义域为 x R ．
f (x) (x 2) ex (x 2) ex
ex (x 2)ex
(x 3)ex．
令 f (x) 0，解得 x 3． ………………………3 分
f (x)， f (x)的变化情况如表所示．
X ( , 3) -3 ( 3, )
f (x) － 0 ＋
f (x) 1单调递减 2 单调递增e
所以， f (x)在区间 ( , 3)上单调递减，在区间 ( 3, )上单调递增．
f (x) f ( 3) 1当 x 3时， 有极小值 3 ，e
f (x)无极大值． ………………………6 分
（2）方程 f (x) a(a R)的解的个数为函数 y f (x)的图象与直线 y a的交点个数．
令 f (x) 0，解得 x 2．
当 x 2时， f (x) 0；当 x 2时， f (x) 0．
1
所以， f (x)

的图象经过特殊点 3, 3 ， ( 2,0)， (0,2)． …………8 分 e
x 2
当 x 时，与一次函数相比，指数函数 y e x呈爆炸性增长，从而 f (x) 0；
e x
当 x 时， f (x) ． ………………………10 分
所以，关于方程 f (x) a(a R)的解的个数有如下结论：
a 1当 3 时，解为 0 个；e
1
当 a 或 a 0时，解为 1个；
e3
第 8页
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1
当 3 a 0时，解为 2 个． ………………12 分e
21. 解： h 零假设为 :性别因素与学生体育锻炼的经常性无关联，根据列联表中的数据，
× ×t 6 ×

经计算得到 ≈ 9 5 > 6 6 5，
h ×h ×6 ×h
根据小概率值 h的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于
h． ……………3 分
设从这 人中随机选择 h人，设选到经常锻炼的学生为事件 ，选到的学生为男生为
事件 ，则 t ， h ，则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的
概率
t
h t． ………………6 分
记 An表示事件“经过 n次传球后，球再在甲的手中”，
设n次传球后球再在甲手中的概率为 pn ,n 1,2,3, ,n ，
则有 p1 0, An 1 An An 1 An An 1，
所以 pn 1 P(An An 1 An An 1) P(An An 1) P(An An 1)
P(An ) P(An 1 | An ) P(An ) P(An 1 | An ) (1
1 1
pn ) pn 0 (1 p2 2 n
)，
1 1
即 pn 1 pn ,n 1,2,3, ，2 2
1 1
所以 pn 1 ( p
1) 1 1n ，且 p ，3 2 3 1 3 3
所以数列{p 1n }
1 1
表示以 为首项， 为公比的等比数列，……………9 分
3 3 2
p 1 1 ( 1)n 1 p 1 ( 1)n 1 1 1 1所以 n ，所以 n [1 ( 1)
n n 1 ] .3 3 2 3 2 3 3 2
1 n 1
即 n 次传球后球在甲手中的概率是 [1 ( 1)
3 2n 1
]． ………………12 分
22 解： h 因为双曲线的实轴长为 ，所以 h，
h
又因为点 t h 在 上，所以 t h h，所以 ，
6
所以双曲线 的标准方程
2
C : x y
2
1,
为 1 1 ， ……………………3 分
6
第 9页
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因为抛物线的准线为 h，所以抛物线 h的标准方程
E : x2 4y； ……………5 分
设 ，直线 方程为 h ，
将其与抛物线方程 联立，
得 h h ， …………………7 分
因为直线 与抛物线相切，
所以△ h6h h6 h

，整理得h h ，①
点 的横坐标 h， h h ，
同理，直线 方程为 ，有 ，②
点 的横坐标 ， ，
由①②知，h，是方程 的两个根，
所以h ，h ， …………………9 分

由 hh ，
，得 h
h ，h

直线 方程为 h

h，即 ，

h
h

h
h

，

点 到直线 的距离 ，
所以 h△
h


h

， ………………10 分

因为点 在双曲线上，所以 6 h，
h
所以 △ 6 h
， ∈ ，
h
当 时，△取得最小值 ， ht

故△ 面积的取值范围为 ………………12 分
ht
第 10页
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