重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的
1．（2023九上·沙坪坝开学考）下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：A是分式，符合题意；
B不是分式，不符合题意；
C不是分式，不符合题意；
D不是分式，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．（2023九上·沙坪坝开学考）2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将图形沿某一条轴折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．（2023九上·沙坪坝开学考）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
a+b=-4，ab=3
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=-4，ab=3，再化简代数式代入值即可求出答案.
4．（2023九上·沙坪坝开学考）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
B．顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形是矩形
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；菱形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，A正确，不符合题意；
B：顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形为菱形，B错误，符合题意；
C：有一个锐角相等的两个直角三角形相似，C正确，不符合题意；
D：对角线互相垂直的矩形是正方形，D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理，菱形的判定定理，直角三角形的判定定理，正方形的判定定理即可求出答案.
5．（2023九上·沙坪坝开学考）若ab＞0，则一次函数y＝ax+2与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若ab＞0
①a>0且b>0时，一次函数图象经过一，二，三象限，反比例函数图象经过一，三象限，
②a<0且b<0时，一次函数图象经过一，二，四象限，反比例函数图象经过二，四象限.
故答案为：D
【分析】根据ab>0，可得①a>0且b>0，②a<0且b<0，再根据函数的系数图与图象之间的关系即可求出答案.
6．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， 且△DEF的面积是△ABC面积的4倍， 则BC：EF＝（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似
∴△ABC∽△DEF
∵△DEF的面积是△ABC面积的4倍
即
∴BC：EF＝ 1：2
故答案为：A
【分析】根据位似变化，可得△ABC∽△DEF，再根据相似三角形性质即可求出答案.
7．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E， 过点A作AF⊥DE交DE于F点， 若DF＝2，CD＝6 ，则FO的长为 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：CD=6
∴AB=CD=6，，OD=OB
∵DE平分∠ADC
∴△ADE为等腰直角三角形，AD=AE
∵AF⊥DE
∴DF=EF，∠AFD=90°
∴△ADF为等腰直角三角形
∴AE=AD=4
∴BE=AB-AE=2
∵DF=EF，OD=OB，即点F，O分别为DE、BD的中点
∴OF为△BDE的中位线
故答案为：B
【分析】根据矩形性质，∠平分线性质可得，即△ADE为等腰直角三角形，则AD=AE，再根据等腰直角三角形三线合一性质可得DF=EF，∠AFD=90°，根据勾股定理可得，再判断OF为△BDE的中位线，根据三角形中位线定理即可求出答案.
8．（2023九上·沙坪坝开学考）学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，根据题意， 现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73， 下列方程正确的是（ ）
A．1+（1+x）2＝73 B．1+x2＝73
C．1+x+x2＝73 D．x+（1+x）2＝73
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73 ，则
整理得：
故答案为：C
【分析】根据 一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，即可求出答案.
9．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，O为对角线BD的中点， 点F是BC上一点， 连接CE、AE、FE、AF、OF，取AF中点G，当∠ECF＝∠EFC时，若EG＝， BF=2， 则△EOF的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过点F作FH⊥BD于H，
由题意可得：，
∴四边形EMCN为矩形
∴EM=CN，EN=MC
∴EC=EF
∵EM⊥BC
∴MC=MF
设MC=x，AG=y
∴MF=MC=x
∴CF=MC+MF=2x，BM=BF+MF=x+2，AB=BC=BF+CF=2x+2
在△ADE和△CDE中
∴AE=EC=EF，即△EAF为等腰三角形
∵EG⊥AF
∴AG=GF=y，则AF=AG+GF=2y
在Rt△ABF中，AF=2y，AB=2x+2，BF=2
∵，即
整理得：①
∴△BEM为等腰直角三角形
∴EM=BM=2+x
在Rt△EMF中，EM=2+x，MF=x
在Rt△EGF中，
∴
整理得：②
由①②得：
解得：x=2或x=-4（舍去）
∴AB=6，EM=CN=4，EN=MC=2
在Rt△ABD中：
∵O为BD的中点
∵∠CDB=45°，EN⊥CD
∴△DEN为等腰直角三角形
∴DN=EN=2
∵∠CBD=45°，FH⊥BD
∴△BHF为等腰直角三角形，即HF=BH
∵
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过点F作FH⊥BD于H，根据矩形的判定定理可得，四边形EMCN为矩形，则EM=CN，EN=MC，由得EC=EF，设MC=x，AG=y，得出相关边长，根据全等三角形判定定理可得，则△EAF为等腰三角形，即可得AG=GF=y，则AF=AG+GF=2y，由勾股定理可得①，证明△BEM为等腰直角三角形，得EM=BM=2+x，在Rt△EMF中，根据勾股定理可得，在Rt△EGF中，根据勾股定理可得，即②，联立①②，解得x=2，进而得AB=6，EM=CN=4，EN=MC=2，再根据勾股定理求出，，，，再根据三角形面积即可求出答案.
