河北省部分重点高中2023-2024学年高一上学期11月选科调考第二次联考数学试题（含解析）

河北省部分重点高中2023-2024学年高一上学期11月选科调考第二次联考
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 若命题菱形是中心对称图形，则（ ）
A. 是全称量词命题，且的否定，；所有的菱形不是中心对称图形
B. 是全称量词命题，且的否定；有些菱形不是中心对称图形
C. 是存在量词命题，且的否定；所有的菱形不是中心对称图形
D. 是存在量词命题，且的否定；有些菱形不是中心对称图形
4. 若函数，则（ ）
A. B. C. D.
5.“”是“”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 若，则函数的部分图象可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 若命题“”为假命题，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，某地区计划在等腰的空地中，建设一个有一边在上的矩形花园，已知，则该矩形花园面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
10. 若，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知幂函数的图象经过中的三个点，则的值可能为（ ）
A. B. C. 3 D. 9
12. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 的最小值为_____________.
14. 若关于的不等式的解集为，则_____________.
15. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是____________.
16. 某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种.那么该水果这三天售出的水果至少有______________种.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知全集，集合，为小于4的自然数组成的集合.
（1）求的子集的个数；
（2）求.
18.（12分）
判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由.
（1）；
（2）；
（3）
19.（12分）
已知二次函数的图象的顶点为，且的图象经过原点.
（1）求的解析式；
（2）若在上单调递增，求的取值范围.
20.（12分）
已知为正数，且.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
21.（12分）
已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
22.（12分）
对于函数，如果对其定义域中任意给定的实数，都有，且，就称为“倒函数”.
（1）判断函数是否为“倒函数”，并说明理由；
（2）若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，.
①根据定义，研究在上的单调性；
②若，函数，求在上的值域.
参考答案
1. C 【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.
由题意得，所以.
2. B 【解析】本题考查抽象函数的定义域，考查数学抽象和数学运算的核心素养.
由题意得，得.
3. B 【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理的核心素养.
该命题是全称量词命题，且该命题的否定：有些菱形不是中心对称图形.
4. D 【解析】本题考查函数的解析式，考查逻辑推理的核心素养.
由，得.
5. B 【解析】本题考查不等式的性质与充分必要条件，考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
由，得，则.
因为“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件.
6. D 【解析】本题考查函数的单调性与图象，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
当时，是增函数，且，A,B均错误；
当时，是减函数，且，C错误，D正确.
7. A 【解析】本题考查命题的真假与一元二次方程，考查化归与转化的数学思想.
由题意得命题“”是真命题.
因为，所以.
当时，函数的最大值为6，则的最小值为，所以，即的最大值为.
8. C 【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养和应用意识.
（方法一）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形.设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点.设的长度为，的长度为.易得，，，所以，得，即，则该矩形花园的面积为，当时，该矩形花园的面积取得最大值，最大值为.
（方法二）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形.设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点.设的长度为，的长度为，易得，，所以，得，则，即，当且仅当，即时，等号成立，所以该矩形花园面积的最大值为.
9. AC 【解析】本题考查函数的概念，考查数学运算的核心素养.
与的解析式一致，定义域均为，值域均为，A正确；
与的解析式不一致，B错误；
，与的解析式一致，定义域均为，值域均为，C正确；
的定义域为，D错误.
10. ABC【解析】本题考查不等式的性质，考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
易得，A，B，C均正确.当时，，D错误.
11. BC 【解析】本题考查幂函数的性质，考查数学运算与直观想象的核心素养.
设，由幂函数的性质可知的图象必定经过点B.
若的图象经过A，B，C三点，由，得为正奇数，则的解析式可能为；
若的图象经过A，B，D三点，由，得，则.的图象不可能同时经过B，C，D三点.
12. ABD【解析】本题考查函数的奇偶性，考查数学抽象的核心素养.
因为函数为奇函数，所以，A正确；
由为偶函数，得，即，B正确；
由为奇函数，得，所以，即，C错误.
由上可知，则，则，所以，D正确.
13. 【解析】本题考查基本不等式，考查数学运算的核心素养.
由题意得，当且仅当，即时，等号成立.
14. 12 【解析】本题考查一元二次不等式及韦达定理，考查数学运算的核心素养.
由题意得关于的方程两根为-1和4，则，得，所以.
15. 【解析】本题考查分段函数的单调性，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
由题意得在上单调递减，所以，解得.
16. 20 【解析】本题考查不等式的性质与图的应用，考查逻辑推理的核心素养和应用意识.
设这三天售出相同种类的水果有种，第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有种，则这三天售出水果的种类关系如图所示.
由图可知，该水果店这三天售出水果有种，
由，得，所以.故该水果店这三天售出的水果至少有20种.
17. 解：（1）由，得，
因为，所以，
故的子集的个数为；
（2）由题意得，
则，
所以.
评分细则：
第（1）问，直接求出不扣分.
18. 解：（1）由题意得的定义域为，
因为，都有，
且
所以是奇函数；
（2）的定义域为，当时，，
所以，中，既不是奇函数也不是偶函数；
（3）当时，，则，
当时，，则，
所以是偶函数.
评分细则：
【1】第（1）问，未写“的定义域为”，扣1分；
【2】第（2）问，写“因为的定义域不能分成关于原点对称的两部分，所以，既不是奇函数也不是偶函数”，不扣分.
【3】第（3）问，直接写“因为，所以是偶函数”，给2分.
19. 解：（1）（方法一）设，
由题意得，得，
所以.
（方法二）设，
由题意得，解得
所以.
（2）由题意得在上单调递增，
所以，得，即的取值范围为.
评分细则：
第（1）问，答案写成“”，不扣分.
20.（1）证明：由，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
（2）解：，
当且仅当，即，即或时，等号成立.
故的最小值为12.
评分细则：
【1】第（1）问，未写“当且仅当，即时，等号成立”，扣2分；
【2】第（2）问，未写“当且仅当，即，即或时，等号成立”，扣2分.
21.解：（1）由题意得
得或-1，
当时，在上单调递增，不符合题意；
当时，在上单调递减，符合题意，
故；
（2）由题意得在上单调递减，
当，即时，恒成立，
当，即时，由，得，得，不符合题意.
当，即时，由，得，得，所以.
综上，不等式的解集为.
评分细则：
第（2）问，最后的答案写成“不等式的解集为”，不扣分.
22. 解：（1）由，得，因为，所以的定义域，
因为，所以，所以是“倒函数”；
（2）①设，且，则，
因为在上单调递增，，
所以，则，
由，得，
所以，所以在和单调递增.
又定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，所以在上单调递增.
②由题意得，因为在上单调递增，所以在上的值域为，
令.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当或2时，，所以在上的值域为，则，
因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以，，
故在上的值域为.
评分细则：
第（2）问①中，只写“在上单调递增”，未用定义证明，给1分.