辽宁省部分高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（扫描版含答案）

2023—2024 学年上学期期中考试高二数学参考答案
一、单选：1--5．DCBAC 6--8. DDC
二、多选：9. AC 10．BC 11．ABD 12．BCD
6 16 6 3
0,2 2 3
三、填空： 13． 6 ； 14． x y 3x 0； 15．2 ； 16． 3 ，
注意：（16 题第一个空 2分，第二个空 3分）
四、解答题：
3 a 2 + 4 = r2
17.（1）设圆的方程为 x a 2 + y2 = r2，由题意得：
2 a 2
……2 分
+ 9 = r2
d = 0
解得： r2 = 13 …2分
所以圆的标准方程为x2 + y2 = 13 …5分
（2）联立 x + 2y + 3 = 0 x = 3与 x 2y + 3 = 0，解得： y = 0，所以交点为 3,0 ， … 7 分
则圆的半径为 3 + 2 2 + 0 1 2 = √2， ……9分
所以圆的标准方程为 x + 2 2 + y 1 2 = 2 ……10 分
3 3
18．（1）∵直线 3x 4y + 2 = 0 的斜率为 ， ∴直线 l 的斜率为 ， ……2分
4 4
3
依题意，直线 l 的方程为 y-3= (x-8) 即 3x-4y-12=0 ……4 分
4
3x 4y 12 = 0 Δ ≥ 0
（2）设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 y2 = 4x 得 3y2-16y-48=0, …6 分
y1y2 = 16
16y y 16
k1 k2 = 1 22 2 = =-1 ……8分y1 y2 y1y2
12
设点 O 到直线 AB 距离为 d,d= ,由 k1 k2=-1，所以 OA⊥ OB ……10 分
5
1 + 1 1 25故 = = ……12 分
0A 2 OB 2 d2 144
19.（1）∵ DE//AB,DE 平面 PAB, AB 平面 PAB，
DE //平面 PAB ……3分
∵ DE 平面 PDE，平面 PDE∩平面 PAB l，
∴ DE//l ………6分
（2）由图① DE⊥ AC，得 DE DA,DE DP ，又 DA⊥ DP，所以.以 D 为坐标原点，
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{#{QQABDYSUggCAAAAAAAhCQw0CCkEQkBCCCCoOwEAIIAABwQFABAA=}#}
DA,DE,DP的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
Dxyz ……8分
则 D 0,0,0 ,E 0,1,0 ,B 2,3,0 ,P 0,0,1 ，
PD = 0,0, 1 ,PE = 0,1, 1 ,PB = 2,3, 1 .
设平面 PBE的一个法向量为n = x,y,z .

n PB 2x 3y z 0

n PE y z 0则 ，
令 z 1，得 y 1, x 1，故n = 1,1,1 ……10 分
设PD与平面PEB所成角为 .
n PD 1,1,1 0,0, 1 1 3
∴ sinθ = cos n,PD = .