10．（2023九上·沙坪坝开学考）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定a1＝b1＝x，且满足以下规律：
a2＝2a1，a3＝2a2，a4＝2a3，…，an＝2an-1，…
b2＝b1+1，b3＝b2+1，b4＝b3+1，…，bn＝bn-1+1，…
c1＝，c2＝a2b2，c3＝，c4＝a4b4，…
其中n为正整数，以此类推：
①a8＝128x；②b1+b2+b3+b4+…+b15＝15x+105：③当x＝1时，cn＝；④当x＝1时，c1+c2+c3+c4+…+c20＝．
以上说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
......
①正确
......
②正确
当x=1时，
③错误
当x=1时，
......
④正确
故答案为：C.
【分析】根据实数之间的运算规律，进行数字的规律探究，幂的乘方的逆运算进行计算即可求出答案.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡
11．（2023九上·沙坪坝开学考）计算：-（-3）2+（π-5）0＝ ．
【答案】-4
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：-（-3）2+（π-5）0
=4-9+1
=-4
故答案为：-4.
【分析】根据二次根式，平方，0指数幂的性质即可求出答案.
12．（2023九上·沙坪坝开学考）已知， 则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，化简得：5a=3a+3b
即2a=3b
则
故答案为：
【分析】将分式化简得到：5a=3a+3b，即可得，即可求出答案.
13．（2023九上·沙坪坝开学考）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的结果有2种
则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是
故答案为：
【分析】画树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的结果，再根据简单事件的概率公式即可求出答案.
14．（2023九上·沙坪坝开学考）若关于x的一元二次方程x2+2x-k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
即4-+4k≥0
解得：k≥-1
故答案为：k≥-1
【分析】根据一元二次方程有实根的条件可得，判别式，代入计算即可求出答案.
15．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B为反比例函数y＝（k≠0），且点B横坐标为点A横坐标的两倍，分别过点A作x轴平行线， 过点B作y轴平行线， 两直线交于点C，若S△OAB＝6，则S△ABC＝ ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A，B作AE⊥x轴，BD⊥x轴
∵点B横坐标为点A横坐标的两倍，且A，B都在曲线上
设点，则
，解得：k=8
故答案为：2.
【分析】过点A，B作AE⊥x轴，BD⊥x轴，根据A，B点的坐标关系及三角形的面积列出方程，解方程可求出k值，再代入三角形面积公式即可求出答案.
16．（2023九上·沙坪坝开学考）已知关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组
解集为x≤-1， 则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】1
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，整理得：ax-2+x-1=1
解得：
∵分式方程有整数解
解得：a=0，-2，1，-3，-5
，解得：
∵不等式组的解集为： x≤-1
解得：
∴满足题意的整数a为0或1
∴符合条件的所有整数a的和为0+1=1
故答案为：1
【分析】先解分式方程，求出符合题意的整数解，再求出不等式组的解集，得出，结合分式方程可得a为0或1，即可求出答案.
17．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，矩形ABCD的宽为8，长为12，CQ＝5， 点Q在线段CD上，CQ=5， 点P在线段BC上， 将△PQC沿PQ翻折， 若点C恰落在边AD上的点R处，点O在线段AB上， 将△AOR沿OR翻折， 点A恰落在线段PR上的点H处，则点H到线段DC的距离为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点H作EF∥CD，交BC于点F，交AD于点E
∵矩形ABCD的宽为8，长为12
∴AB=CD=8，AD=BC=12，AD∥BC
∵EF∥CD
∴四边形CDEF为矩形
∵将沿PQ翻折，点C恰落在边AD上的点R处
在Rt△RDQ中，
∴AR=AD-DR=8
∵将△AOR沿OR翻折， 点A恰落在线段PR上的点H处
∴AR=HR=8
∴△RDQ∽△HER
，即
解得：
∴
故答案为：
【分析】过点H作EF∥CD，交BC于点F，交AD于点E，根据矩形性质得AB=CD=8，AD=BC=12，AD∥BC，根据矩形判定定理可得四边形CDEF为矩形，再根据折叠性质可得，得，在Rt△RDQ中，根据勾股定理求出DR的长，即AR=8，再根据折叠性质可得AR=HR=8，证明△RDQ∽△HER，根据相似三角形相似比性质可得，即，即可求出答案.
18．（2023九上·沙坪坝开学考）若对于一个四位正整数，其千位数字的2倍和百位数字之和为14，十位数字的2倍和个位数字的3倍之和为15， 则称这样的四位数为“凸月数”．把任意四位数A的前两位上的数字和后两位上的数字整体交换， 得到新四位数A′，规定F（A）＝ ．则F （6233）的值为 ．若s＝2640+1000a+100b+10c+d（0≤a≤6，3＜b≤9，0≤c≤5，0≤d≤9，其中a、b、c、d均为整数），则当s为“凸月数”，且s最大时F（s） ．
【答案】29；9
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵6×2+2=14，3×2+3×3=15
∴6233是“凸月数”
∴
故答案为：29
（2）当0≤b＜4时
∵s=2640+1000a+100b+10c+d为“凸月数”
∴2(a+2)+(b+6)=14，2(c+4)+3d=15
即2a+b=4，2c+3d=7
∵0≤a≤6，3＜b≤9，0≤c≤5，0≤d≤9，其中a、b、c、d均为整数
∴a=1，b=2（或a=2，b=0），c=2，d=1
∴s=3861或4661
当4≤b≤7时
∵s=2640+1000a+100b+10c+d为“凸月数”
∴2(a+3)+(b-4)=14，2(c+4)+3d=15
即2a+b=12，2c+3d=7
∵0≤a≤6，3＜b≤9，0≤c≤5，0≤d≤9，其中a、b、c、d均为整数
∴a=3，b=6（或a=4，b=4，），c=2，d=1
∴s=6261或7061
故满足条件s的值为3861或4661或6261或7061
当s=7061时，
故答案为：9
【分析】（1）根据新定义先判断6233为“凸月数”，即可求出答案.
