浙江省宁波五校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题(PDF版含答案)

文档属性

名称 浙江省宁波五校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题(PDF版含答案)
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文件大小 1.4MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-11-14 12:07:42

文档简介

2023 学年第一学期宁波五校联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
选择题部分
一、单选题:本大题共 8小题,每个小题 5分,共 40分.在每小题给出的选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B
x2 y2
7.C 1,得两个焦点分别 F1( 3,0), F2 (3,0).提示:由椭圆 25 16
由圆 (x 3)2 y2 1,得圆心坐标为 ( 3,0),半径为 1,又点M (6,4),
由椭圆的定义可知 | PF1 | | PF2 | 2a 10, | PQ | | PF1 | 1 10 | PF2 | 1 11 | PF2 |,
又 |MF2 | (6 3)
2 (4 0)2 5,
则 | PQ | | PM | 11 | PF2 | | PM | 11 (| PF2 | | PM |)
11 |MF2 | 11 5 6,
| PQ | | PM |的最大值为 6.
8.C 提示:分别取DE,DC的中点O,F ,点 A的轨迹是以 AF 为直径的圆,以OA,OE
为 x, y轴,过O与平面 AOE 垂直的直线为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则C( 2,1,0),平面 ABCD的其中一个法向量为 n (0,0,1),由 A1O 1,设 A1(cos ,

0, sin ), [0, 2 ),则CA1 (cos 2, 1, sin ),记直线 A1C与平面 ABCD所成
2
角为 ,则 sin | C A n | 1 | sin | 1 cos ,|CA1 || n | 4cos 6 4cos 6
令 t cos 3 [1 5] 3 5 t 3 5 10 2 , , sin ( ) ,
2 2 2 4 16t 4 4 4 4
10 2
所以直线 A1C与平面 ABCD所成角的正弦值最大为 .4
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
二、多选题:本大题共 4小题,每个小题 5分,共 20分.在每小题给出的选项中,
有多项是符合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0
分.
9.BCD 4提示:公切线方程为 y 0 , y x , x 2y 5 0
3
10.ABC
11.ACD 提示:过 A作 AE CD,垂足为 E,则 DE 2,以 A为坐标原点,分别以 AE,
AB, AP所在直线为 x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 B(0,2, 0),C(4,2, 0), D(4, 2, 0), P(0,0, 2),M (2, 1,1),

所以 BM (2, 3,1),PC (4,2, 2),BC (4,0,0),BP (0, 2,2),AD (4,

2, 0),因为 BM PC 2 4 ( 3) 2 1 ( 2) 0 ,所以 BM PC,故 A正确;

cos BM AD B M A D 4 2 ( 3) ( 2) 70因为 , ,
| BM || AD | 14 2 5 10
BM AD 70所以直线 与 所成角的余弦值为 ,故 B错误;
10
设平面 PBC 的法向量为m (x, y, z),

m

BC 0 4x 0

m
,即 ,令 y 1,得m (0,1,1),
BP 0 2y 2z 0

设直线 BM 与平面 PBC所成角为 ,则 sin | cos BM m | | B M m 7 , | ,| BM ||m | 7
所以直线 BM 与平面 PBC 7所成角的正弦值为 ,故C正确;
7
BM BC
设点M 到直线 BC的距离为 d,则 d | BM |2 | |2 10 ,
| BC |
即点M 到直线 BC的距离为 10 ,故D正确.
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
2 2
12.ABD x y提示:由题意可知 04
0
4 取得最大值时,曲率半径 R最大,取得最小值时,曲a b
率半径 R最小,
x 2 2 2 点 P(x , y )在椭圆上, 0
y0 x
0 0 2 2 1, y
2 2
0 b (1
0
2 ),a b a
x 2 2
0
y 1 1
4
0
4 2 2 (
1 1 2
a b b a a2
2 )x0 ,b
0 x20 a2,
1 1
2 2 0,a b
x 2 y 2
当 x2 0 0 10 时, 4
0
4 的最大值为a b b2