n PD
= = =
1× 1 + 1 + 1 1× 3 3
3
直线 PD与平面 PEB所成角的正弦值为 3 ……12 分
20.（1）连接 BD，B1D1，设正四棱台的上、下底面的中心分别为O10，
则O1,0 分别为B1D1，BD 的中点，
连接 OO1.因为 ABCD A1B1C1D1是正四棱台，
所以O1O⊥平面 ABCD，又 AC 平面 ABCD，所以O1O ⊥ AC …2 分
因为 ABCD 为正方形，所以 AC⊥ BD，
又 BD∩ OO1 = O,BD,OO1 平面 DBB1D1，所以 AC⊥平面 DBB1D1，……4分
（2）设 BC，AB 的中点分别为 F，G，连接 OF，OG，易知 OG，OF，OO1两两垂直，则以 O 为坐标
原点，分别以OG,OF, OO1的方向分别为 x轴， y轴， z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐
标系Dxyz ,由已知得 OO1=3
数学答案 第 2 页 共 5 页
{#{QQABDYSUggCAAAAAAAhCQw0CCkEQkBCCCCoOwEAIIAABwQFABAA=}#}
则 O 0,0,0 ，B 4,4,0 ，D1 2, 2,3 ，C 4,4,0 ，C1 2,2,3 ，B1 2,2,3 ，
所以BD1 = 6, 6,3 ，BC = 8,0,0 ，BB1 = 2, 2,3 ，CC1 = 2, 2,3 ……6
分
设平面 BCC1B1的法向量为 n = x1,y1,z1 ，
n BC = 8x1 = 0,
则 取z = 2，则y = 3，x = 0，所以n = 0,3,2 …8 分
n BB 1 1 11 = 2x1 2y1 + 3z1 = 0,
设平面α的法向量为m = x2,y2,z2 ，
m BD1 = 6x2 6y2 + 3z2 = 0,
则 取x2 = 1 则y2 = 2，z2 = 2，
m CC1 = 2x2 2y2 + 3z2 = 0,
所以m = 1, 2, 2 …10 分
设平面α与平面 BCC1B1的夹角为θ，
cos = cos n m = n m = 10 = 10 13则 θ ，……11 分
n m 13× 9 39
所以平面α与平面 BCC1B
221
1夹角的正弦值为 …12 分39
2 2
21（1）圆 C 与两圆C : x + 3 + y21 = 1，C2: x 3 + y2 = 1 中的一个内切，另一个外切，
则 CC2 CC1 = 2 < C2C1 = 2 3， ……3 分
所以 C 的轨迹是以C1 3,0 ,C2 3,0 为焦点，2 为实轴长的双曲线，
2a = 2,2c = 2 3,a = 1,c = 3,b = 2
2
其标准方程x2 y = 1 ……6分
2
y = 3 x + m
（2）设 B(x1,y1),C(x2,y2)
3
,直线 BC 方程：y=- x + m 联立 2
2 2x2 y2 = 2
2 2
得 x 12mx 4m 8 0
> 0
x1 + x2 = 12m ① ……8 分
x1x2 = 4m2 + 8 ②
y1 4 y2 4 3x1x2+ m+
1
2 x,+x2 6m+24k1 +k2= + = ……11 分 ③将①②代入③ 得 k1 +k2=0 …12 分
x1 3 x2 3 x1 3 x2 3
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{#{QQABDYSUggCAAAAAAAhCQw0CCkEQkBCCCCoOwEAIIAABwQFABAA=}#}
x2
22．（1）由已知得椭圆方程为： + y2 = 1
4
x2 + 4y2 = 4
设 P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线 PQ 方程为 x = ty + n(n≠± 2)，由 x = ty + n 消去 x并整理得：
(t2 + 4)y2 + 2tny + n2 4 = 0，Δ = 16(t2 + 4 n2) > 0
2
则y1 + y =
2tn
2 2 ,y
n 4
t +4 1
y2 = 2 ， ……2 分t +4
x2
x2 y2 1 1
因 P(x1,y1)在椭圆上，有 1 + y2
y y 1
1 = 1，直线 BP 斜率k
1 1 1 4
4 BP
，有k1kBP = = 2 = = ，x1+2 x1 2 x1 4 x21 4 4
k = 1则 1 = 2k2，即 8kBPk2 = 1， ………4分4kBP
而 8kBPk =
8y1y2 = 8y1y2 = 8y1y22 (x1 2)(x2 2) (ty 21+n 2)(ty2+n 2) t y1y2+t(n 2)(y1+y2)+(n 2)2
8(n2 4)
= t2+4 8(n+2) 2(n+2)
t2(n2 4) 2t2
= = = 1， ……6分
n(n 2)+(n 2)2 t
2(n+2) 2t2n+(n 2)(t2+4) n 2
t2+4 t2+4
解得 n = 2，此时Δ > 0，直线 PQ x = ty 2 2： 恒过点( ,0)，
3 3 3
所以直线 PQ 恒过定点( 2 ,0) ……7 分
3
y = 11 x + m2
(2) 设 AB 直线方程为 y= x + m 由{ 2 2
2 x2
，得x + 2mx + 2(m 1) = 0,
+ y2 = 1
4
设 A(x1,y1),B(x2,y2)，∴Δ > 0，即m2 < 2，