（2）分当0≤b＜4时，当4≤b≤7时，根据新定义列出方程，解方程即可求出答案.
三、计算题：（本大题共2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时给出必要的演
19．（2023九上·沙坪坝开学考）化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
＝
＝
＝；
（2）解：
＝
＝
＝
＝-．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1） 根据多项式除以单项式，及分式的除法法则，平方差公式即可求出答案；
（2）根据单项式除以多项式，分式的除法法则，平方差公式即可求出答案.
20．（2023九上·沙坪坝开学考）解方程：
（1）（2x-1）2＝x（2x+6）-7；
（2）＝1．
【答案】（1）解：( 2x-1）2＝x（2x+6）-7
两边展开得：
整理得：
则
解得：
（2）解：
去分母得：
解得：x=1
检验：x=1是原方程的增根
∴原方程无解
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式将方程化为一般式方程，再根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
（2）根据分式的加减法则，先去分母得，解方程，再进行检验即可求出答案.
四、解答题：（本大题共6个大题，共60分）解答时给出必要的演算过程.
21．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，在 ABCD中，连接BD．
（1）用直尺和圆规过点B作BC的垂线，交线段CD的延长线于点E，连接AE ，要求尺规作图 （用基本作图，要保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）若BD＝CD，求证：四边形ABDE为菱形．
证明：∵BD＝CD，
∴ ▲ ，
∵在Rt△CBE中，∠CBE＝90°，
∴∠CEB+∠C＝∠EBD+∠CBD＝90°，
∴ ▲ ，
∴BD＝ED，
∵BD＝CD，
∴ ▲ ，
∵ ABCD，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=ED，
∴四边形ABDE为 ▲ ，
∵ ABDE，BD＝ED，
∴四边形ABDE为菱形（ ）．
【答案】（1）解：如图，BE；
（2）证明：∵BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C，
∵在Rt△CBE中，∠CBE＝90°，
∴∠CEB+∠C＝∠EBD+∠CBD＝90°，
∴∠EBD＝∠CEB，
∴BD＝ED，
∵BD＝CD，
∴CD＝DE，
∵ ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝ED，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∵ ABDE，BD＝ED，
∴四边形ABDE为菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的性质作图即可；
（2）根据等边对等角性质，三角形内角和定理，平行四边形的判断定理及性质，菱形的判断定理即可求出答案.
22．（2023九上·沙坪坝开学考）第19届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月08日在浙江省多地举行，此次杭州亚运会共设40个大项，现场观赛门票分项目开售， 例如观众只想看田径比赛， 则可以只购买田径赛事门票．近期官方平台有意愿为学校免费提供四个比赛项目的门票若干张，包括田径、游泳、篮球、拳击， 为了更有针对性的发放不同赛事的门票数， 学校调查了a个同学（要求每个同学只能选择一个项目观看），并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全校共有3500名学生，请你估计选择“篮球”项目的学生人数．
【答案】（1）160；20
（2）解：补全图形如下：
（3）解：喜欢篮球运动的学生约有3500×＝875（名），
答：估计选择“篮球”项目的学生人数875名．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
a=64÷40%=160（人）
游泳人数有：160-24-40-64=32（人）
则
故答案为：160，20
【分析】（1）根据拳击的人数与占比可求出a的值；先求出游泳人数，再根据游泳占比即可求出答案；
（2）根据（1）中的游泳人数补全图形即可求出答案；
（3）根据3500×”篮球“占比即可求出答案.
23．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E， F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发， E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动， 当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒， 点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】（1）解：y关于t的函数表达式为
（2）解：由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0， 当t=4时， y＝4， 当t=6时，y=0
分别描出三个点（0，0），（4，4）（6，0），然后顺次连线，如图：
根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大， （答案不唯一， 正确即可）
（3）解：点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．
【知识点】分段函数
【解析】【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可.
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可.
（3）根据两个函数关系式分别求出当y=3时的t值即可求出答案.
24．（2023九上·沙坪坝开学考）今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏， 其中我国“国宝”熊猫更是引发了一番热潮， 熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款熊猫玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元， “打坐熊猫”成本每件120元， “打坐熊猫”售价是“抱竹熊猫”售价的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件 ，且两款玩偶当天销售额都刚好到达1800元．
（1）求两款熊猫玩偶的售价分别是多少元？
（2）为了更好的宣传国宝熊猫，第二天店家决定降价出售，但是市场规定降价之后的售价不能低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了 m%，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%， “打坐熊猫”的售价打8.5折， 结果“打坐熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%， 最终开幕第二天两款熊猫玩偶的总利润为1230元， 求m的值．
【答案】（1）解：设“抱竹熊猫”的售价是x元，则“打坐熊猫”的售价是
由题意可得：
解得： x＝150
经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意
（元）
答：“抱竹熊猫”的售价是150元，“打坐熊猫”的售价是200元
（2）解：由题意可得：
整理得：
解得：
当m=40时
，
135>125，符合题意
当m=80时
120<125，不符合题意
故m的值为40.
