广东省广州南方学院番禺附属中学2023-2024学年高二上学期期中教学质量监测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省广州南方学院番禺附属中学2023-2024学年高二上学期期中教学质量监测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 555.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-14 13:12:02 | ||
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文档简介
广州南方学院番禺附属中学2023-2024学年高二上学期期中教学质量监测
数学 试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题22小题，共4页，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．已知集合，，且，则m等于（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．或0
2．已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则（ ）
A． B． C． D．
3．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆：，与圆：，则这两圆的圆心距为（ ）
A．5 B．25 C．10 D．
7．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上皆有可能
8．设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知不是直角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则m的取值可能为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若是平面的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则的充要条件是
B．已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD的长为
12．已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心C的坐标为
B．点Q在圆C外
C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为。
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．若向量，，则______．
14．若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为：______．
15．已知直线l经过点，且和圆O：相交于A，B两点，弦AB的长为，则直线l的方程是______．
16．已知点，，直线与线段AB相交，则m的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题10分）求经过直线：，：的交点M．且满足下列条件的直线方程：
（Ⅰ）经过点：
（Ⅱ）与直线平行；
（Ⅲ）与直线垂直．
18．（本小题12分）如图1，在平行六面体中，，，，，，M为的中点．设，，．
（Ⅰ）用基底表示向量；
（Ⅱ）求向量的长度．
19．（本小题12分）已知中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的面积．
20．（本小题12分）如图2，在三棱柱中，底面ABC，，D是的中点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线BC与平面所成角的正弦值．
21．（本小题12分）
已知圆C：，直线l：．
（Ⅰ）试确定圆C的圆心和半径；
（Ⅱ）求证：直线l恒过定点；
（Ⅲ）直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求得截得的弦长最短时m的值以及最短弦长．
22．（本小题12分）如图，在四棱锥中，，，O是DC的中点，平面ABCD，，，．
（Ⅰ）求点B到平面PAC的距离；
（Ⅱ）在线段OP上是否存在一点E，使二面角的余弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
广州南方学院番禺附属中学2023-2024学年高二上学期期中教学质量监测
数学答案
一、选择题：
1-5：CBADC 6-8：ABB
9．ACD 10．BCD 11．BCD 12．ABD
二、填空题：
13．； 14．（写成一般式也可以）
15．或； 16．
三、解答题：
17．解：（1）由，求得，
可得直线：，：的交点．
∵直线还经过点，故它的方程为，即．
（2）根据所求直线与直线平行，可设它的方程为，
再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为．
（3）根据所求直线与直线垂直，可设它的方程为，
再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为
18．解：（1）由题意可得
，故．
（2）由条件得，，，，，．
，
故
19．解：（1）解法一：．
由正弦定理，得，
所以，
∵，∴，
则
因为，所以，
因为，所以
解法二：因为．
所以由余弦定理得，
化简得
所以
因为，所以
（2）由余弦定理
及，，，得
即，所以．
所以的面积
20．解：（1）证明：连接，设，连接DE，
由为三棱柱，得．
又∵D是的中点，∴．
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：∵底面ABC，，
∴CA，CB，两两互相垂直，
故分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则，，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
由，取，得；
设直线BC与平面所成角为．
则．
∴直线BC与平面所成角的正弦值为．
21．（1）圆C的标准方程是C：
圆心，半径r为5；
（2）直线l的方程，
整理得，
该方程对于任意实数m成立，于是有，解得，
所以直线l恒过定点
（3）因为直线l恒过圆C内的定点，所以当直线经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短
由，，可知，
所以当直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的斜率为2，
于是有，解得．
此时直线l的方程为，
即．又，所以，最短弦长为．
22．（1）解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，且，PC，平面PCD，所以平面PCD，
