第4节 力的合成和分解
第1课时 力的合成和分解
学习任务 1．知道合力和分力的概念，知道平行四边形定则的内容。 2．能区别矢量和标量。 3．知道力的合成和分解的方法，会用作图法和计算法进行力的合成与分解。
合力和分力
1．共点力
几个力如果都作用在物体的____________，或者它们的作用线____________，这几个力叫作共点力。如图所示：
2．合力与分力
假设一个力单独作用的____________跟某几个力共同作用的____________相同，这个力就叫作那几个力的____________，这几个力叫作那个力的____________。
3．合力与分力的关系
合力与分力之间是一种____________的关系，合力作用的____________与分力____________相同。
如图所示，一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，用力为F；两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2。
问题1 一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，则成年人对水桶向上的拉力是多少？
问题2 当两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2 ，此时两小孩对水桶的拉力是多少呢？
问题3 该成年人用的力与两个孩子的力作用效果是否相同？二者能否等效替代？
问题4 F与F1、F2是什么关系？
1．合力与分力的性质
2．合力与分力的大小关系
(1)合力大小可以大于、等于或小于分力的大小，如图甲所示。
(2)两个分力大小一定时，夹角越大合力越小，如图乙所示。
(3)合力一定，若两分力大小相等，则两等大分力的夹角越大，分力越大，如图丙所示。
【典例1】 (多选)下列关于合力与分力的说法正确的是( )
A．合力与分力同时作用在物体上
B．分力同时作用于物体时共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
C．合力可能大于分力，也可能小于分力
D．当两分力大小不变时，增大两分力间的夹角，则合力一定减小
[思路点拨] 解答本题时需要把握以下两点：
(1)合力与分力作用效果相同，但不同时作用在物体上。
(2)合力与分力遵循平行四边形定则。
[听课记录]
关于合力、分力的两个注意事项
(1)在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体。
(2)合力为各分力的矢量和，合力不一定比分力大。它可能比分力大，也可能比分力小，还有可能和分力大小相等。
[跟进训练]
1．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，两个力的合力为F，下列说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力中的任何一个力都大
C．如果夹角不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．合力F可能比分力中的任何一个力都小
求合力的方法
1．力的合成：求____________的过程。
2．平行四边形定则：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为____________作平行四边形，这两个邻边之间的____________就代表合力的大小和方向，如图所示，____________表示F1与F2的合力。
3．多个力的合成方法
先求出任意____________的合力，再求出这个合力跟____________的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，港珠澳大桥全长55 km，其主体工程由6.7 km的海底沉管隧道、长达22.9 km的桥梁、逾2×105 m2的东、西人工岛组成，即“桥—岛—隧”一体。桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N。
问题1 这对钢索对塔柱形成的合力大小能直接相加吗？为什么？
问题2 两条钢索对塔柱形成的合力如何计算？方向如何确定？
1．作图法
(1)基本思路
(2)如图所示：用作图法求F1、F2的合力F。
2．计算法
(1)两分力共线时：
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向。
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大者同向。
(2)两分力不共线时：根据平行四边形定则结合解三角形的知识求合力。如以下常见的三种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力大小相等，夹角为θ (1)大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为 (2)当θ＝120°时，F1＝F2＝F
合力与其中一个分力垂直 大小：F＝ 方向：sin θ＝
3．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合力范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
【典例2】 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示每根钢索中的拉力是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力大小为多少？方向如何？
[思路点拨] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，它们之间的对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[听课记录]
两种方法的比较
“作图法”和“计算法”各有优缺点，“作图法”便于理解矢量的概念，形象直观，但不够精确，会出现误差；“计算法”是先根据平行四边形定则作出力的合成的示意图，再利用数学知识求出合力，解题时，可通过作辅助线、特殊角求解或巧妙分组得到一些特殊情况下的力的合成，会使解答更简捷。