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设“抱竹熊猫”的售价是x元，则“打坐熊猫”的售价是，根据题意列出分式方程，解方程即可求出答案；
（2）根据题意列出方程，整理可得m2-120m+3200＝0，解方程代入计算即可求出答案.
25．（2023九上·沙坪坝开学考）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△ACD沿直线CD翻折得△BCD，且A（0，-2），D（0，3），点B在x轴负半轴上，A、C、B三点在同一条直线上，直线CD交x轴于点E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图1，在线段CE上有一动点F，连接OF，P为AB上一动点，K为y轴上一动点，连接PF、PK，当S△DOF ＝时，求PF+PK的最小值；
（3）如图2，将△DOE沿直线DC平移得到△D'O'E'，若在平移过程中△BD'E'是以BE'为一腰的等腰三角形，请直接写出点D′的横坐标．
【答案】（1）解：∵A（0，-2），D（0，3）
∴AD＝5，
由折叠可知，AD＝BD＝5，
∵DO＝4，
∴BO＝4，
∴B（-4，0）
∵C点是AB的中点
∴C（-2，-1）
设直线CD的解析式为y＝kx+b
∴，解得：
∴直线CD的解析式为y＝2x+3
（2）解：S△DOF＝
∴，即3×|xF|＝，
解得xF＝-，
∴F（-，-）
作F点关于AB的对称点F'，连接F'K，
∴PF＝PF'，
∴PF+PK＝PF'+PK≥F'K，
当F'K最小时PF+PK的值最小，此时F'K⊥y轴，
∵AB⊥CD，
∴F'在直线CD上，
∴C点是FF'的中点
∴F'（-，-）
∴PF+PK的最小值为
（3）解：设△DOE沿x轴负方向平移t个单位，沿y轴负方向平移2t个单位，
则D'（-t，3-2t），O'(-t，-2t)，E'
当BE'＝BD'时，
解得：t＝
∴D'的横坐标为
当BE'＝E'D'时，
解得：或
∴D'的横坐标为或
综上所述，D'的横坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1） 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 根据折叠性质，待定系数法将点坐标代入直线解析式即可求出答案；
（2）根据三角形面积公式可求出点F坐标， 作F点关于AB的对称点F'，连接F'K可得PF＝PF'，则PF+PK＝PF'+PK≥F'K，当F'K最小时PF+PK的值最小，此时F'K⊥y轴， 根据线段中点的性质即可求出答案；
（3） 设△DOE沿x轴负方向平移t个单位，沿y轴负方向平移2t个单位， 分BE'＝E'D'，BE'＝BD'，根据两点间距离公式列出方程，解方程即可求出答案.
26．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；
（2）如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；
（3）在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5 ，AH=2 ，请直接写出点C到直线DE的距离．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，∴BE＝AB，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵BC＝BE+EC，EC＝1，
∴AB＝AB+1，解得：AB=2
∴AD＝AB＝2，即AD的长为2
（2）证明：连接EG，
∵AE⊥BC，AF⊥AB，
∴∠GAE+∠EAF＝∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴△AEG≌△ADF（SAS），
∴∠AEG＝∠ADF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEG＝∠ADF＝45°，
∴∠DEG＝90°，即DE⊥EG，
延长AH交DE于点M，
∵AH平分∠DAE，
∴AM⊥DE，DM＝AM，
∴AM∥EG，
∴，
∵DM＝EM，
∴GH＝DH；
（3）解：点C到DE的距离为
【知识点】三角形内角和定理；全等图形；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）∵AN：AD=2：5，AD=AE
∴AN：NE=2：3
由AM∥EG可得
，即
由（2）知：GH=DH，DM=EM
∴HM是的中位线
在中，DM=EM
作GK⊥BC于K，则是等腰直角三角形
由GK∥AE可得
，即
解得：
作CT⊥DE于T，由
∴也是等腰直角三角形
故答案为：
【分析】（1）根据平行四边形性质，菱形的判断定理即可求出答案；
（2） 连接EG， 根据垂线性质，三角形内角和定理，全等三角形判断定理可得△AEG≌△ADF，可得∠AEG＝∠ADF，再根据等腰直角三角形性质可得∠DEG＝90°，即DE⊥EG，延长AH交DE于点M， 根据角平分线性质可得AM⊥DE，DM＝AM，再根据直线平行性质得，整理即可求出答案；
（1）根据相似三角形的判断定理可得，再根据相似比可求出EG的长，再根据三角形中位线定理求出HM，AM，根据勾股定理可求出AD，再根据等腰直角三角形判定定理及性质，相似三角形的判定定理及性质即可求出答案.
