江西省宜春市宜丰县2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

丰县2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试卷
一、单选题（40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．120 B．60 C．160 D．80
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，双曲线：与双曲线：的离心率分别为，，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
5．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线C：的左 右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体中，截面是正方形，则下列说法中错误的为（ ）
A． B．截面
C． D．异面直线与所成的角为45°
8．已知函数是定义在上的奇函数，
当时，，则下列结论中正确的个数是（ ）
①当时，
②函数有3个零点
③的解集为
④，都有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题（20分）
9．已知直线，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
10．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B．图中的值为0.020
C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7
D．估计全校学生成绩的80%分位数为95
11．已知是偶函数，将函数图像上所有点向右平移个单位得到函数的图像，则（ ）
A．在的值域为 B．的图像关于直线对称
C．在有5个零点 D．的图像关于点对称
12．过抛物线C：（）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（ ）
A．△AMB是直角三角形 B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线
C．MF是△AMB的高线 D．△AMB面积的最小值为
三、填空题（20分）
13．在的二项展开式中，的系数为 .
14．写出过点且与圆相切的直线方程 .
15．过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为
.
16．今年是我校建校100周年，也是同学们在宜丰中学的最后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏于宜丰中学的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：
在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数的图象中，过点与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数的个数，这就是打开盒子的密码： . 朱毛组合
四、解答题（70分）
17．的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
18．已知数列的前n项和．
(1)求；
(2)令，若对于任意，数列的前n项和恒成立，求实数m的取值范围．
19．如图，四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，且平面平面ABCD，.
(1)求证：；
(2)与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
20．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.
月份t 1 2 3 4
订单数量y（万件） 5.2 5.3 5.7 5.8
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
附：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，.
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为．解不等式．
22．已知椭圆的离心率为，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，当l垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)若点M满足，过点M作AB的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记，（O为坐标原点）的面积分别为，，求的取值范围．
高三期中考试数学参考答案：
1．D 2．A 3．A 4．B 5．D
6．B 【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设,，则,，又由双曲线易得双曲线的渐近线为，如图，联立，解得或，，，又，轴，由得，，，即，，．
7．A解：因为截面是正方形 ，所以，又平面，所以平面，又平面,平面平面，截面，故B正确；同理可证因为，所以，故C正确，又，所以异面直线与所成的角为，故D正确和 不一定相等，故A错误；故选：A.
8．C【详解】①错误， ②正确，③正确，对于④，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，且当时，，当时，，所以当时，由，得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最大值，当时，，当时，，所以，所以的值域为，所以，都有，所以④正确，
9．BCD 10．ACD 11．BD
12．ABC【详解】设，，，，由可得：，，由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为，设直线，联立，化为，得到，．
对于A，，，所以△AMB是直角三角形，故A正确；对于B，由导数的几何意义可得处的切线方程为：，则，化简可得：，所以直线的方程为：，同理可得：直线的方程为：，所以，则，因为，解得：，所以，所以，因为抛物线C：的准线为，所以顶点M的轨迹是抛物线C的准线，且取的中点，连接，平行轴，故B正确；
对于C，，，所以所以MF是△AMB的高线，故C正确；对于D，因为平行轴，
因为，．
所以，，
代入可得：，当时，，故D不正确.
13．-80 14．或 15．
16．31【详解】由题意可得：，且，设切点坐标为，斜率，则切线方程，
因为切线过点，则，
整理得，构建，
原题意等价于与有三个不同的交点，因为，
令，解得；令，解得或；则在上单调递增，在，上单调递减，且，若与有三个不同的交点，则，所以整数的个数为31.答案为：31.
17．1）因为，所以由正弦定理可得．
又，所以．
因为，所以．又，所以，．
（2）的面积，则．由余弦定理：，得，所以，故的周长为．
18．解】（1）当时，，而，不满足上式，所以.
（2）由（1）知，，当时，，
当时，
，而，又恒成立，则，
所以实数m的取值范围为.
19．证明：取AB的中点，连接，则由题意知为正三角形，所以，
由等腰梯形知，设，则，，
故，即得，所以，
因为平面平面，，平面平面，平面PAD，所以平面，又平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以.
（2）由（1）得，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，因为平面，所以平面所成的角为，
设，则，，则，，，，
则，，，设平面PAB的法向量为，
则，即 ，取，则，设平面PBC的法向量为，则，即，取，则，所以，所以二面角余弦值为.
20．1），，，
，，，订单数量y与月份t的线性相关性较强；
（2），线性回归方程为，令，则（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.
21．解】（1）定义域：，
1° 时，令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；2° 时
①当时，即时，令，解得或；令，解得；
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增；②当时，即时，恒成立，所以在上单调递增；③当时，即时，令，解得或；令，解得；所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增；当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增．
（2）由（1）知：且，且
即：解不等式；（且）等价于解不等式：
令，，所以在单调递增，
且，所以，即不等式的解集为．
22．（1）设，当时，，，，依题意得，又，，解得，，所以C的方程为.
（2）由（1）知，，由题意可知，直线的斜率存在且不为，
设直线：，，，因为，所以为的中点，
联立，消去并整理得，恒成立，
，，所以，
所以，则直线的方程为，
令，得，即，令，得，即，
则，，由题意得与相似，所以，
所以，所以，
设，因为，所以，令，，，
所以为上的增函数，所以，
所以的取值范围是..
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