[跟进训练]
2．三个力F1＝5 N、F2＝8 N、F3＝10 N作用在同一个质点上，其合力大小范围正确的是( )
A．0≤F≤23 N B．3 N≤F≤23 N
C．7 N≤F≤23 N D．13 N≤F≤23 N
3．物体受到两个力F1和F2，F1＝30 N，方向水平向左；F2＝40 N，方向竖直向下，求这两个力的合力F。
力的分解 矢量和标量
1．力的分解：求____________的过程。
2．力的分解
(1)力的分解也遵从____________。
(2)如果没有限制，同一个力可以分解为____________对大小、方向不同的分力。如图所示。
(3)一个已知力的分解要根据____________来确定。
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从____________的物理量。
(2)标量：只有大小，没有方向，相加时遵从____________的物理量。
提醒：矢量和标量的根本区别在于它们的运算法则不同，而不是有无方向。
如图甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板做斜面。将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上(如图乙)，观察塑料垫板和橡皮筋的形变。
问题1 小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？
问题2 如果没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？
问题3 请沿斜面方向和垂直于斜面方向将重力分解。
1．根据力的作用效果分解力的基本思路
2．正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，其中x轴和y轴的选择应使尽量多的力处在坐标轴上。
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即Fx＝F1x＋F2x＋F3x；Fy＝F1y＋F2y＋F3y。
(4)求共点力的合力：合力大小F＝ ，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝。
角度1 力的效果分解
【典例3】 如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ 角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。
[听课记录]
角度2 力的正交分解
【典例4】 如图所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力FN＝64 N，摩擦力Ff＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[听课记录]
正交分解的优点
(1)正交分解法是一种按解题需要把力按照选定的正交坐标轴进行分解的一种方法，它可以将矢量转化为标量进行计算，尤其适用于物体受三个或三个以上共点力作用的情况，实际上它是利用平行四边形定则的一种特殊方法。
(2)利用正交分解法很容易把合力与分力放到一个直角三角形中，便于通过分析直角三角形的边角关系计算合力或分力的大小。
[跟进训练]
4．将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时( )
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
5．如图所示，光滑固定斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，小球所受重力均为G，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则球1对挡板的压力F1＝________，对斜面压力F2＝________；球2对挡板压力F3＝________，对斜面压力F4＝________。
1．下列关于合力和分力的说法，正确的是( )
A．合力总比任何一个分力都大
B．两个力的合力至少比其中的一个分力大
C．合力的方向只与两分力的夹角有关
D．合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间
2．两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1与F2的大小可能是( )
A．F1＝2 N，F2＝9 N B．F1＝4 N，F2＝8 N
C．F1＝1 N，F2＝8 N D．F1＝2 N，F2＝1 N
3．刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图所示是斧头劈木柴的情境。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力为( )
A．F B．F
C．F D．F
4．如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为( )
A．2－ B．
C． D．
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．如果两个力在同一条直线上，如何求它们的合力？
2．如何求不在同一直线上的几个力的合力？
答案：
[关键能力·情境探究达成]
知识点一
挖掘教材·梳理要点
1．同一点 相交于一点
2．效果 效果 合力 分力
3．等效替代 效果 作用的效果
创设情境·启发思考
问题1 提示：200 N。
问题2 提示：200 N。
问题3 提示：作用效果相同，能等效替代。
问题4 提示：F与F1、F2是合力与分力的关系，F是F1和F2的合力，F1和F2是F的两个分力。
互动探究·深化提升
典例1 BCD [合力与分力的作用效果相同，它们并不是同时作用在物体上，选项A错误，B正确；当两分力大小不变时，由平行四边形定则可知，分力间的夹角越大，合力越小，合力可能大于分力(如两分力间的夹角为锐角时)，也可能小于分力(如两分力间的夹角大于120°时)，选项C、D正确。]
跟进训练