1 / 1重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的
1．（2023九上·沙坪坝开学考）下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·沙坪坝开学考）2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·沙坪坝开学考）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·沙坪坝开学考）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
B．顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形是矩形
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
5．（2023九上·沙坪坝开学考）若ab＞0，则一次函数y＝ax+2与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， 且△DEF的面积是△ABC面积的4倍， 则BC：EF＝（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
7．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E， 过点A作AF⊥DE交DE于F点， 若DF＝2，CD＝6 ，则FO的长为 （ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2023九上·沙坪坝开学考）学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，根据题意， 现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73， 下列方程正确的是（ ）
A．1+（1+x）2＝73 B．1+x2＝73
C．1+x+x2＝73 D．x+（1+x）2＝73
9．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，O为对角线BD的中点， 点F是BC上一点， 连接CE、AE、FE、AF、OF，取AF中点G，当∠ECF＝∠EFC时，若EG＝， BF=2， 则△EOF的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2023九上·沙坪坝开学考）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定a1＝b1＝x，且满足以下规律：
a2＝2a1，a3＝2a2，a4＝2a3，…，an＝2an-1，…
b2＝b1+1，b3＝b2+1，b4＝b3+1，…，bn＝bn-1+1，…
c1＝，c2＝a2b2，c3＝，c4＝a4b4，…
其中n为正整数，以此类推：
①a8＝128x；②b1+b2+b3+b4+…+b15＝15x+105：③当x＝1时，cn＝；④当x＝1时，c1+c2+c3+c4+…+c20＝．
以上说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡
11．（2023九上·沙坪坝开学考）计算：-（-3）2+（π-5）0＝ ．
12．（2023九上·沙坪坝开学考）已知， 则 的值为 ．
13．（2023九上·沙坪坝开学考）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是 ．
14．（2023九上·沙坪坝开学考）若关于x的一元二次方程x2+2x-k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
15．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B为反比例函数y＝（k≠0），且点B横坐标为点A横坐标的两倍，分别过点A作x轴平行线， 过点B作y轴平行线， 两直线交于点C，若S△OAB＝6，则S△ABC＝ ．
16．（2023九上·沙坪坝开学考）已知关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组
解集为x≤-1， 则符合条件的所有整数a的和为 ．
17．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，矩形ABCD的宽为8，长为12，CQ＝5， 点Q在线段CD上，CQ=5， 点P在线段BC上， 将△PQC沿PQ翻折， 若点C恰落在边AD上的点R处，点O在线段AB上， 将△AOR沿OR翻折， 点A恰落在线段PR上的点H处，则点H到线段DC的距离为 ．
18．（2023九上·沙坪坝开学考）若对于一个四位正整数，其千位数字的2倍和百位数字之和为14，十位数字的2倍和个位数字的3倍之和为15， 则称这样的四位数为“凸月数”．把任意四位数A的前两位上的数字和后两位上的数字整体交换， 得到新四位数A′，规定F（A）＝ ．则F （6233）的值为 ．若s＝2640+1000a+100b+10c+d（0≤a≤6，3＜b≤9，0≤c≤5，0≤d≤9，其中a、b、c、d均为整数），则当s为“凸月数”，且s最大时F（s） ．
三、计算题：（本大题共2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时给出必要的演
19．（2023九上·沙坪坝开学考）化简：
（1）；
（2）．
20．（2023九上·沙坪坝开学考）解方程：
（1）（2x-1）2＝x（2x+6）-7；
（2）＝1．
四、解答题：（本大题共6个大题，共60分）解答时给出必要的演算过程.
21．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，在 ABCD中，连接BD．
（1）用直尺和圆规过点B作BC的垂线，交线段CD的延长线于点E，连接AE ，要求尺规作图 （用基本作图，要保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）若BD＝CD，求证：四边形ABDE为菱形．
证明：∵BD＝CD，
∴ ▲ ，
∵在Rt△CBE中，∠CBE＝90°，
∴∠CEB+∠C＝∠EBD+∠CBD＝90°，
∴ ▲ ，
∴BD＝ED，
∵BD＝CD，
∴ ▲ ，
∵ ABCD，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=ED，
∴四边形ABDE为 ▲ ，
∵ ABDE，BD＝ED，
∴四边形ABDE为菱形（ ）．
22．（2023九上·沙坪坝开学考）第19届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月08日在浙江省多地举行，此次杭州亚运会共设40个大项，现场观赛门票分项目开售， 例如观众只想看田径比赛， 则可以只购买田径赛事门票．近期官方平台有意愿为学校免费提供四个比赛项目的门票若干张，包括田径、游泳、篮球、拳击， 为了更有针对性的发放不同赛事的门票数， 学校调查了a个同学（要求每个同学只能选择一个项目观看），并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全校共有3500名学生，请你估计选择“篮球”项目的学生人数．
23．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E， F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发， E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动， 当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒， 点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