2 2
当 x2 2 x0 y 10 a 时, 4
0
4 的最小值为a b a2

2
2 2 x0 y
2 3 2 2
由曲率半径公式为 R a b ( 4
0
4 ) 2 ,可得曲率半径 R
a b
的最大值为 ,最小值为 ,故C
a b b a
错误;
若曲线上某点处的曲率半径越大,则曲线在该点处的弯曲程度越小,故 A正确;
b2
若某焦点在 x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为 c(半焦距),则 c,
a
a2 ac c2 0 1 e e2 0 e2 e 1 0 e 5 1 e 5 1 , , ,解得 或 (舍去),
2 2
5 1
该椭圆离心率为 ,故 B正确;
2
x2 y2
若椭圆 2 2 1(a b 0)上所有点相应的曲率半径最大值为 8,最小值为 1,a b
a2 b2
8, 1,解得 a 4, b 2,
b a
x2 y2
椭圆方程为 1,故 D正确.
16 4
三、填空题:本大题共 4小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. (8 , 8 , 4)
9 9 9
14. y 4 x或 x 2y 11 0 .
3
1 1 1 15. 7 提示: AN CM ( AB AC) ( AD AC)
2 2 2
1 1 1 1 2
AB AD AC AD AB AC 1 1 7 9 AC 7
4 4 2 2 2 2 2 2
16. 5 2 3
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
非选择题部分
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
17.解:(1)根据题意,直线 l1 : (a 2)x y 1 0, l2 : 3x ay (4a 3) 0,
3
若 l1 l2,则 3(a 2) a 0 ,解可得 a ;………………5分2
(2)根据题意,若 l1 / /l2 ,则有 a(a 2) 3,解可得 a 1或 3,
当 a 1时,直线 l1 : 3x y 1 0, l2 : 3x y 1 0,两直线重合,不符合题意,
当 a 3时,直线 l1 : x y 1 0, l2 : 3x 3y 15 0,即 x y 5 0,两直线平行,
此时 l |1 5 |1 与 l2 之间的距离 d 2 2 .………………10分1 1
18.解:(1) FM 3ME ,MN 2NS ,点H 为 PF 的中点,
1 1 3 1
SM SE EM SE EF SE (SF SE) SE SF,
4 4 4 4
1 PN PS SN SP SM SP 1 (3 SE 1 SF ) i 1 1 j k ,
3 3 4 4 4 12

SH 1
1
(SP SF ) i 1 k a 1 i 1 j 7 , k .………………6分
2 2 2 2 4 12
(2) ESF , ESP PSF , SE SF 4, SP 6,
2 3
1
j k 4 4 cos 0, i j 6 4 12, i k 6 4 1 12,
2 2 2

PN SH (1 i 1
1 1 1
k ) ( i j k ) i 2 1 i j 11 i k 1 j k 1 k 2
2 2 4 12 2 8 24 8 24
1 36 1 12 11 12 1 0 1 64 16 .………………12分
2 8 24 8 24 3
19.解:(1)设圆心到直线的距离为 d,
圆C : x2 y2 8y 12 0的圆心C(0,4) r 1半径 64 48 2
2
直线 l : ax y 2a 0与圆相切,
d | 4 2a | 2 a 3,解得 .………………5分
a2 1 4
(2) d | 4 2a |圆心到直线的距离 ,
a2 1
l | AB |直线 与圆C 相交于 A、 B两点,且 | AB | 2 2 时, d r 2 ( )2 2 ,…………7分
2
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
d | 4 2a | 2 ,解得 a 7或 a 1.
a2 1
所求直线为 7x y 14 0 或 x y 2 0.………………12分
c
20.解:(1)由题意可知,b 1, 2, c2 a2 b2.
a
a b 1, 双曲线方程为 E : x2 y2 1,………………2分
直线 y kx 1与双曲线 E联立可得: (1 k 2 )x2 2kx 2 0.
1 k 2 0

0

则: 2k
2 0 1 k 2 .………………4分 k 1
2
0
k 2 1
(2)设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ).
x x 2k 2则 1 2 2 , x1x2 .1 k 1 k 2
2
| AB | 6 3 (1 k 2 )[(x x )2 4x x ] 2 (1 k )(2 k
2 )
, 1 2 1 2 2 2 6 3.……6分(k 1)
得: 28k 4 55k 2 25 0 k 2 5 或k 2 5
7 4
又 1 k 5 2 k .
2
x x 2k1 2 4 5 y yk 2 1 1 2
k(x1 x2 ) 2 8.………………9分