1．AD [若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A正确；根据平行四边形定则可知，合力可能比分力大，可能比分力小，可能与分力相等，故B错误，D正确；如果夹角不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，也可能增加，故C错误。]
知识点二
挖掘教材·梳理要点
1．几个力的合力
2．邻边 对角线 F
3．两个力 第三个力
创设情境·启发思考
问题1 提示：不能，因为两条钢索的拉力不在同一方向上。
问题2 提示：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力，可用作图法或计算法求解。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
互动探究·深化提升
典例2 解析：方法一：作图法
如图甲所示，自O点引两条有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。
方法二：计算法
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB，OD＝OC。考虑直角三角形AOD，其∠AOD＝30°，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N。
答案：5.2×104 N 竖直向下
跟进训练
2．A [先确定F1、F2的合力范围：3 N≤F12≤13 N，当F12取10 N时，使其与F3反向，则三力合力最小为0，当F12取13 N时，使其与F3同向，则三力合力最大为23 N，故0≤F≤23 N，A正确。]
3．解析：解法一：图解法
取单位长度为10 N的力，则分别取3个单位长度，取4个单位长度自O点引两条互相垂直的有向线段OF1和OF2。以OF1和OF2为两个邻边作平行四边形，如图所示，则对角线OF就是所要求的合力F。量出对角线的长度为5个单位长度，则合力的大小F＝5×10 N＝50 N，用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°。
解法二：计算法
在解法一作的平行四边形中，△OF1F为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1的夹角θ，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，则F＝＝50 N，tan θ＝，θ为53 °。
答案：50 N 合力的方向与F1成53°角
知识点三
挖掘教材·梳理要点
1．一个力的分力
2．(1)平行四边形定则 (2)无数 (3)具体问题
3．(1)平行四边形定则 (2)算术法则
创设情境·启发思考
问题1 提示：斜面上小车重力产生了两个效果：一是使小车压紧斜面，二是使小车沿斜面下滑，拉伸橡皮筋。
问题2 提示：不会。
问题3 提示：重力的分解如图所示。
互动探究·深化提升
典例3 解析：小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。
小球对墙面的压力F1＝F1′＝mg tan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右；
小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向。
答案：见解析
典例4 解析：对四个共点力进行正交分解，如图所示。
则x方向的合力：Fx＝F cos 37°－Ff＝60×0.8 N－16 N＝32 N
y方向的合力：
Fy＝F sin 37°＋FN－G＝60×0.6 N＋64 N－100 N＝0
所以合力大小F合＝Fx＝32 N，方向水平向右。
物体与地面间的动摩擦因数μ＝＝0.25。
答案：32 N，方向水平向右 0.25
跟进训练
4．B [设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2min＝F sin 30°＝5 N。而5 N5．解析：球1所受的重力有两个作用效果。第一，使小球欲沿水平方向推开挡板；第二，使小球压紧斜面。因此，力的分解如图甲所示，由此得两个分力的大小分别为
F1＝G tan θ，F2＝。
球2所受重力G有两个作用效果。第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球压紧斜面。因此力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝G sin θ，F4＝G cos θ。
答案：G tan θ G sin θ G cos θ
[学习效果·随堂评估自测]
1．D [根据平行四边形定则知，合力可能比分力大，可能比分力小，也可能与分力相等，A、B错误；根据平行四边形定则知，合力的方向取决于两分力的大小和方向，C错误；合力的大小取值范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间，D正确。]
2．B [两力合成时，合力范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，A中合力为7 N≤F≤11 N，B中合力为4 N≤F≤12 N，C中的合力为7 N≤F≤9 N，D中的合力为1 N≤F≤3 N，故B正确。]
3．B [斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有 ，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误。]
4．C [当拉力水平时，物体匀速运动，则拉力等于摩擦力，即F＝μmg，当拉力斜向上时，对物体受力分析如图所示。由平衡条件得FN＝mg－F sin 60°，Ff＝F cos 60°，又Ff＝μFN，得摩擦力为Ff＝μ(mg－F sin 60°)＝F cos 60°，联立解得μ＝，故选C。]
课堂小结
1．提示：两个方向相同的力求合力，两个力的大小相加即为合力大小，方向沿着这两个力的方向；如果是两个方向相反的力求合力，则合力大小为较大的力减去较小的力，方向与较大的力相同。