则以D为原点，以AD，DC为x，y轴建立空间直角坐标系；
则，，，，
所以，，，设平面PAC的一个法向量为：，
则，即，令，得，
所以点B到平面PAC的距离为，
（2）设，则，
设平面AEC的一个法向量为，则，
即，令，则，
则，，，
所以，
即，解得或（舍去）
所以存在点E，是OP的中点．
数学 试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题22小题，共4页，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．已知集合，，且，则m等于（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．或0
2．已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则（ ）
A． B． C． D．
3．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆：，与圆：，则这两圆的圆心距为（ ）
A．5 B．25 C．10 D．
7．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上皆有可能
8．设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知不是直角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则m的取值可能为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若是平面的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则的充要条件是
B．已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD的长为
12．已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心C的坐标为
B．点Q在圆C外
C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为。
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．若向量，，则______．
14．若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为：______．
15．已知直线l经过点，且和圆O：相交于A，B两点，弦AB的长为，则直线l的方程是______．
16．已知点，，直线与线段AB相交，则m的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题10分）求经过直线：，：的交点M．且满足下列条件的直线方程：
（Ⅰ）经过点：
（Ⅱ）与直线平行；
（Ⅲ）与直线垂直．
18．（本小题12分）如图1，在平行六面体中，，，，，，M为的中点．设，，．
（Ⅰ）用基底表示向量；
（Ⅱ）求向量的长度．
19．（本小题12分）已知中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的面积．
20．（本小题12分）如图2，在三棱柱中，底面ABC，，D是的中点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线BC与平面所成角的正弦值．
21．（本小题12分）
已知圆C：，直线l：．
（Ⅰ）试确定圆C的圆心和半径；
（Ⅱ）求证：直线l恒过定点；
（Ⅲ）直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求得截得的弦长最短时m的值以及最短弦长．
22．（本小题12分）如图，在四棱锥中，，，O是DC的中点，平面ABCD，，，．
（Ⅰ）求点B到平面PAC的距离；
（Ⅱ）在线段OP上是否存在一点E，使二面角的余弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
广州南方学院番禺附属中学2023-2024学年高二上学期期中教学质量监测
数学答案
一、选择题：
1-5：CBADC 6-8：ABB
9．ACD 10．BCD 11．BCD 12．ABD
二、填空题：
13．； 14．（写成一般式也可以）
15．或； 16．
三、解答题：
17．解：（1）由，求得，
可得直线：，：的交点．
∵直线还经过点，故它的方程为，即．
（2）根据所求直线与直线平行，可设它的方程为，
再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为．
（3）根据所求直线与直线垂直，可设它的方程为，
再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为
18．解：（1）由题意可得
，故．
（2）由条件得，，，，，．
，
故
19．解：（1）解法一：．
由正弦定理，得，
所以，
∵，∴，
则
因为，所以，
因为，所以
解法二：因为．
所以由余弦定理得，
化简得
所以
因为，所以
（2）由余弦定理
及，，，得
即，所以．
所以的面积
20．解：（1）证明：连接，设，连接DE，
由为三棱柱，得．
又∵D是的中点，∴．
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：∵底面ABC，，
∴CA，CB，两两互相垂直，
故分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则，，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
由，取，得；
设直线BC与平面所成角为．
则．
∴直线BC与平面所成角的正弦值为．
21．（1）圆C的标准方程是C：
圆心，半径r为5；
（2）直线l的方程，
整理得，
该方程对于任意实数m成立，于是有，解得，
所以直线l恒过定点
（3）因为直线l恒过圆C内的定点，所以当直线经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短
由，，可知，
所以当直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的斜率为2，
于是有，解得．
此时直线l的方程为，
即．又，所以，最短弦长为．
22．（1）解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，且，PC，平面PCD，所以平面PCD，
则以D为原点，以AD，DC为x，y轴建立空间直角坐标系；
则，，，，
所以，，，设平面PAC的一个法向量为：，
则，即，令，得，
所以点B到平面PAC的距离为，
（2）设，则，
设平面AEC的一个法向量为，则，
即，令，则，
则，，，
所以，
即，解得或（舍去）
所以存在点E，是OP的中点．
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