绝密★考试结束前
2023 学年第一学期浙南名校联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分（共 60分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知方程 x2+y2 2x+2+k=0 表示半径为 1 的圆，则实数 k =
A．2 B．1 C． 1 D． 2
2．在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A(0,1, 1)， B(1,1,2)，点 B 关于 y 轴对称的点为 C，则|AC|=
A． 14 B． 6 C． 2 D．2
3．已知直线 l 的一个方向向量 n = ( 1,2)，且过点 ( 1,2)，则直线 l 的方程为
A． 2x + y = 0 B． x 2y +5 = 0 C． x + 2y 3= 0 D． 2x y + 4 = 0
2
4．抛物线 C: y2
x
= 2px( p 0)的焦点为 F，且抛物线 C 与椭圆 + y2 =1在第一象限的交点为 A，若
2
AF⊥x 轴，则 p=
2 2 2
A．2 B．1 C． D．
3 3
5．已知长方体 ABCD A1B1C1D1，AB=AD=1，AA1=2，则直线 A1B 与直线 B1C 所成角的余弦值为
10 4 3 3
A． B． C． D．
10 5 5 4
6．已知圆 O: x2+y2=1 与圆 M: (x 2)2+(y 1)2=2 相交于 A，B 两点，则|AB|=
2 5 5 5
A． B． C． D． 5
5 5 2
x2 y2
7．双曲线 C: =1(b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，A为双曲线C 左支上一点，直线 AF2与
25 b2
双曲线 C 的右支交于点 B，且|AB|=15， F AF = ，则|AF1|+|AF2|= 1 2
3
110
A． B．26 C．25 D． 23
3
高二数学学科 试题 第1页(共 4 页)
{#{QQABaYSUgggAAhAAAAhCQwFSCgOQkAECACoOgEAIMAABQRFABAA=}#}
8．有 5 张未刮码的卡片，其中 n 张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这 5 张卡片随机抽
取 2 张．你有资金 100 元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半．若刮码结果为“中奖”，
则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金．抽取的 2 张卡片
全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则 n 至少为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9．已知直线 l1 : 4x 3y +3= 0 ， l2 : (m+ 2) x (m+1) y +m = 0(m R)，则
A．直线 l 过定点 (1,2) B．当 m = 2时，2 l1 l 2
1
C．当 m = 1时， l ⊥ l D．当 时，l ，l 之间的距离为 1 2 l1 l2 1 2
5
10．某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续 10 天，每
天空气质量指数（单位： μg/m3 ）不超过 100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境
治理不达标．根据连续 10 天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是
A．甲地区：平均数为 80，众数为 70
B．乙地区：平均数为 80，方差为 40
C．丙地区：中位数为 80，方差为 40
D．丁地区：极差为 10，80%分位数为 90
11．已知抛物线 C: y2=4x 的准线与 x 轴交于点 D，O 为坐标原点，点 A，B 是抛物线 C 上异于点 O
的两个动点，线段 AB 与 x 轴交于点 T，则
A．若 T 为抛物线 C 的焦点，则线段 AB 的长度的最小值为 4
B．若 T 为抛物线 C 的焦点，则OA OB 为定值
C．若△AOT 与△BOT 的面积之积为定值，则 T 为抛物线 C 的焦点
D．若直线 DA 和直线 DB 都与抛物线 C 相切，则 T 为抛物线 C 的焦点
x2 y2 2
12．己知椭圆C : + =1(0 b 2) 的左，右焦点分别为 F1，F ，圆 M : x22 + ( y 2) =1，点 P 在
4 b2
椭圆 C 上，点 Q 在圆 M 上，则下列说法正确的有
3
A．若椭圆 C 和圆 M 没有交点，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ,1
2
B．若 b=1，则|PQ|的最大值为 4
C．若存在点 P 使得|PF1|=3|PF2|，则 0 b≤ 3
D．若存在点 Q 使得|QF1|= 3 |QF2|，则 b=1
非选择题部分（共 90分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为 5，圆柱底面直径为 4，则圆柱
的侧面积为 ▲ ．