2．提示：根据平行四边形定则，先两个力合成，然后再与第三个力合成，直到得出这几个力的合力。
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第三章 相互作用——力
第4节 力的合成和分解
第1课时 力的合成和分解
学习任务 1．知道合力和分力的概念，知道平行四边形定则的内容。
2．能区别矢量和标量。
3．知道力的合成和分解的方法，会用作图法和计算法进行力的合成与分解。
关键能力·情境探究达成
01
知识点一 合力和分力
知识点二 求合力的方法
知识点三 力的分解 矢量和标量
知识点一 合力和分力
1．共点力
几个力如果都作用在物体的______，或者它们的作用线__________，这几个力叫作共点力。如图所示：
同一点
相交于一点
2．合力与分力
假设一个力单独作用的____跟某几个力共同作用的____相同，这个力就叫作那几个力的____，这几个力叫作那个力的____。
3．合力与分力的关系
合力与分力之间是一种________的关系，合力作用的____与分力__________相同。
效果
效果
合力
分力
等效替代
效果
作用的效果
如图所示，一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，用力为F；两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2。
问题1 一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，则成年人对水桶向上的拉力是多少？
提示：200 N。
问题2 当两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2 ，此时两小孩对水桶的拉力是多少呢？
提示：200 N。
问题3 该成年人用的力与两个孩子的力作用效果是否相同？二者能否等效替代？
提示：作用效果相同，能等效替代。
问题4 F与F1、F2是什么关系？
提示：F与F1、F2是合力与分力的关系，F是F1和F2的合力，F1和F2是F的两个分力。
1．合力与分力的性质
2．合力与分力的大小关系
(1)合力大小可以大于、等于或小于分力的大小，如图甲所示。
(2)两个分力大小一定时，夹角越大合力越小，如图乙所示。
(3)合力一定，若两分力大小相等，则两等大分力的夹角越大，分力越大，如图丙所示。
【典例1】 (多选)下列关于合力与分力的说法正确的是( )
A．合力与分力同时作用在物体上
B．分力同时作用于物体时共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
C．合力可能大于分力，也可能小于分力
D．当两分力大小不变时，增大两分力间的夹角，则合力一定减小
[思路点拨] 解答本题时需要把握以下两点：
(1)合力与分力作用效果相同，但不同时作用在物体上。
(2)合力与分力遵循平行四边形定则。
BCD [合力与分力的作用效果相同，它们并不是同时作用在物体上，选项A错误，B正确；当两分力大小不变时，由平行四边形定则可知，分力间的夹角越大，合力越小，合力可能大于分力(如两分力间的夹角为锐角时)，也可能小于分力(如两分力间的夹角大于120°时)，选项C、D正确。]
易错警示 关于合力、分力的两个注意事项
(1)在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体。
(2)合力为各分力的矢量和，合力不一定比分力大。它可能比分力大，也可能比分力小，还有可能和分力大小相等。
[跟进训练]
1．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，两个力的合力为F，下列说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力中的任何一个力都大
C．如果夹角不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．合力F可能比分力中的任何一个力都小
AD [若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A正确；根据平行四边形定则可知，合力可能比分力大，可能比分力小，可能与分力相等，故B错误，D正确；如果夹角不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，也可能增加，故C错误。]
知识点二 求合力的方法
1．力的合成：求____________的过程。
2．平行四边形定则：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为____作平行四边形，这两个邻边之间的______就代表合力的大小和方向，如图所示，__表示F1与F2的合力。
3．多个力的合成方法
先求出任意______的合力，再求出这个合力跟________的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
几个力的合力
邻边
对角线
F
两个力
第三个力
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，港珠澳大桥全长55 km，其主体工程由6.7 km的海底沉管隧道、长达22.9 km的桥梁、逾2×105 m2的东、西人工岛组成，即“桥—岛—隧”一体。桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N。
问题1 这对钢索对塔柱形成的合力大小能直接相加吗？为什么？
提示：不能，因为两条钢索的拉力不在同一方向上。
问题2 两条钢索对塔柱形成的合力如何计算？方向如何确定？
提示：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力，可用作图法或计算法求解。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
1．作图法
(1)基本思路
(2)如图所示：用作图法求F1、F2的合力F。
2．计算法
(1)两分力共线时：
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向。
