江西省宜春市宜丰县2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

宜丰县2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试卷
一、单选题（40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数在区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判定
4．直线的倾斜角是，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
5．在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A．-2 B．-4 C．-8 D．-10
6．已知，，O为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（20分）
9．已知，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线过点，下列说法正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则方程为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则方程为
C．直线与圆：始终相交
D．若直线和以为端点的线段有公共点，则直线的斜率
11．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切
12．如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连、并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为、．则下列说法正确的是（ ）
A．若记直线、的斜率分别为、，则的大小是定值
B．的面积是定值
C．线段、长度的平方和是定值
D．设，则
三、填空题（20分）
13．经过点，且与直线平行的直线的方程是 .
14．已知向量，若，则m= .
15．如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为 .
16．如图，椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，左、右焦点分别为，，若椭圆上第一象限的一个点A满足：直线与直线的交点为B，直线与x轴的交点为C，且射线为∠ABC的角平分线，则的面积为 .
四、解答题（70分）
17．（10分）已知的顶点为.
(1)求边上高所在直线的方程；
(2)求的外接圆的标准方程.
18．（12分）在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足.
(1)求A的大小；
(2)若，，求的周长.
19．（12分）如图，在长方体中．
(1)求证：∥平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，点为的中点．
(1)求平面与平面夹角的正弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由．
22．（12分）已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
高二期中考试数学参考答案：
1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 6．B 7．A
8．A【详解】由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线对称，所以．
设，，，则，同理可得，，则，得，所以，由，得．
将代入抛物线C的方程，得，解得，故抛物线C的方程为．
设，作垂直准线于，由抛物线的性质可得，所以，
当最小时，的值最大，所以当直线MN与抛物线C相切时，最大，即最小．由题意可得，设切线MN的方程为，联立方程组消去，得，由，可得，将代入，可得，所以，即M的坐标为，所以，，所以的最大值为．故选：A
9．ABD 10．AC 11．BD
12．ABD【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立可得，，则，，A对；对于B选项，设，则，联立可得，解得，不妨设点在第三象限，则，设点在第四象限，同理可得，点到直线的距离为，，所以，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，
，当且仅当时，等号成立，D对.故选：ABD.
13． 14． 15．
16．【详解】设椭圆的方程为，则，，解得，，
故椭圆的方程为；在和中由正弦定理得，
，又射线为∠ABC的角平分线，可得，则在直角中，故，所以直线：，点为直线与椭圆的交点，联立方程，解得（舍负），故.故答案为：.
17【详解】（1）所在直线的斜率：，设边上高所在直线的斜率为，
则，故边上高所在直线的方程为：，即：
（2）设的外接圆的方程为：，点在圆上，
则，解得：.故的外接圆的方程为：
即：
18．【详解】（1）因为向量，且满足，所以，所以，又，所以；
（2）在中，由余弦定理及，得，
，所以，所以，所以，
所以的周长为.
19【详解】（1）证明：长方体中，，，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面
（2）以为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示 由，，则，所以，，，设平面的法向量为，
由，得；令，得，设直线与平面所成的角为，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为．
20.：（1）因为椭圆的离心率为，所以.①
又因为椭圆经过点，所以有.②（2分）
联立①②可得，，，所以椭圆的方程为.（4分）
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为.
由消去整理得，.（5分）
因为直线与椭圆交于不同的两点，
所以，即，所以.（6分）
设，，则，.（8分）
由题意得，的面积，
即.（10分）
因为的面积为，所以，即.
化简得，，即，解得或，均满足，所以或. 所以直线的方程为或.（12分）
21【详解】（1）如图，取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因，所以，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，（2分）
，则，故，
设平面的法向量为，则有，可取，（4分）
因为平面，所以即为平面的一条法向量，则，所以平面与平面夹角的正弦值为；（6分）
（2）假设存在，设，，则，
，（8分）
设平面的法向量为，则有，令，则，所以，因为直线与平面所成的角正弦值为，（10分）所以，解得或（舍去），所以存在，.（12分）
22【详解】（1）因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率，
所以有；（4分）
（2）由题意可知直线存在斜率，所以直线的方程设为，，（5分）则有，设，则有，（7分）
显然的坐标为，所以由（8分）
，把代入上式，得（10分）
，或
当时，直线方程为，过定点，
当时，直线方程为，过定点，
不符合题意，因此直线过定点.（12分）
答案第1页，共2页