河北省高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题（含答案）

崇德实验中学2023-2024学年高一上学期11月月考
数学试题
说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．过两点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与直线相互垂直，则实数的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．已知直线与平行，则（ ）
A．0或1 B．1或2 C．0 D．1
4．在数列中，，则数列是（ ）
A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公差为2的等差数列 D．不是等差数列
5．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
6．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是等差数列，，则等于（ ）
A．48 B．40 C．60 D．72
8．．已知为椭圆的右焦点，点为内一点，若在上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
10．已知双曲线，它的焦点为，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚轴长为4 B．的渐近线方程为
C．上的任意点都满足 D．的一个顶点与抛物线的焦点重合
11．数列满是，则（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最大项为
C．数列的最小项为 D．数列的最小项为
12．已知为双曲线的焦点，为双曲线的中心，分别为的中点，为双曲线上一点，且，则该双曲线的离心率可能是（ ）
A． B． C．2 D．3
第П卷（本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．过点，且与直线垂直的直线方程为______．
14．在抛物线上有一点，它到焦点的距离是20，则点坐标是______．
15．已知点为轴上的动点，则的最小值为______．
16．已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______．
四、解答题（本题共有六道小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分10分）
已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，．
（1）求双曲线的标准方程
（2）写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程．
18．（本题满分12分）
（1）已知直线与直线平行且两者间的距离为2，求直线的方程．
（2）求经过两直线和的交点且与直线垂直的直线方程．
19．（本题满分12分）
已知直线经过点，圆．
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
20．（本题满分12分）
根据下列条件，求抛物线的标准方程：
（1）准线方程为；
（2）焦点在轴上且其到准线的距离为6；
（3）对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；
（4）对称轴是轴，经过点．
21．（本题满分12分）
已知数列中，．
（1）求的值，并猜想数列的通项公式；
（2）证明数列是等差数列．
22．（本题满分12分）
设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于两点，点为椭圆上的一点，求的面积取最大值时的直线方程．
崇德实验中学2023-2024学年高一上学期11月月考
数学试题参考答案
1．A（本题考查了根据两点求直线方程）
【详解】 根据直线方程的两点式
将两点代入可得：整理可得：
过两点的直线方程为：故选：A．
2．A（考查两直线垂直的充要条件）
【详解】 因为直线与直线相互垂直，所以，解得．故答案为：A．
3．A（考查两直线平行的充要条件）
【详解】 由题意知：，解得或，经检验或时均符合题意，故选：A．
4．B（考查等差数列的定义）
【详解】 由得：，即，
又数列是以2为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确．
故选：B．
5．D（考查圆的方程的应用）
【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则，设圆的方程为：，代入A，则有，故圆的方程为：，令，则，故，故选：D．
6．C（考查共渐近线的双曲线方程的求法）
【详解】 设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程故选：C．
7．B（考查等差数列的性质）
【详解】 根据等差数列性质计算可得，解得；
所以可得，故选：B
8．D【详解】 依题意，，设的左焦点为，则，
因为，且，则，即，于是，解得，而，点为椭圆内一点，即有，整理得，又，解得，所以的取值范围是．故选：D
9．BC（考查直线斜率与位置关系的相关知识）
【详解】 对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误；
对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B正确；
对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确；
对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误；故选：BC
10．BD（综合考查双曲线与抛物线的知识）
【解析】 根据双曲线的方程及焦点坐标，求出后，再逐项判断．
【详解】 因为双曲线，的焦点为，所以
A．的虚轴长为8，故错误；B．的渐近线方程为，故正确；
C．上的任意点都满足，故错误；
D．的右顶点与抛物线的焦点重合，故正确；故选：BD
11．BD（考查数列的单调性）
【详解】 因为，所以
由，得到，且易知，时，，当时，，所以
所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD．
12．BCD（主要考查向量的数量积、双曲线的性质、离心率的求法）
【详解】 为双曲线的焦点，不妨设，分别为的中点，所以，
设，所以由可得：，则，即，
又因为为双曲线上一点，所以，
则，
解得：，因为，
所以，所以，
结合，解得：．故选：BCD
13．（考查直线垂直，直线垂直表示两直线斜率之积为）
【详解】 直线的斜率等于，所以与之垂直直线斜率，再通过点斜式直线方程：，即．
14．（考查抛物线定义）
【详解】 抛物线的准线为到焦点的距离等于到准线的距离，即，则．所以点坐标为．
故答案为：
15．（考查了点的对称性质、两点之间的距离公式）
【详解】 点关于轴的对称点．则的最小值为．故答案为．
16．（主要考察直线与圆相切，椭圆定义、离心率）
【分析】 如图，左焦点为，由几何性质得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及椭圆定义建立齐次式，从而求得离心率．
【详解】 如图所示，左焦点为，设圆的圆心为，切圆于，则半径，则，
，化简得椭圆的离心率为．
故答案为：．
17．（考査双曲线的标准方程及其相关概念）
【详解】 （1）由题意可得：，则，
且焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为．
（2）由（1）可知：该双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为、离心率为、渐近线方程为．
18．（1）或；（2）．
（考查两平行线的距离公式，两直线的交点的求法、直线的方程）
【详解】 解：（1）因为直线与直线平行，所以其方程为且，因为直线与直线间的距离为2，所以，
解得或，所以直线的方程为或．
（2）由题意，解方程组，解得，
所以两直线的交点坐标为，
又直线斜率为，所求的直线与直线垂直，
所以所求直线的斜率为，所求直线的方程为，
整理得到，即所求直线方程为．
19．（1）或
（2）或
【分析】 （1）根据直线与圆相切，进行求解；
（2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可．
【详解】 （1）由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2．
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线为：，即，
则圆的圆心到直线的距离，解得，
故直线的方程为．综上，直线的方程为或．
（2）因为直线被圆所截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为．由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，
即，则圆心到直线的距离，解得或．
故直线的方程为或．
20．（考查抛物线方程的求法）
【详解】 （1）解：因为抛物线的准线方程为，所以，
所以抛物线的方程是。
（2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，所以，
所以抛物线的方程是或。
（3）因为对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2所以，所以抛物线的方程是
或。
（4）因为对称轴是轴，设抛物线方程为，因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程是。
21．（1）；
（2）证明见解析．
（考查数列项的求法，用倒数法求数列的通项公式）
【详解】 （1）在数列中，，令，得；令，得；令，得；所以，猜想数列的通项公式为．
（2）由，得，即，所以数列是以为首项，为公差的是等差数列．
22．（1） （2）或．
（考查双曲线、椭圆的离心率，弦长公式，三角形面积公式和基本不等式）
【详解】 （1）易知双曲线的离心率为，
所以在椭圆中，，得，所以，所以椭圆的方程为．
（2）不妨设，
联立方程组得，
由得，
由韦达定理知，
所以，
将代入椭圆方程得，，解得，
又到直线的距离为，
所以
当且仅当，即时取等号．
所以的面积取最大值时的直线方程为或．