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大者同向。
(2)两分力不共线时：根据平行四边形定则结合解三角形的知识求合力。如以下常见的三种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力 相互垂直 大小：F＝
方向：tan θ＝
两分力大小相等，夹角为θ (1)大小：F＝2F1cos
方向：F与F1夹角为
(2)当θ＝120°时，F1＝F2＝F
合力与其中一个分力垂直 大小：F＝
方向：sin θ＝
3．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合力范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
【典例2】 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示每根钢索中的拉力是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力大小为多少？方向如何？
[思路点拨] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向
的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，
它们之间的对角线就表示它们的合力。由对称性
可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[解析] 方法一：作图法
如图甲所示，自O点引两条有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。
方法二：计算法
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB，OD＝OC。考虑直角三角形AOD，其∠AOD＝30°，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N。
[答案] 5.2×104 N 竖直向下
规律总结 两种方法的比较
“作图法”和“计算法”各有优缺点，“作图法”便于理解矢量的概念，形象直观，但不够精确，会出现误差；“计算法”是先根据平行四边形定则作出力的合成的示意图，再利用数学知识求出合力，解题时，可通过作辅助线、特殊角求解或巧妙分组得到一些特殊情况下的力的合成，会使解答更简捷。
[跟进训练]
2．三个力F1＝5 N、F2＝8 N、F3＝10 N作用在同一个质点上，其合力大小范围正确的是( )
A．0≤F≤23 N B．3 N≤F≤23 N
C．7 N≤F≤23 N D．13 N≤F≤23 N
A [先确定F1、F2的合力范围：3 N≤F12≤13 N，当F12取10 N时，使其与F3反向，则三力合力最小为0，当F12取13 N时，使其与F3同向，则三力合力最大为23 N，故0≤F≤23 N，A正确。]
3．物体受到两个力F1和F2，F1＝30 N，方向水平向左；F2＝40 N，方向竖直向下，求这两个力的合力F。
[解析] 解法一： 图解法
取单位长度为10 N的力，则分别取3个单位长度，取4个
单位长度自O点引两条互相垂直的有向线段OF1和OF2
。以OF1和OF2为两个邻边作平行四边形，如图所示，
则对角线OF就是所要求的合力F。量出对角线的长度
为5个单位长度，则合力的大小F＝5×10 N＝50 N，用
量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°。
解法二： 计算法
在解法一作的平行四边形中，△OF1F为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1的夹角θ，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，则F＝＝50 N，tan θ＝＝，θ为53 °。
[答案] 50 N 合力的方向与F1成53°角
知识点三 力的分解 矢量和标量
1．力的分解：求____________的过程。
2．力的分解
(1)力的分解也遵从______________。
(2)如果没有限制，同一个力可以分解为____对大小、方向不同的分力。如图所示。
(3)一个已知力的分解要根据________来确定。
一个力的分力
平行四边形定则
无数
具体问题
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从______________的物理量。
(2)标量：只有大小，没有方向，相加时遵从________的物理量。
提醒：矢量和标量的根本区别在于它们的运算法则不同，而不是有无方向。
平行四边形定则
算术法则
如图甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板做斜面。将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上(如图乙)，观察塑料垫板和橡皮筋的形变。
问题1 小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？
提示：斜面上小车重力产生了两个效果：一是使小车压紧斜面，二是使小车沿斜面下滑，拉伸橡皮筋。
问题2 如果没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？
提示：不会。
问题3 请沿斜面方向和垂直于斜面方向将重力分解。
提示：重力的分解如图所示。
1．根据力的作用效果分解力的基本思路
2．正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，其中x轴和y轴的选择应使尽量多的力处在坐标轴上。
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即Fx＝F1x＋F2x＋F3x；Fy＝F1y＋F2y＋F3y。
(4)求共点力的合力：合力大小F＝ ，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝。
角度1 力的效果分解