x 21 + x2 = 2m,x1x2 = 2(m 1)，
|m|
设直线 AB 的斜率为 k,点 O到直线 AB 的距离为 d = ，
1+k2
S = 1 |AB|d = 1∴ 1 + k2|x |m| |m| 21 x2| = (x1 + x2) 4x1x2 = 2 m2|m|， …9 分2 2 1+k2 2
x 2 x 2
又 1 + y 2
4 1
2 = 1, + y
4 2
2 = 1，
∴S1 + S =
π (x22 1 + y
2
1 + x
2 + y2) = π ( 3 x2 + 3 x22 2 + 2)4 4 4 1 4 2
= 3π [(x1 + x2)2 2x
π 5π
1x2] + = ， ………10 分16 2 4
2 2
∴S(S1 + S
5π
2) = 2 m2|m|
5π
≤ 2 m +m = 5π， …….11 分
4 4 2 4
当且仅当 2 m2 = |m|即 m =± 1 时等号成立，
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{#{QQABDYSUggCAAAAAAAhCQw0CCkEQkBCCCCoOwEAIIAABwQFABAA=}#}
∴S(S1 + S
5π
2)的最大值为 . ……12 分4
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{#{QQABDYSUggCAAAAAAAhCQw0CCkEQkBCCCCoOwEAIIAABwQFABAA=}#}2023-2024学年度上学期期中考试高二试题
数学
考试时间：120分钟
满分：150分
第1卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合要求）
1.已知向量a=(1,-3,-2),五=(3,2，-5)，则下列结论正确的是（)
A.al/b
B.aLB
c.a-i=(-2,-5,-3)
D.=4
2.已知点A(-4,3),B(3,9),若直线1：mx+y-m-2=0与线段AB相交，则m的取值范围是(~)
A.m22
.7
3.已知R,R为椭题二+片=1的两个焦点，P为椭圆上一点，3PF-5P,则△PFR
1612
的面积为()
身
B.6
C.8
D.210
4.设向量g，日2，g不共面，已知AB=-3g-8,+2兵，BC-8+g,-6%,
CD=46+2+8g,若A,C,D三点共线，则元=（)
A.0
B.1
.C.2
D.3
5.故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”
的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿，由于屋顶有四面斜坡，故又称四
阿顶.如图所示的五面体EF-ABCD的底面ABCD为一个矩形，AB=2EF=8,AD=6,
EF1IAB,棱EA=ED=FB=FC=5,M,N分别是AD,BC的中点.求直线BF与平面
EFCD所成角的正弦值()
2
A.
D.0
3
B.
c26
35
10
6.已知圆C的半径为2，圆心在直线1：y=x+5上.点A(-3,0),B(3,0).若圆C上存在点
P,使得PA,P历=0，则圆心C的横坐标a的取值范围为(
A.[-3,-2]
D.[-5,0]
高二数学
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7.已知直四较柱4CD-4CD,∠BAD=年，B=V2D,侧棱4=6，MN分
别是DD与4B的中点，点N在平面ABM上的射影是△ABM的重心G,则点N到平面ABM
的距离为()
A.2
B.
C.5
2
D.√6
已知、B分别为双曲线吾尔=(Q>06>0的左右焦点，双曲线上的点P到原点的
离为2b,
且sin4PP,F=2sin∠PFF,则该双曲线的离心率为()
A.6
B.7
C.v70
D.2
2
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分)
9.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，以顶点A为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的
夹角都是60°，P为AD与AD的交点，若AB=a,AD=万，A=,则下列正确的是(
)
A.(
B.AC=a+b-
(.
C.c
D.BD的长为23
10,已知方程。二，名-1表示的线为6则下列四个结论中正箱的是()
A.当2B.当t>6或t<2时，曲线C是双曲线
C.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t>6
D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则211,如图，长方体ABCD-4BGD中，A4=2,AB=AD=2W5,E是侧面A4DD的中心，F
是底面ABCD的中心，点M在线段AD上运动，则下面选项正确的是(')
A.四面体M-A,BC的体积为定值
B.点E到平面A8C的距离
2
C:异面直线EF与4C所成的角为3
D。存在点M,使得直线4M与平面4BC所成的角为牙
高二数学
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