广东省佛山市S7高质量发展联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）

佛山市S7高质量发展联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学学科
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．两平行直线与的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两位同学将高一6次物理测试成绩（成绩为整数，满分为100分）记录如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损．
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
甲 95 87 88 92 93 85
乙 85 86 86 99 9 88
则甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，若，，，四点共面，则（ ）
A．-9 B．-3 C．9 D．3
6．某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍（其他三部数量保持不变）若干本．若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0．6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（ ）
A．25本 B．30本 C．35本 D．40本
7．如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20．0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．已知直线，其中，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10．袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中采用不放回方式依次随机的摸取2个球，下列结论正确的有（ ）
A．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角
D．与所成角的余弦值为
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在轴上存在异于，的两定点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的平分线
D．在上存在点，使得
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角为______．
14．事件、是相互独立事件，若，，，则实数的值为______．
15．点是圆上一点，则到直线距离的最大值是______．
16．在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子与点之间的距离为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知的三个顶点分别是，，．
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）求的外接圆的标准方程．
18．（本小题12分）
为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，佛山市文联在中山公园广场举办2023年正月十五“闹元宵猜灯谜”灯谜展猜活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道．假设猜对每道灯谜都是等可能的．
（1）从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；
（2）从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率．
19．（本小题12分）
如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的正弦值．
20．（本小题12分）
人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为．其中和是显性基因，是隐性基因．
（1）若一对夫妻的血型一个是型的基因类型，一个是型的基因类型为，试求他们的子女血型为型的概率；
（2）若一对夫妻的血型一个是型，一个是型，试求他们的子女血型为型的概率．
21．（本小题12分）
图（1）是直角梯形，，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且．
①
②
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题12分）
如图，圆经过点，，且与轴的正半轴相切于点，为坐标原点．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点在圆上，过点的直线交圆于、两点，求证：．
佛山市S7高质量发展联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学学科参考答案和解析
1．【答案】B解：由直线取一点，则两平行直线的距离等于到直线的距离．故选B．
2．【答案】D解：直线与直线互相垂直，斜率之积等于-1，，得，故选D．
3．【答案】A解：根据题意，设空间向量、的夹角为，向量，，则，，
则在上的投影向量为．故选：A．
4．【答案】B解：由题意可得，
设被污损的数字为，则．
满足题意时，，即，即可能的取值为，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值．故选B．
5．【答案】A解：，，，，，，四点共面，存在一对实数，，，，．解得．故选：A．
6．【答案】C解：设需购买《牡丹亭》戏曲书籍本，则购买后该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共本，从中任取1本有种取法，《牡丹亭》戏曲书籍共本，从中任取1本有种取法，从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为，根据题意可得，解得，
即该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍35本，故选：C．
7．【答案】C．【详解】连结，取的中点，连结，则，是异面直线，所成的角，
，，，
又，，
，
异面直线，所成的角的余弦值为．
8．【答案】B解：因为，
所以直线与直线互相垂直，由得，得直线过定点，由得，得直线过定点，因为中点为，且，所以点的轨迹方程为，其圆心为，半径为，作直线，根据垂径定理和勾股定理可得：，由，又，所以的最小值为．故答案选：B．
9．【答案】AC解：直线，对于，当时，直线的斜率为1，直线的斜率为-1，则直线与直线垂直，故A正确；
对于，若直线与直线平行，则，解得或，故B错误；
对于C，当时，，则无论取何值，直线过定点，故正确；
对于，当时，直线在轴上的截距为-1，在轴上的截距为1，直线在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．故选：AC．
10．【答案】BC
【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为．
对于A项，“恰有一个红球”可用来表示，“都是红球”可用事件来表示．
所以，事件，互斥，但，不是对立事件，故A项错误；
对于B项，“恰有一个黑球”可用来表示，“都是黑球”可用事件来表示，
所以事件，互斥，故B项正确；
对于C项，“至少有一个黑球”可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示．
所以，事件，为互斥事件，也是对立事件，故C项正确：
对于D项，“至少有一个红球”可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示．
所以，事件，即交事件为“都是红球”，故D项错误．故选：BC．
11．【答案】AB
解：以顶点为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，可设棱长为1，则，
对于，，
而，所以A正确；对于B，．，所以B正确；
对于C，向量，显然为等边三角形，则，所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，所以C不正确；
又，则，
，所以，所以D不正确．故选：AB．
12．【答案】BC解：设点，则，
化简整理得，即，故A错误；当，，时，，故B正确：
对于C选项，，，
要证为角平分线，只需证明，
即证，化简整理即证，
设，则，，
则证，故C正确；
对于D选项，设，由可得，
整理得，而点在圆上，故满足，
联立解得，无实数解，于是D错误．故答案为：BC．
13．【答案】（或）
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，即倾斜角为．故答案为：（或）
14．【答案】解：即，解得．故答案为．
15．【答案】
【详解】直线，直线过定点，圆心，半径，当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，所以到直线距离的最大值为：．故答案为：．
16．【答案】解：因为正方形，则，而平面平面，平面平面，于是得平面，又为矩形，即，以射线，，分别为，，轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，因点在上，且，则，
又在线段上移动，则有，
于是得点，，，
，
因此，当时，取最小值，此时，点，
则，，所以活动弹子到点的距离为．
17．【答案】
解：（1）由，，得直线的斜率为：，设边上的高所在直线的斜率为，则由，得所以边上的高所在的直线方程为：，
即：．
（2）设所求的方程是．①
因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是即
观察上面式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组．解此方程组，得．
代入，得．
所以，的外接圆的标准方程是．
18．【答案】解：（1）设“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道，则样本空间为，，，，
根据古典概型的计算公式，得；
（2）设“任选一道灯谜，甲猜对”，“任选一道灯谜，乙猜对”，“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，根据题意可得，，，，．因为，且，互斥，又甲、乙两位选手独立参加竞猜，所以，相互独立，从而，，，也相互独立．
所以即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为．
19．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，-为的中点，为的中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）解：以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，
则，令，则，，则，平面，是平面的法向量，，．二面角的平面角的正弦值为．
20．解析：（1）当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有，，，共4个，则型血的概率为
（2）当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有，，，共4个，
当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有，，，共4个，
当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有，，，共4个，
当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有，，，共4个，所以一对夫妻的血型一个是型，一个是型，则他们的子女的血型基因类型的样本空间为：，，其中型的基因类型为，共有9个则子女血型为型的概率为．
21．【答案】（1）证明：如图所示，在图1中连接，交于，因为四边形是边长为2的菱形，并且所以，且，折起后在直观图中，
在图2中，相交直线，均与垂直，所以是二面角的平面角，因为，则，可得，即二面角的平面角为，故平面平面；
图1
（2）解：由（1）可知分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图2所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，设在棱上存在点，使得点到平面的距离为，设，
则，设平面的一个法向量为，
图2
则，．即．取，因为到平面的距离为，
所以，解得，即在棱上存在点为线段的中点，使得点到平面的距离为，此时，所以，设直线与平面所成的角为，所以直线与平面所成角的正弦值为：．
22．【答案】（1）解：因为圆经过点，，且与轴的正半轴相切，
所以圆心的横坐标，半径，设圆的标准方程为，代入点，解得（舍去），所以圆的标准方程为．
（2）证明：由（1）可知，则圆的方程为．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由．得．
则，．则，而
所以，故．当直线轴时，成立．综上，．