江苏省泰州市姜堰区2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省泰州市姜堰区2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 606.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-14 12:27:31 | ||
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文档简介
泰州市姜堰区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知数列为等比数列，其前项和为，，则“对于任意，”是“公比”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知单位向量，满足，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线与x，y轴分别交于M，N两点，与圆交于A，B两点，弦的中点为，则（ ）
A.4 B. C.5 D.
7.，为椭圆的左右两个焦点，椭圆的焦距为，，若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知等差数列的前项和为，公差.若，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的图象与直线的交点中，距离最近的两点间的距离为，则（ ）
A. B.函数在上单调递增，
C.是的一条对称轴 D.函数在上存在两个零点
11.已知大气压强随高度的变化满足关系式，是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
平均海拔/m
第一级阶梯
第二级阶梯 1000~2000
第三级阶梯 200~1000
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
12.由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ）
A. B.
C.已知方程在上有三个根，记为，，，则
D.对于任意的，当时一定有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则_________.
14.已知扇形的半径为5，以为原点建立平面直角坐标系，，，则的中点的坐标为_________.
15.已知定义在上的函数的导函数为，且满足.若，则的取值范围是_________.
16.已知椭圆的左右两个焦点分别为，，过右焦点的直线与交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在轴上，则直线的斜率为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知数列满足，其前5项和为45；数列是等比数列，且，，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前和.
18.（本题满分12分）
在中，a，b，c分别为角A，B，C对边，且同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解的序号组合有哪些（请指出所有情况）？并说明理由；
（2）在（1）的组合中任选一组，求的面积.
19.（本题满分12分）
已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
20.（本题满分12分）
在中，满足
（1）求；
（2）已知点在边上，且，求的值.
21.（本题满分12分）
已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为2且双曲线C的离心率为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知M是直线上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线的平行线l，l与直线交于点P，与x轴交于点Q，若P为线段的中点，求实数t的值.
22.（本题满分12分）
已知函数，
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若在恒成立，求实数取值的集合.
泰州市姜堰区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D A C D D
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 BD ACD ABD ACD
三、填空题
题号 13 14 15 16
答案
四、解答题
17、（1）因为，所以数列是公差为3的等差数列，
因为的前5项和为45，所以，
所以，解得，所以.
设等比数列的公比为，依题意，，又，
可得，解得，所以.
（2）
则
所以
18、解：（1）由条件①得，
由条件②得，即，
解得，（舍去），因为，.
因为，.
而在上递减，所以，矛盾.
所以三角形不能同时满足①②.
当①③④作为条件时：，解得，所以三角形有解.
当②③④作为条件时：有，，，所以三角形有解.
综上所述，满足有解三角形得所有组合为①③④，②③④.
（2）若选组合①③④，因为，.
所以三角形ABC的面积.
若选组合②③④；因为，，.
19、解（1）当时，，，，.
当时，由.得.
两式相减得
，，.
所以有.
从而：.
即：.
（2）由，
所以.
20、（1）由，得，
即，即
，
，，.
（2）在中由正弦定理得：，
所以有，由（1）得
所以.
，，.
方法一、设，，则
.
即：，（舍负），.
方法二、，，，，
由，即：，（舍负），.
21、解：（1）：.
，，，，双曲线方程为
设直线的方程为，
设，联立方程组，消去x得：，
则，可得，
设，，则，，
因为，所以直线的方程为，
又因为直线的方程为，
联立方程组，解得，
即的纵坐标为.
由，两式相除，
得到，因为为线段的中点
所以，，所以.
22、解：（1）
当，，在单调递增；
当，，，在上单调递减，在单调递增.
（2）由题意即在恒成立，
在，，但是，
所以当时，取得最小值.
因为，
则为函数在的一个极小值点，，，.
下面证明：当时，为函数在的一个极小值点
因为，.
法一：下证：当即可.
，即，，而，
当时，，
当时，.
所以成立
从而，在上单调递增，
，为函数在的一个极小值点.
