广东省肇庆市封开县广信中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

广信中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分．（测试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上对应的答题区域
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
2．已知椭圆的焦距等于2，则实数的值为（ ）
A．8 B．3或5 C．或 D．或
3．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
4．在平行六面体中，若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列直线方程，满足“与直线平行，且与圆相切”的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
7．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆与圆相交于两点，则圆上的动点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在轴上的截距是2
B．直线经过第一、二、三象限
C．过点，且倾斜角为的直线方程为
D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
10．已知空间中三点，则（ ）
A．与是共线向量
B．与向量方向相同的单位向量坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．在上的投影向量的模为
11．如图，在边长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为中点时，直线平面
B．当为中点时，直线与所成的角为
C．若是棱上的动点，且，则平面平面
D．当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为
12．已知圆，则下列四个命题中正确的命题有（ ）
A．若圆与轴相切，则
B．圆的圆心到原点的距离的最小值为
C．若直线平分圆的周长，则
D．圆与圆可能外切
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点到直线的距离为2，则______．
14．如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则______．
15．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为______．
16．如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度为6米，拱高（圆拱最高点到水面的距离）为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到______米．
四、解答题：本大共6小题，共70分，第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）根据下列条件，求直线的一般方程：
（1）过点且与直线平行；
（2）过点，且在两坐标轴上的截距之和为．
18．（12分）已知圆过两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）试判断直线与圆是否相交；如果相交，求直线被圆截得的弦长．
19．（12分）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
20．（12分）
（1）求满足焦点坐标分别为，经过点的椭圆方程．
（2）直线经过定点，点在直线上，且，当直线绕着点转动时，求点的轨迹方程；
21．（12分）已知直线和圆．
（1）求证：直线恒过一定点；
（2）试求当为何值时，直线被圆所截得的弦长最短；
22．（12分）在如图所示的多面体中，平面平面，且是的中点．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
广信中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．D【详解】 若，则或；另一方面，若，则．因此，“”是“”的必要不充分条件．故选：D．
2．B【详解】 若椭圆的焦点在轴上，则，则，解得；若椭圆的焦点在轴上，则，则，解得．综上所述，或5．故选：B
3．A【详解】 由，得，所以圆的圆心，半径，由，得，所以圆的圆心，半径，所以，所以两圆内切，故选：A
4．D【详解】 在平行六面体中，，如图，则有，而，且不共面，
于是得，即，则的值等于
5．A【详解】 的斜率为所求直线的斜率为1，排除B和C；
由圆变形为圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离与圆相切，选项A正确；
圆心到的距离直线与圆相离，选项D错误，故选：A．
6．C【解析】 如图所示：过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
直线的斜率或直线斜率的取值范围：，故选：C．
7．B【解析】： 设点关于直线的对称点，的中点为故解得，
要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选B
8．A【解析】 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，即圆与相交，直线方程为：，圆的圆心，半径，点到直线距离的距离，
所以圆上的动点到直线距离的最大值为．故选：A
9．BC【详解】 对于A：令时，，故在轴上的截距是2，A错．
对于B：直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对．对于C：过点，倾斜角为的直线方程为，故C对．对于D：当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代入直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代入直线得，直线方程为：，故D错．
10．BD【详解】 由已知，，因此与不共线，A错；
，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，B正确；C错；在上的投影是，所以投影向量的模为，D正确
11．ACD【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
当为中点时，，
所以，
设平面的一个法向量为，则，即，令，则可得，因为，所以，
因为平面，所以平面，故A正确；
因为，所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；
若，则，又，则，设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
因为，所以平面平面，故C正确；
因为，易得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确．
12．BD【详解】 圆的圆心坐标为：，半径为．
若圆与轴相切，则，解得，所以A为假命题．
因为，所以，所以B为真命题．
若直线平分圆的周长，则，即，所以为假命题．
若圆与圆外切，则，
设函数，因为，
所以在内必有零点，
则方程有解，所以D为真命题．故选：BD
13．或30【详解】 由点到直线的距离公式得，得或．
14．【详解】 平行六面体中，，
15．【答案】 或4【解析】 ，
解得或．故答案为：或．
16．8【详解】 画出圆拱图示意图，设圆半径为，雨季时水位方程，解得；
旱季时水位方程，解得，所以此时水面跨度为．所以答案为8．
17．【详解】 解析（1）设直线方程为，则，所求直线方程为．
（2）设直线方程为，由已知得解得或，
所求直线方程为或，即或．
18．解：（Ⅰ）设圆的方程为：，
根据题意得，故所求圆的方程为：．
（Ⅱ）圆心到直线的距离，故直线与圆相交，
由弦长公式可得直线被圆截得的弦长为．
19．【解析】
（1）证明：因为平面平面所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为面是边长为2的正方形，，且为的中点，所以，，所以，因为平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；
（2）解：因为，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，所以平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；
20．【解答】 解：（1）设椭圆的标准方程为，依题可得，将代入到方程中得，故，所以椭圆的标准方程为．
（2）设，因为，
所以，
即，所以点的轨迹方程为：；
21．【详解】 （1）由直线，得，
联立解得直线恒过一定点．
（2）要使直线被圆所截得的弦长最短，则，
化圆为，可得，
则，解得．
22．【详解】 （1）是的中点，．
又平面，
平面，又平面，．
（2）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，
则，在棱上存在一点，
设且，
若直线与平面所成的角为，则
解得：，所以符合条件的点存在，为棱的中点．