14．已知直线 l: x+y 1=0 与圆C : (x 3)2+(y+4)2=4，则圆 C 上到直线 l 距离为 1 的点有 ▲ 个．
高二数学学科 试题 第2页(共 4 页)
{#{QQABaYSUgggAAhAAAAhCQwFSCgOQkAECACoOgEAIMAABQRFABAA=}#}
x2 y2 x2 y2
15．椭圆 + =1(a b 0)与双曲线 =1(m,n 0)有公共焦点，左右焦点分别为 F1、F2．点
a2 b2 m2 n2
O 是坐标原点，点 A 是椭圆的左顶点，AO 的中点 M 为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象
限的交点为 P，满足 PF1⊥PF2，则椭圆的离心率 e= ▲ ．
16．点 P 是长方体 ABCD A1B1C1D1 内的动点，已知 AB=AD=2，AA1 = 2 ，AP = x(AB + AD)+ yAA1
(2x + y =1)，Q 是平面 BC1D 上的动点，满足 PQ = 2，则 AP AQ 的最小值是 ▲ ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分 10 分）
已知圆 C：x2+y2 4x 6y+4=0．
（1）求过圆心 C 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
1
（2）直线 y = x + b与圆 C 相交所得的弦长为 4，求实数 b 的值．
2
18．（本题满分 12 分）
某用人单位招聘毕业大学生设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试．笔试有两次机会，若
第一次笔试通过，则进入面试环节，若没有通过，进行第二次笔试，两次笔试相互独立，若第二次
笔试通过则进入面试环节，若仍不通过，则淘汰不予录用．面试只有一次机会，通过后即可录用．
2 3 1
已知考生甲通过笔试的概率均为 ，通过面试的概率为 ．考生乙通过笔试的概率均为 ，通
3 4 2
4
过面试的概率为 ．记“甲被录用”为事件 A，“乙被录用”为事件 B，事件 A，B 相互独立．求：
5
（1）P(A)；
（2）甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率．
19．（本题满分 12 分）
平面上的动点 P(x, y)到定点 F(0,1)的距离等于点 P 到直线 y= 1 的距离，记动点 P 的轨迹为曲
线 C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）直线 l: y=x+m 与曲线 C 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M．是否存在这样的直线 l，
使得 MF⊥AB，若存在，求实数 m 的值，若不存在，请说明理由．
20．（本题满分 12 分）
已知三棱柱 ABC A1B1C1满足 AC=BC=1， ACB = 90 ， C1
M
B
A1AC = 60
，顶点 A1在平面
1
ABC 上的射影为点 B． A1
（1）证明：AC⊥平面 A1BC；
（2）点 M 为 A C1C1的中点，点 N 为 BC 的中点， N
求直线 CM 与平面 ANB1所成角的正弦值．
A B
高二数学学科 试题 第3页(共 4 页)
{#{QQABaYSUgggAAhAAAAhCQwFSCgOQkAECACoOgEAIMAABQRFABAA=}#}
21．（本题满分 12 分）
x2
已知双曲线C : y2 =1，M (m,2)，斜率为 k 的直线 l 过点 M ．
4
（1）若 m=0，且直线 l 与双曲线 C 只有一个交点，求 k 的值；
（2）已知点T (2,0) ，直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点 A，B，直线 TA，TB 的斜率分别为
k1，k2，若 k1+k2为定值，求实数 m 的值．
22．（本题满分 12 分）
x2 y2 1
已知椭圆C : + =1(a b 0)的离心率为 ，左焦点 F 与原点O 的距离为 1．正方形 PQMN
a2 b2 2
2 1 1 2
的边 PQ，MN 与 x 轴平行，边 PN，QM 与 y 轴平行， P , ，M , ．过 F 的直线与椭圆
7 7 7 7
C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中垂线为 l．已知直线 AB 的斜率为 k，且 k>0．
（1）若直线 l 过点 P，求 k 的值；
（2）若直线 l 与正方形 PQMN 的交点在边 PN，QM 上，l 在正方形 PQMN 内的线段长度为 s，
s
求 的取值范围．
AB
l y
B
P Q
F O x
M
N
A
高二数学学科 试题 第4页(共 4 页)
{#{QQABaYSUgggAAhAAAAhCQwFSCgOQkAECACoOgEAIMAABQRFABAA=}#}2023学年第一学期浙南名校联盟期中联考
高二年级数学学科 参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A C B A B C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2分．
题号 9 10 11 12
答案 ABD BD ABD ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