【典例3】 如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ 角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。
[解析] 小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。
小球对墙面的压力F1＝F1′＝mg tan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右；
小球对A点的压力F2＝F2′＝
＝200 N，方向沿OA方向。
[答案] 见解析
角度2 力的正交分解
【典例4】 如图所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力FN＝64 N，摩擦力Ff＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析] 对四个共点力进行正交分解，如图所示。
则x方向的合力：Fx＝F cos 37°－Ff
＝60×0.8 N－16 N＝32 N
y方向的合力：
Fy＝F sin 37°＋FN－G＝60×0.6 N＋64 N－100 N＝0
所以合力大小F合＝Fx＝32 N，方向水平向右。
物体与地面间的动摩擦因数μ＝＝＝0.25。
[答案] 32 N，方向水平向右 0.25
方法技巧 正交分解的优点
(1)正交分解法是一种按解题需要把力按照选定的正交坐标轴进行分解的一种方法，它可以将矢量转化为标量进行计算，尤其适用于物体受三个或三个以上共点力作用的情况，实际上它是利用平行四边形定则的一种特殊方法。
(2)利用正交分解法很容易把合力与分力放到一个直角三角形中，便于通过分析直角三角形的边角关系计算合力或分力的大小。
[跟进训练]
4．将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时( )
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
B [设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值
F2min＝F sin 30°＝5 N。而5 N构成如图所示的两种矢量三角形，故此时有两组解，B正
确。]
5．如图所示，光滑固定斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，小球所受重力均为G，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则球1对挡板的压力F1＝________，对斜面压力F2＝________；球2对挡板压力F3＝________，对斜面压力F4＝________。
[解析] 球1所受的重力有两个作用效果。第一，使小球欲沿水平方向推开挡板；第二，使小球压紧斜面。因此，力的分解如图甲所示，由此得两个分力的大小分别为
F1＝G tan θ，F2＝。
球2所受重力G有两个作用效果。第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球压紧斜面。因此力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝G sin θ，F4＝G cos θ。
[答案] G tan θ G sin θ G cos θ
学习效果·随堂评估自测
02
1．下列关于合力和分力的说法，正确的是( )
A．合力总比任何一个分力都大
B．两个力的合力至少比其中的一个分力大
C．合力的方向只与两分力的夹角有关
D．合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间
D [根据平行四边形定则知，合力可能比分力大，可能比分力小，也可能与分力相等，A、B错误；根据平行四边形定则知，合力的方向取决于两分力的大小和方向，C错误；合力的大小取值范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间，D正确。]
2．两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1与F2的大小可能是
( )
A．F1＝2 N，F2＝9 N B．F1＝4 N，F2＝8 N
C．F1＝1 N，F2＝8 N D．F1＝2 N，F2＝1 N
B [两力合成时，合力范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，A中合力为7 N≤F≤11 N，B中合力为4 N≤F≤12 N，C中的合力为7 N≤F≤9 N，D中的合力为1 N≤F≤3 N，故B正确。]
3．刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图所示是斧头劈木柴的情境。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力为( )
A．F B．F
C．F D．F
B [斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有 ＝＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误。]
4．如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为( )
A．2－ B．
C． D．
C [当拉力水平时，物体匀速运动，则拉力等于摩擦力，即F＝μmg，当拉力斜向上时，对物体受力分析如图所示。
由平衡条件得FN＝mg－F sin 60°，Ff＝F cos 60°，
又Ff＝μFN，得摩擦力为Ff＝μ(mg－F sin 60°)＝
F cos 60°，联立解得μ＝，故选C。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．如果两个力在同一条直线上，如何求它们的合力？
提示：两个方向相同的力求合力，两个力的大小相加即为合力大小，方向沿着这两个力的方向；如果是两个方向相反的力求合力，则合力大小为较大的力减去较小的力，方向与较大的力相同。
2．如何求不在同一直线上的几个力的合力？
提示：根据平行四边形定则，先两个力合成，然后再与第三个力合成，直到得出这几个力的合力。