法二：此题也可以由，
，
分情况，，减
，，增，
所以，所以在上单调递增，
，为函数在的一个极小值点.
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知数列为等比数列，其前项和为，，则“对于任意，”是“公比”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知单位向量，满足，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线与x，y轴分别交于M，N两点，与圆交于A，B两点，弦的中点为，则（ ）
A.4 B. C.5 D.
7.，为椭圆的左右两个焦点，椭圆的焦距为，，若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知等差数列的前项和为，公差.若，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的图象与直线的交点中，距离最近的两点间的距离为，则（ ）
A. B.函数在上单调递增，
C.是的一条对称轴 D.函数在上存在两个零点
11.已知大气压强随高度的变化满足关系式，是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
平均海拔/m
第一级阶梯
第二级阶梯 1000~2000
第三级阶梯 200~1000
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
12.由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ）
A. B.
C.已知方程在上有三个根，记为，，，则
D.对于任意的，当时一定有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则_________.
14.已知扇形的半径为5，以为原点建立平面直角坐标系，，，则的中点的坐标为_________.
15.已知定义在上的函数的导函数为，且满足.若，则的取值范围是_________.
16.已知椭圆的左右两个焦点分别为，，过右焦点的直线与交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在轴上，则直线的斜率为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知数列满足，其前5项和为45；数列是等比数列，且，，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前和.
18.（本题满分12分）
在中，a，b，c分别为角A，B，C对边，且同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解的序号组合有哪些（请指出所有情况）？并说明理由；
（2）在（1）的组合中任选一组，求的面积.
19.（本题满分12分）
已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
20.（本题满分12分）
在中，满足
（1）求；
（2）已知点在边上，且，求的值.
21.（本题满分12分）
已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为2且双曲线C的离心率为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知M是直线上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线的平行线l，l与直线交于点P，与x轴交于点Q，若P为线段的中点，求实数t的值.
22.（本题满分12分）
已知函数，
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若在恒成立，求实数取值的集合.
泰州市姜堰区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D A C D D
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 BD ACD ABD ACD
三、填空题
题号 13 14 15 16
答案
四、解答题
17、（1）因为，所以数列是公差为3的等差数列，
因为的前5项和为45，所以，
所以，解得，所以.
设等比数列的公比为，依题意，，又，
可得，解得，所以.
（2）
则
所以
18、解：（1）由条件①得，
由条件②得，即，
解得，（舍去），因为，.
因为，.
而在上递减，所以，矛盾.
所以三角形不能同时满足①②.
当①③④作为条件时：，解得，所以三角形有解.
当②③④作为条件时：有，，，所以三角形有解.
综上所述，满足有解三角形得所有组合为①③④，②③④.
（2）若选组合①③④，因为，.
所以三角形ABC的面积.
若选组合②③④；因为，，.
19、解（1）当时，，，，.
当时，由.得.
两式相减得
，，.
所以有.
从而：.
即：.
（2）由，
所以.
20、（1）由，得，
即，即
，
，，.
（2）在中由正弦定理得：，
所以有，由（1）得
所以.
，，.
方法一、设，，则
.
即：，（舍负），.
方法二、，，，，
由，即：，（舍负），.
21、解：（1）：.
，，，，双曲线方程为
设直线的方程为，
设，联立方程组，消去x得：，
则，可得，
设，，则，，
因为，所以直线的方程为，
又因为直线的方程为，
联立方程组，解得，
即的纵坐标为.
由，两式相除，
得到，因为为线段的中点
所以，，所以.
22、解：（1）
当，，在单调递增；
当，，，在上单调递减，在单调递增.
（2）由题意即在恒成立，
在，，但是，
所以当时，取得最小值.
因为，
则为函数在的一个极小值点，，，.
下面证明：当时，为函数在的一个极小值点
因为，.
法一：下证：当即可.
，即，，而，
当时，，
当时，.
所以成立
从而，在上单调递增，
，为函数在的一个极小值点.
法二：此题也可以由，
，
分情况，，减
，，增，
所以，所以在上单调递增，
，为函数在的一个极小值点.
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