24．（2023九上·沙坪坝开学考）今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏， 其中我国“国宝”熊猫更是引发了一番热潮， 熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款熊猫玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元， “打坐熊猫”成本每件120元， “打坐熊猫”售价是“抱竹熊猫”售价的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件 ，且两款玩偶当天销售额都刚好到达1800元．
（1）求两款熊猫玩偶的售价分别是多少元？
（2）为了更好的宣传国宝熊猫，第二天店家决定降价出售，但是市场规定降价之后的售价不能低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了 m%，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%， “打坐熊猫”的售价打8.5折， 结果“打坐熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%， 最终开幕第二天两款熊猫玩偶的总利润为1230元， 求m的值．
25．（2023九上·沙坪坝开学考）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△ACD沿直线CD翻折得△BCD，且A（0，-2），D（0，3），点B在x轴负半轴上，A、C、B三点在同一条直线上，直线CD交x轴于点E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图1，在线段CE上有一动点F，连接OF，P为AB上一动点，K为y轴上一动点，连接PF、PK，当S△DOF ＝时，求PF+PK的最小值；
（3）如图2，将△DOE沿直线DC平移得到△D'O'E'，若在平移过程中△BD'E'是以BE'为一腰的等腰三角形，请直接写出点D′的横坐标．
26．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；
（2）如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；
（3）在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5 ，AH=2 ，请直接写出点C到直线DE的距离．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：A是分式，符合题意；
B不是分式，不符合题意；
C不是分式，不符合题意；
D不是分式，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将图形沿某一条轴折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．【答案】D
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
a+b=-4，ab=3
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=-4，ab=3，再化简代数式代入值即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；菱形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，A正确，不符合题意；
B：顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形为菱形，B错误，符合题意；
C：有一个锐角相等的两个直角三角形相似，C正确，不符合题意；
D：对角线互相垂直的矩形是正方形，D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理，菱形的判定定理，直角三角形的判定定理，正方形的判定定理即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若ab＞0
①a>0且b>0时，一次函数图象经过一，二，三象限，反比例函数图象经过一，三象限，
②a<0且b<0时，一次函数图象经过一，二，四象限，反比例函数图象经过二，四象限.
故答案为：D
【分析】根据ab>0，可得①a>0且b>0，②a<0且b<0，再根据函数的系数图与图象之间的关系即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似
∴△ABC∽△DEF
∵△DEF的面积是△ABC面积的4倍
即
∴BC：EF＝ 1：2
故答案为：A
【分析】根据位似变化，可得△ABC∽△DEF，再根据相似三角形性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：CD=6
∴AB=CD=6，，OD=OB
∵DE平分∠ADC
∴△ADE为等腰直角三角形，AD=AE
∵AF⊥DE
∴DF=EF，∠AFD=90°
∴△ADF为等腰直角三角形
∴AE=AD=4
∴BE=AB-AE=2
∵DF=EF，OD=OB，即点F，O分别为DE、BD的中点
∴OF为△BDE的中位线
故答案为：B
【分析】根据矩形性质，∠平分线性质可得，即△ADE为等腰直角三角形，则AD=AE，再根据等腰直角三角形三线合一性质可得DF=EF，∠AFD=90°，根据勾股定理可得，再判断OF为△BDE的中位线，根据三角形中位线定理即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73 ，则
整理得：
故答案为：C
【分析】根据 一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过点F作FH⊥BD于H，
由题意可得：，
∴四边形EMCN为矩形
∴EM=CN，EN=MC
∴EC=EF
∵EM⊥BC
∴MC=MF
设MC=x，AG=y
∴MF=MC=x
∴CF=MC+MF=2x，BM=BF+MF=x+2，AB=BC=BF+CF=2x+2
在△ADE和△CDE中
∴AE=EC=EF，即△EAF为等腰三角形
∵EG⊥AF
∴AG=GF=y，则AF=AG+GF=2y
在Rt△ABF中，AF=2y，AB=2x+2，BF=2
∵，即
整理得：①
∴△BEM为等腰直角三角形
∴EM=BM=2+x
在Rt△EMF中，EM=2+x，MF=x
在Rt△EGF中，
∴
整理得：②
由①②得：
解得：x=2或x=-4（舍去）
∴AB=6，EM=CN=4，EN=MC=2
在Rt△ABD中：
∵O为BD的中点
∵∠CDB=45°，EN⊥CD
∴△DEN为等腰直角三角形
∴DN=EN=2
∵∠CBD=45°，FH⊥BD
∴△BHF为等腰直角三角形，即HF=BH
∵
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过点F作FH⊥BD于H，根据矩形的判定定理可得，四边形EMCN为矩形，则EM=CN，EN=MC，由得EC=EF，设MC=x，AG=y，得出相关边长，根据全等三角形判定定理可得，则△EAF为等腰三角形，即可得AG=GF=y，则AF=AG+GF=2y，由勾股定理可得①，证明△BEM为等腰直角三角形，得EM=BM=2+x，在Rt△EMF中，根据勾股定理可得，在Rt△EGF中，根据勾股定理可得，即②，联立①②，解得x=2，进而得AB=6，EM=CN=4，EN=MC=2，再根据勾股定理求出，，，，再根据三角形面积即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
......
①正确
......
②正确
当x=1时，
③错误
当x=1时，
......
④正确
故答案为：C.