10 16． 2 2 2
13．12π 14．2 15．
4
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2 2
17．解：（1）圆 C： (x 2) + ( y 3) = 9，C (2,3)，半径 r = 3．…………………………… 1 分
3 3
①直线截距均为 0 ，设 y = kx，代入 (2,3)得 k = ，所以直线方程为： y = x ；…… 3 分
2 2
x y
②直线截距均不为 0 ，设 + =1，代入 (2,3)，得 a = 5 ，
a a
所以直线方程为： x + y 5 = 0 ．
综上所述：3x 2y = 0或 x + y 5 = 0 ．…………………………………………………… 5 分
1
（2）因为直线 y = x + b 与圆 C相交所得的弦长为 4， r = 3．
2
1 2 6 + 2b
所以圆心 C到直线 y = x + b 的距离为 d = 5 ，即 = 5 ，………………… 8 分
2 5
9 1
得b = 或 ．……………………………………………………………………………… 10 分
2 2
18．解：设“甲第 i 次通过笔试”为事件 Ai ，“乙第 i 次通过笔试”为事件 Bi ，“甲通过面试”为事
件 C．
2 3 1 2 3 2
（1） P (A) = P (A1 )P (C ) + P (A1 )P (A2 )P (C ) = + = ．…………………… 6 分
3 4 3 3 4 3
1 4 1 1 4 3
（2）同（1）可得 P (B) = + = ． ………………………………………… 8 分
2 5 2 2 5 5
记“甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用”为事件 D．
2 2 1 3 7
则 P (D) = P (A) P (B) + P (A) P (B) = + = ．………………………………… 12 分
3 5 3 5 15
高二数学学科 参考答案 第1页(共 4 页)
{#{QQABaYSUgggAAhAAAAhCQwFSCgOQkAECACoOgEAIMAABQRFABAA=}#}
19．解：（1）由题意得点 P的轨迹为以 F(0,1) 为焦点，y= 1 为准线的抛物线，所以 p=2，
所以曲线 C： x2 = 4y ．…………………………………………………………………………… 4 分
x2 = 4y,
（2）设 A(x1, y1 ),B(x2 , y2 ),M (x , y )．联立 得 x
2
4x 4m = 0， 0 0
y = x + m,
=16 +16m 0， m 1．…………………………………………………………………… 6 分
由韦达定理得： x1 + x2 = 4, x1x2 = 4m． ……………………………………………………… 8 分
所以 y1 + y2 = x1 +m + x2 +m = 4 + 2m， M (2,2+m)．……………………………………… 10 分
m +1
又 MF ⊥ AB， kMF kAB = 1，即 1= 1，
2
得m = 3，不符合 0，因此不存在满足要求的直线 l． ………………………………… 12 分
20．解：（1）由已知得 A1B⊥平面 ABC，所以 A1B⊥AC，…………………………………… 2 分
因为 ACB = 90 ，所以 BC⊥AC，又因为 A1B∩BC=B，所以 AC⊥平面 A1BC．…………… 4 分
（2）因为 AC⊥平面 A1BC，所以 AC⊥A1C．在 Rt△AA1C中， A AC = 60
，所以 AA1=2， 1
于是 A1B= 2 ．…………………………………… 5 分
z
如图，以 C 为原点，CA，CB 所在直线为 x 轴， C1
M
A B1
y 轴建立空间直角坐标系．……………………… 6 分 1
1
则C (0,0,0)， A(1,0,0)， B(0,1,0)， N 0, ,0 ，
2 C N
A
x B y
1
A1 (0,1, 2 )
， B1 ( 1,2, 2 )，M ,1, 2 ．
2
1
所以 AN = 1, ,0 ， AB1 = ( 2,2, 2 )．………………………………………………… 7 分
2
1
AN n = 0, x + y = 0,
设平面 ANB1 的法向量为n = (x, y, z)，则 2
AB1 n = 0
2x + 2y + 2z = 0,
令 x=1，得 y=2， z = 2 ，所以平面 ANB1 的一个法向量为n = (1,2, 2 )．………… 9 分
1
又CM = ,1, 2 ，……………………………………………………………………… 10 分
2
设直线 CM与平面 ANB1所成的角为 θ，则
1
CM n
2 91 sin = cos CM ,n = = = = ．…………………………………… 12 分
CM n 13 91
7
2
21．解：（1）由已知得 l: y=kx+2．
高二数学学科 参考答案 第2页(共 4 页)
{#{QQABaYSUgggAAhAAAAhCQwFSCgOQkAECACoOgEAIMAABQRFABAA=}#}
y = kx + 2,
联立 2 x2 得 (1 4k )x2 16kx 20 = 0．（*）……………………………………… 2 分
y2 =1
4
要使直线 l与双曲线 C只有一个交点，则方程（*）只有一个解．
1
