四川省成都市青羊区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

成都市青羊区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.空间向量，若，则实数（ ）
A.1 B.-2 C.0 D.2
2.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（ ）
A.1 B.9 C.10 D.16
4.在斜三棱柱的底面中，，且，则线段的长度是（ ）
A. B.3 C. D.4
5.在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆，圆分别是圆的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A.6 B.10 C.13 D.16
7.在Rt中，为的中点.将沿进行旋转，得到三棱锥，当二面角为时，的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体的边长为1，点关于平面对称的点为，矩形内（包括边界）的点满足，记直线与平面所成线面角为.当最大时，过直线做平面平行于直线，则此时平面截正方体所形成图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列选项正确的是（ ）
A.若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行
B.若直线与直线垂直，则
C.若直线与直线平行，则
D.若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
10.如图，在四棱锥中，是矩形，侧棱底面，且，分别为的中点，为线段上的动点，则（ ）
A.四面体每个面都是直角三角形
B.
C.当点异于点时，平面
D.直线和平面所成角的正切值为
11.点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A.圆的半径为3
B.既没有最大值，也没有最小值
C.的范围是
D.的最大值为72
12.已知圆，点.过点作圆的两条切线为切点，则下列说法正确的有（ ）
A.当时，不存在实数，使得线段的长度为整数
B.若是圆上任意一点，则的最小值为
C.当时，不存在点，使得的面积为1
D.当且时，若在圆上总是存在点，使得，则此时
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线与圆，则直线被圆所截得的弦长为__________.
14.在三棱锥中，在线段上，满足是平面内任意一点，，则实数__________.
15.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为__________.
16.如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.已知点.
（1）若，且，求的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
18.已知直线经过两点，.
（1）求直线和直线的一般式方程；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍，求直线的一般式方程.
19.如图所示，有一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为8米，在边上距离点4米的处放置一个行走仪，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，行走仪行走速度为，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么行走仪将被机器人捕获，称点叫捕获点.
（1）求在这个矩形场地内捕获点的轨迹方程；
（2）若为矩形场地边上的一点，若行走仪在线段上都能逃脱，问：点的位置应在何处？
20.如图，在四棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的平面角的正切值.
21.如图，菱形的边长为为的中点.将沿折起，使到达，连接，得到四棱锥.
（1）证明：；
（2）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22.已知圆和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程.
（2）点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程.
（3）设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由.
成都市青羊区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题答案
选填参考答案
1-8DDBAABCC
9.AC 10.BC 11.BC 12.ACD
13. 14. 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（1）答案：或
或
或
（2）答案：3
18.（1）答案：由题意可得：直线的一般式方程为
可设的方程为
的方程为
综上：
（2）联立交点坐标是
由题意知
（i）当直线在轴上的截距是在轴上的截距的4倍且为0时，即
此时的方程为
（ii）当直线在轴上的截距是在轴上的截距的4倍且不为0时
此时可设直线的方程为
可得，满足条件，此时的方程为
综上，的方程为或
19.【答案】（1）
（2）的横坐标范围为即可逃脱.
（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，则，
设捕获点，可得，即，
化简得，因为点需在矩形场地内，
所以，故所求轨迹方程为.
（2）当线段与（1）中圆相切时，则，
所以，所以，
若行走仪在线段上都能逃脱，点的横坐标取值范围是.
20.（1）连接交于点，由平面几何知识易知，
又平面平面是交线，平面，
平面，又平面，
，又平面，
平面
（2）如图，以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系，
，则
易知是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量
则，即，取
二面角的平面角为锐角
二面角的平面角的余弦值为
二面角的平面角的正切值为.
21.【详解】（1）由题意证明如下，
在菱形中，为的中点，，
，
在翻折过程中，恒有，
又平面，
平面，
而平面，
（2）由题意及（1）得，
为二面角的平面角，记其为，则，
以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
，
设平面的法向量，则，得
令，得，
则，
令，得
，
当且仅当时，等号成立
设直线与平面所成角为，
则
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为
22.（1）当斜率不存在时，显然与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为2，
，解得，则，整理得.
综上，切线方程为和.
（2）设点，点，点且点是线段的中点
，由题意，点是圆上任意一点
，即，符合题意
点运动的轨迹的方程为
（3）由题设，.若存在，由题意可不妨设的方程为，由题意分析可得为正数.
联立
……（i）
设.
由求根公式
，
.
由此可进一步推知：……（ii）
（ii）在（i）的限制下有解，故存在这样的直线
并且可以解得直线的斜率或