【分析】根据实数之间的运算规律，进行数字的规律探究，幂的乘方的逆运算进行计算即可求出答案.
11．【答案】-4
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：-（-3）2+（π-5）0
=4-9+1
=-4
故答案为：-4.
【分析】根据二次根式，平方，0指数幂的性质即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，化简得：5a=3a+3b
即2a=3b
则
故答案为：
【分析】将分式化简得到：5a=3a+3b，即可得，即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的结果有2种
则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是
故答案为：
【分析】画树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的结果，再根据简单事件的概率公式即可求出答案.
14．【答案】k≥-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
即4-+4k≥0
解得：k≥-1
故答案为：k≥-1
【分析】根据一元二次方程有实根的条件可得，判别式，代入计算即可求出答案.
15．【答案】2
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A，B作AE⊥x轴，BD⊥x轴
∵点B横坐标为点A横坐标的两倍，且A，B都在曲线上
设点，则
，解得：k=8
故答案为：2.
【分析】过点A，B作AE⊥x轴，BD⊥x轴，根据A，B点的坐标关系及三角形的面积列出方程，解方程可求出k值，再代入三角形面积公式即可求出答案.
16．【答案】1
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，整理得：ax-2+x-1=1
解得：
∵分式方程有整数解
解得：a=0，-2，1，-3，-5
，解得：
∵不等式组的解集为： x≤-1
解得：
∴满足题意的整数a为0或1
∴符合条件的所有整数a的和为0+1=1
故答案为：1
【分析】先解分式方程，求出符合题意的整数解，再求出不等式组的解集，得出，结合分式方程可得a为0或1，即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点H作EF∥CD，交BC于点F，交AD于点E
∵矩形ABCD的宽为8，长为12
∴AB=CD=8，AD=BC=12，AD∥BC
∵EF∥CD
∴四边形CDEF为矩形
∵将沿PQ翻折，点C恰落在边AD上的点R处
在Rt△RDQ中，
∴AR=AD-DR=8
∵将△AOR沿OR翻折， 点A恰落在线段PR上的点H处
∴AR=HR=8
∴△RDQ∽△HER
，即
解得：
∴
故答案为：
【分析】过点H作EF∥CD，交BC于点F，交AD于点E，根据矩形性质得AB=CD=8，AD=BC=12，AD∥BC，根据矩形判定定理可得四边形CDEF为矩形，再根据折叠性质可得，得，在Rt△RDQ中，根据勾股定理求出DR的长，即AR=8，再根据折叠性质可得AR=HR=8，证明△RDQ∽△HER，根据相似三角形相似比性质可得，即，即可求出答案.
18．【答案】29；9
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵6×2+2=14，3×2+3×3=15
∴6233是“凸月数”
∴
故答案为：29
（2）当0≤b＜4时
∵s=2640+1000a+100b+10c+d为“凸月数”
∴2(a+2)+(b+6)=14，2(c+4)+3d=15
即2a+b=4，2c+3d=7
∵0≤a≤6，3＜b≤9，0≤c≤5，0≤d≤9，其中a、b、c、d均为整数
∴a=1，b=2（或a=2，b=0），c=2，d=1
∴s=3861或4661
当4≤b≤7时
∵s=2640+1000a+100b+10c+d为“凸月数”
∴2(a+3)+(b-4)=14，2(c+4)+3d=15
即2a+b=12，2c+3d=7
∵0≤a≤6，3＜b≤9，0≤c≤5，0≤d≤9，其中a、b、c、d均为整数
∴a=3，b=6（或a=4，b=4，），c=2，d=1
∴s=6261或7061
故满足条件s的值为3861或4661或6261或7061
当s=7061时，
故答案为：9
【分析】（1）根据新定义先判断6233为“凸月数”，即可求出答案.
（2）分当0≤b＜4时，当4≤b≤7时，根据新定义列出方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
＝
＝
＝；
（2）解：
＝
＝
＝
＝-．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1） 根据多项式除以单项式，及分式的除法法则，平方差公式即可求出答案；
（2）根据单项式除以多项式，分式的除法法则，平方差公式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：( 2x-1）2＝x（2x+6）-7
两边展开得：
整理得：
则
解得：
（2）解：
去分母得：
解得：x=1
检验：x=1是原方程的增根
∴原方程无解
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式将方程化为一般式方程，再根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
（2）根据分式的加减法则，先去分母得，解方程，再进行检验即可求出答案.
21．【答案】（1）解：如图，BE；
（2）证明：∵BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C，
∵在Rt△CBE中，∠CBE＝90°，
∴∠CEB+∠C＝∠EBD+∠CBD＝90°，
∴∠EBD＝∠CEB，
∴BD＝ED，
∵BD＝CD，
∴CD＝DE，
∵ ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝ED，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∵ ABDE，BD＝ED，
∴四边形ABDE为菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的性质作图即可；
（2）根据等边对等角性质，三角形内角和定理，平行四边形的判断定理及性质，菱形的判断定理即可求出答案.