设C(x0, y0 ),由OC m(OA OB),
(x0 , y0 ) (4 5m,8m), 80m
2 64m2 1 m 1 ,
4
k 5 ,m 1 .………………12分
2 4
21.解:(1)证明:依题意,(2 + 3 + ) × 2 = 10 + 2 13, = 13,
所以 AB2+BC2=AC2,所以 AB⊥BC,根据直三棱柱的性质可知 BB1⊥平面 ABC,
而 AB,BC 平面 ABC,所以 BB1⊥AB,BB1⊥BC,
由此以 B为原点建立如图所示空间直角坐标系,

则 A1(2,0,2),C(0,3,0),设平面 A1BC的法向量为 = ( , , ),
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
→ →
1= 2 + 2 = 0 →则 → → ,令 x=1,则 y=0,z=﹣1,故可得 = (1,0, 1).……2分
= 3 = 0

平面 ABB1A1的一个法向量是 = (0,1,0),…………4分
→ → → →
由于 = 0,所以 ⊥ ,
所以平面 A1BC⊥平面 ABB1A1.…………6分

(2)由(1)得平面 A1BC的法向量 = (1,0, 1),

1(0,0,2), (0,3,0), 1 = (0,3, 2),…………9分
→ →
设直线 CB1与平面 A BC

1 所成角为θ,则 = | 1→ → | =
2 = 26.………12分
| | | | 13× 2 131
22.解:(1)因为焦距为 2,所以,由椭圆的对称性得 | F1M | | F2N | .
又因为 | F1M | | F1N | 4,所以 | F2N | | F1N | 4.此 2a 4,a 2.
x2 2
所以椭圆 E的方程为 y 1 ……………………4分
4
y
(2)设 P(4, y0 )(y0 0),又 A( 2,0),则 k 0AP 6
y
故直线 AP的方程为: y 0 (x 2), 代入方程(1)并整理得:
6
(9 y 20 )x
2 4y 20 x 4y
2
0 36 0。……………………………………6分
x x 2 x 4y
2 18 2y 2 6y
由韦达定理: A C
0 0 0
C 即 x , y 9 y 2 C 2 C 20 9 y0 9 y0
2y 2 2
同理可解得: xD 0 2 , y
2y0 k yC y 2y D 0D 2 CD 2 …………10分1 y0 1 y0 xC xD 3 y0
故直线 CD的方程为 y kCD (x x ) y ,即 (3 y
2
C C 0 )y 2y0 ( x 1) 0
直线 CD恒过定点 (1,0) . …………………………………………………11分
S ACD CD AE sin AEC AE 3 3 . ……………… 12分
SBCD CD EB sin BEC EB 1
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}绝密★考试结束前
2023 学年第一学期宁波五校联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知:
1.本卷共 4页满分 150分,考试时间 120分钟。
2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效。
4.考试结束后,只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题:本大题共 8小题,每个小题 5分,共 40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知 a (1,0,1), b (x, 1,2) ,且 a b 3,则向量 a与 b的夹角为 ( )
A 5 B C D 2 . . . .
6 6 3 3
y22.双曲线 x2 1的渐近线方程是 ( )
3
A y 3. x B. y 3x C y 1. 3x D. y x
3 3
3.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 3,且与点 B(3,8)距离为 1的直线共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.圆 x2 y2 1和 x2 y2 8x 6y 9 0的位置关系是 ( )
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
5.若 A(7,8), B(10,4),C(2, 4),求 ABC的面积为 ( )
A.28 B.14 C.56 D.20
6. l m 直线 的方向向量为 (1,0, 1),且 l过点 A(1,1,1),则点 P( 1,2,1)到 l的距离为 ( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 2 2
2 2
7. x y已知点 P是椭圆 1上一动点,Q是圆 (x 3)2 y2 1上一动点,点M (6,4),则 | PQ | | PM |
25 16
的最大值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
高二数学学科 试题 第 1页(共 4 页)
{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}
8.如图,矩形 ABCD中,AB 2AD 2 2 ,E为边 AB的中点,将 ADE沿直线DE翻折成△ A1DE.在
翻折过程中,直线 A1C与平面 ABCD所成角的正弦值最大为 ( )
A 6 5 1. B.
6 4
C 10 2 5. D.
4 5
二、多选题:本大题共 4小题,每个小题 5分,共 20分.在每小题给出的选项中,有多
项是符合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0分.
9.圆M : (x 2)2 (y 1)2 1,圆 N : (x 2)2 (y 1)2 1,则下列直线中为两圆公切线的是 ( )
A. x 2y 0 B. 4x 3y 0 C. x 2y 5 0 D. x 2y 5 0
10. x
2 y2
若方程 1所表示的曲线为C ,则下面四个命题中正确的是 ( )
3 t t 1
A.若C为椭圆,则1 t 3,且 t 2 B.若C为双曲线,则 t 3或 t 1
C.若 t 2,则曲线C表示圆 D.若C为双曲线,则焦距为定值
11.如图,在四棱锥 P ABCD中,PA 平面 ABCD, AB / /CD, ABC , AB PA 1 CD 2,
2 2
BC 4,M 为 PD的中点,则 ( )
A. BM PC
B 30.异面直线 BM 与 AD所成角的余弦值为
10
C.直线 BM 与平面 PBC 7所成角的正弦值为
7
D.点M 到直线 BC的距离为 10
12. x
2 y2
曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点,已知对于椭圆 2 2 1(a b 0)上a b
x2 y 2 3
点 P(x0 , y0 )处的曲率半径公式为 R a
2b2 ( 04
0
4 ) 2 ,则下列说法正确的是 ( )a b
A.若曲线上某点处的曲率半径越大,则曲线在该点处的弯曲程度越小
B 5 1.若某焦点在 x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为 c(半焦距),则椭圆离心率为
2
x2C y
2 b2
.椭圆 2 2 1上一点处的曲率半径的最大值为a b a
x2 y2 x2 2D y.若椭圆 2 2 1上所有点相应的曲率半径最大值为 8,最小值为 1,则椭圆方程为 1a b 16 4
高二数学学科 试题 第 2页(共 4 页)
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三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知 a (2, 1,2),b (2,2,1),则 a 在 b上的投影向量为 (用坐标表示).
14.已知直线 l过点 (3,4),且在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的两倍,则直线 l的方程为 .
15.如图,在三棱锥 A BCD中, AB AC BD CD 3, AD BC 2,