①当1 4k 2 = 0，即 k = 时，满足要求； ……………………………………………… 3 分
2
2 1 2 5 ②当1 4k 0，即 k 时， = (16k ) +80(1 4k2 ) = 0，令 = 0，得 k = ．
2 2
1 5
综上所述， k = 或 ． ……………………………………………………………… 5 分
2 2
（2）设 A(x , y )， B(x , y )，l: y 2=k(x m)，即 y=kx+2 mk． 1 1 2 2
y = kx + 2 mk,
联立 2 2 2 2 x2 得 (1 4k )x +8k (mk 2)x 4(m k 4mk +5) = 0 ，
y
2 =1
4
4(m2k 28k (mk 2) 4mk + 5)
所以 x + x = ， x x = ．…………………………………… 7 分 1 2
4k 2
1 2
1 4k 2 1
8k 2 (mk 2) 2mk 4
所以 y1 + y2 = k (x1 + x2 ) + 4 2mk = + 4 2mk = ，
4k 2 1 4k 2 1
8k (m2k 2 4mk + 5) 8k (2 mk )(mk 2) 8k
y1x2 + y2x1 = 2kx1x2 + (2 mk )(x1 + x2 ) = + = ， 2
4k 2 1 4k 2 1 4k 1
8k 2(2mk 4)
y y y1x2 + y2x1 2( y
从而 1 2 1
+ y2 )
k +k = + = = 4k
2 1 4k 2 1
1 2
x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 + x2 ) + 4 4(m2k 2 4mk + 5) 16k (mk 2)
+ 4
4k 2 1 4k 2 1
(8 4m)k +8
= ，………………………………………………………… 10 分
(4m2 16m +16)k2 + (32 16m)k +16
8 4m = 0,
要使 k1+k2为定值，则 4m
2 16m +16 = 0, 得 m=2．……………………………………… 12 分
32 16m = 0,
c 1
e = = , x
2 y2
22．解：（1）由已知得 a 2 故 a=2，c=1，所以 b= 3 ，故椭圆C : + =1．…… 2 分
4 3
c =1,
直线 AB：y=k(x+1)，设 A(x , y )，B(x , y )，AB的中点为 ． 1 1 2 2 (x0 , y0 )
y = k (x +1) ,
联立 x2 y2 得 (3+ 4k2 )x2 +8k2x + 4k2 12 = 0，
+ =1,
4 3
高二数学学科 参考答案 第3页(共 4 页)
{#{QQABaYSUgggAAhAAAAhCQwFSCgOQkAECACoOgEAIMAABQRFABAA=}#}
8k 2 4k2 12 4k 2 3k
所以 x + x = ， x x = ．于是 x = ， y0 = k (x0 +1) = ． 1 2
3+ 4k 2
1 2 0 2
3+ 4k2 3+ 4k 2 3+ 4k
3k 1 4k 2 1 k
得 l: y = x + ，即 y = x ，…………………………… 4 分 2
3+ 4k 2 k 3+ 4k
2
k 3+ 4k
2 1
代入 , ，化简得 (k 1)(4k2 +3k + 6) = 0，解得 k = 1．………………………………… 6 分
7 7
1
（2）当 k = 1，直线 l: y = x ，恰好都经过 P，M．
7
1 k 2 6 + k
2
对 l: y = x ，令 x = ，得 y = ，
k 3+ 4k 2 7 7k (3+ 4k 2 )
1 6 + k 2 1 (1 k )(4k 2 + 3k + 6)
y = = ，
7 7k (3+ 4k 2 ) 7 7k (3+ 4k 2 )
1
要使 l与正方形 PQMN的交点在边 PN上，则 y ≤ 0，即 k ≥1．
7
要使 l与正方形 PQMN的交点在边 QM上，同理可得 k ≥1．
所以 k ≥1．…………………………………………………………………………………… 8 分
2 12(1+ k 2 )
AB = 1+ k 2 (x + x ) 4x x = ，…………………………………………… 9 分 1 2 1 2
3+ 4k 2
1 1 2 2 3 1+ k
s = 1+ = ，…………………………………………………………… 10 分
k 2 7 7 7k
2
2 2
s 3 1+ k 2 3+ 4k 2 3+ 4k 2 1 (3+ 4k ) 1 8k + 9
故 = = = = 16 + ，
AB 7k 12( 4 21+ k 2 ) 2 228k 1+ k 2 28 k (1+ k ) 28 k + k
s 1 64t 1 4
令 t = 8k 2 + 9 ，则 t≥17 ， = 16 + = 1+ ，
AB 28 t2 10t + 9 7 9
t + 10
t
9 128
因为 t≥17 ，所以 t + 10≥ ，
t 17
s 1 4 1 4 2 s 1
从而 = 1+ ≤ 1+ = ，且 ，
AB 7 9 7 128 8 AB 7
t + 10
t 17
1 s 2
所以 ≤ ．………………………………………………………………………… 12 分
7 AB 8
高二数学学科 参考答案 第4页(共 4 页)
{#{QQABaYSUgggAAhAAAAhCQwFSCgOQkAECACoOgEAIMAABQRFABAA=}#}