22．【答案】（1）160；20
（2）解：补全图形如下：
（3）解：喜欢篮球运动的学生约有3500×＝875（名），
答：估计选择“篮球”项目的学生人数875名．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
a=64÷40%=160（人）
游泳人数有：160-24-40-64=32（人）
则
故答案为：160，20
【分析】（1）根据拳击的人数与占比可求出a的值；先求出游泳人数，再根据游泳占比即可求出答案；
（2）根据（1）中的游泳人数补全图形即可求出答案；
（3）根据3500×”篮球“占比即可求出答案.
23．【答案】（1）解：y关于t的函数表达式为
（2）解：由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0， 当t=4时， y＝4， 当t=6时，y=0
分别描出三个点（0，0），（4，4）（6，0），然后顺次连线，如图：
根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大， （答案不唯一， 正确即可）
（3）解：点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．
【知识点】分段函数
【解析】【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可.
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可.
（3）根据两个函数关系式分别求出当y=3时的t值即可求出答案.
24．【答案】（1）解：设“抱竹熊猫”的售价是x元，则“打坐熊猫”的售价是
由题意可得：
解得： x＝150
经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意
（元）
答：“抱竹熊猫”的售价是150元，“打坐熊猫”的售价是200元
（2）解：由题意可得：
整理得：
解得：
当m=40时
，
135>125，符合题意
当m=80时
120<125，不符合题意
故m的值为40.
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设“抱竹熊猫”的售价是x元，则“打坐熊猫”的售价是，根据题意列出分式方程，解方程即可求出答案；
（2）根据题意列出方程，整理可得m2-120m+3200＝0，解方程代入计算即可求出答案.
25．【答案】（1）解：∵A（0，-2），D（0，3）
∴AD＝5，
由折叠可知，AD＝BD＝5，
∵DO＝4，
∴BO＝4，
∴B（-4，0）
∵C点是AB的中点
∴C（-2，-1）
设直线CD的解析式为y＝kx+b
∴，解得：
∴直线CD的解析式为y＝2x+3
（2）解：S△DOF＝
∴，即3×|xF|＝，
解得xF＝-，
∴F（-，-）
作F点关于AB的对称点F'，连接F'K，
∴PF＝PF'，
∴PF+PK＝PF'+PK≥F'K，
当F'K最小时PF+PK的值最小，此时F'K⊥y轴，
∵AB⊥CD，
∴F'在直线CD上，
∴C点是FF'的中点
∴F'（-，-）
∴PF+PK的最小值为
（3）解：设△DOE沿x轴负方向平移t个单位，沿y轴负方向平移2t个单位，
则D'（-t，3-2t），O'(-t，-2t)，E'
当BE'＝BD'时，
解得：t＝
∴D'的横坐标为
当BE'＝E'D'时，
解得：或
∴D'的横坐标为或
综上所述，D'的横坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1） 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 根据折叠性质，待定系数法将点坐标代入直线解析式即可求出答案；
（2）根据三角形面积公式可求出点F坐标， 作F点关于AB的对称点F'，连接F'K可得PF＝PF'，则PF+PK＝PF'+PK≥F'K，当F'K最小时PF+PK的值最小，此时F'K⊥y轴， 根据线段中点的性质即可求出答案；
（3） 设△DOE沿x轴负方向平移t个单位，沿y轴负方向平移2t个单位， 分BE'＝E'D'，BE'＝BD'，根据两点间距离公式列出方程，解方程即可求出答案.
26．【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，∴BE＝AB，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵BC＝BE+EC，EC＝1，
∴AB＝AB+1，解得：AB=2
∴AD＝AB＝2，即AD的长为2
（2）证明：连接EG，
∵AE⊥BC，AF⊥AB，
∴∠GAE+∠EAF＝∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴△AEG≌△ADF（SAS），
∴∠AEG＝∠ADF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEG＝∠ADF＝45°，
∴∠DEG＝90°，即DE⊥EG，
延长AH交DE于点M，
∵AH平分∠DAE，
∴AM⊥DE，DM＝AM，
∴AM∥EG，
∴，
∵DM＝EM，
∴GH＝DH；
（3）解：点C到DE的距离为
【知识点】三角形内角和定理；全等图形；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）∵AN：AD=2：5，AD=AE
∴AN：NE=2：3
由AM∥EG可得
，即
由（2）知：GH=DH，DM=EM
∴HM是的中位线
在中，DM=EM
作GK⊥BC于K，则是等腰直角三角形
由GK∥AE可得
，即
解得：
作CT⊥DE于T，由
∴也是等腰直角三角形
故答案为：
【分析】（1）根据平行四边形性质，菱形的判断定理即可求出答案；
（2） 连接EG， 根据垂线性质，三角形内角和定理，全等三角形判断定理可得△AEG≌△ADF，可得∠AEG＝∠ADF，再根据等腰直角三角形性质可得∠DEG＝90°，即DE⊥EG，延长AH交DE于点M， 根据角平分线性质可得AM⊥DE，DM＝AM，再根据直线平行性质得，整理即可求出答案；
（1）根据相似三角形的判断定理可得，再根据相似比可求出EG的长，再根据三角形中位线定理求出HM，AM，根据勾股定理可求出AD，再根据等腰直角三角形判定定理及性质，相似三角形的判定定理及性质即可求出答案.
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