M 、 N分别是 AD、 BC的中点,则 AN CM .
x2 y216.已知双曲线 1的左、右焦点分别为 F、 F ,
a2 b2 1 2
过 F 2 21作圆 x y a
2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C ,且 | BC | |CF2 |,
则双曲线的离心率为 .
非选择题部分
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.
17.(本题满分 10)设常数 a R,已知直线 l1 : (a 2)x y 1 0, l2 : 3x ay (4a 3) 0.
(1)若 l1 l2,求 a的值;
(2)若 l1 / /l2 ,求 l1 与 l2 之间的距离.
18.(本题满分 12)在三棱锥体 P SEF 中, FM 3ME,MN 2NS ,点H 为 PF的中点,

设 SP i ,SE j ,SF k .

(1)记 a PN SH ,试用向量 i , j ,k表示向量 a ;

(2)若 ESF , ESP PSF , SE SF 4, SP 6,求 PN SH 的值.
2 3
高二数学学科 试题 第 3页(共 4 页)
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19.(本题满分 12)已知圆C : x2 y2 8y 12 0,直线 l : ax y 2a 0 .
(1)当 a为何值时,直线 l与圆C相切;
(2)当直线 l与圆C 相交于 A、 B两点,且 | AB | 2 2 时,求直线 l的方程.
2
20.(本题满分 12)若双曲线 E : x2 y
2 1(a 0)的离心率为 2 ,直线 y kx 1与双曲线 E的右支交
a
于 A、 B两点.
(1)求 k的取值范围;

(2)若 | AB | 6 3 ,点C是双曲线上一点,且OC m(OA OB),求 k、m的值.
21.(本题满分 12)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中,AB=BB1=2,BC=3,三棱柱 ABC﹣A1B1C1
的侧面积为10+2 13 .
(1)求证:平面 A1BC⊥平面 ABB1A1;
(2)求直线 CB1与平面 A1BC所成角的正弦值.
x2 y2
22.(本题满分 12)已知 F1,F2 分别是椭圆 E: 2 2 1(a b 0)的左、右焦点,且焦距为 2,a b
动弦MN 平行于 x轴,且 | F1M | | F1N | 4 .
(1)求椭圆 E的方程;
(2)设 A,B为椭圆 E的左右顶点,P为直线 l:x 4上的一动点(点 P不在 x轴上),连 AP交
椭圆于C点,连PB并延长交椭圆于D点,试问是否存在 ,使得 S ACD S BCD成立,若存在,
求出 的值;若不存在,说明理由.
高二数学学科 试题 第 4页(共 4 页)
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