山东省枣庄市山亭区翼云中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）
1．（2020八上·兴化期末）下列说法中，错误的是 （ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分 D．正方形的对角线相等
2．（2023九上·山亭开学考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
3．（2023九上·山亭开学考）如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上， 将纸带沿EF折叠， 点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2＝35° ，则∠1的度数为 （ ）
A．62.5° B．72.5° C．55° D．45°
4．（2023·安岳模拟）如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为（ ）
A．172° B．162° C．152° D．150°
5．（2021九上·大渡口期末）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行且相等
6．（2023九上·山亭开学考）矩形的对角线长为10，其中一边长为6，则该矩形的面积为（ ）
A．60 B．48 C．40 D．24
7．（2023九上·山亭开学考）一个正多边形的每个内角都等于135°，那么它是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
8．（2023九上·山亭开学考）如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140° ，则∠BCA等于 （ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
9．（2023九上·山亭开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 且∠AOD=120°．过点A作AE⊥BD于点E， 则BE：ED等于（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．2：5
10．（2023九上·山亭开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上， 边BC在y轴上， 若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，﹣1.5）
C．（0，﹣1） D．（﹣2，0）
11．（2023九上·山亭开学考）下列说法中正确的个数为（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相互平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023九上·山亭开学考）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点 ，A的坐标为 （，1），则点C的坐标为（ ）
A．（-，1） B．（﹣1，）
C．（，1） D．（﹣，﹣1）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（2023九上·山亭开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F， AB=2， BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2023九上·山亭开学考）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 ．
15．（2023九上·山亭开学考）已知﹣＝6，则分式 ．
16．（2023九上·山亭开学考）如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点， 且AC=EC， 则∠DAE＝ ．
17．（2023九上·山亭开学考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．若△AEF的周长为10cm ，则BC的长为 cm．
18．（2023九上·山亭开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6， AD=8， P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线， 垂足分别为E， F，则PE+PF＝ ．
三、解答题
19．（2023九上·山亭开学考）
（1）分解因式x2y﹣2xy2+y3；
（2）解方程：．
20．（2023九上·山亭开学考）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，△ABC的顶点A，B ，C均在格点上 （小正方形的顶点为格点），利用网格画图，（保留必要的画图痕迹）
⑴在直线AC上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；
⑵在图中找一点O，使得OA＝OB＝OC；
⑶在（1）、（2）小题的基础上，请在直线AB上确定一点M ，使MP+MO的值最小．
21．（2023九上·山亭开学考）在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
22．（2023九上·山亭开学考）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发 ，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时， P、Q两点都停止运动， 设运动时间为t（s），当t＝2时， 判断△BPQ的形状， 并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动 ，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意
B.矩形的对角线不是互相垂直的，说法错误；故选项B符合题意
C.菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意
D.正方形的对角线相等，故选项D不符合题意
故答案为：B
【分析】本题重点考察大家对于平面几何中的几种常见图形：正方形，菱形，矩形，平行四边形的性质；需要大家在理解的基础上熟练记忆并掌握。
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相平行的四边形为平行四边形）
A符合题意；
B：∵OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
B符合题意；
C：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相相等的四边形为平行四边形）
C符合题意
D：∵AB∥DC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形
D不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠2=35°
由折叠性质可得：
∵AB∥CD
∴
故答案为：B
【分析】根据邻补角性质，折叠性质，直线平行性质即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据正方形以及正五边形的内角定理可得：
∠ADC=90°，∠EDC=108°
∴∠ADE=360°- ∠ADC-∠EDC=360°-90°-108°=162°
故答案为B
【分析】根据正方形以及正五边形的内角定理可得出 ∠ADC=90°，∠EDC=108°，从而得出∠ADE的度数。
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的四条边可能不相等，菱形的四个角可能不相等，故A选项不符合题意；
B、菱形的对角线可能不相等，故B选项不符合题意；
C、矩形的对角线可能不垂直，故C选项不符合题意；
D、菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有两组对边分别平行且相等的性质，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 菱形、矩形、正方形都具有的性质有：两组对边分别平行且相等，据此逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
矩形令一边长为：
故答案为：B
【分析】根据矩形性质及勾股定理可求出另一边长，再根据矩形面积公式即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：
多边形的每个外角都等于45°
∴多边形边数为：
故答案为：8
【分析】根据多边形的内角和外角性质即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据菱形性质，直线平行性质即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB=OD
∵∠AOD=120°
∴
∴△AOB为等边三角形
∵AE⊥BD
∴
故答案为：A
【分析】根据矩形性质及等边三角形性质即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=AD=3
∴C（0，-1）
故答案为：C
【分析】根据象限内点的坐标特征可得，再根据菱形性质及勾股定理即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合题意；
②对角线相互平分且相等的四边形是矩形，符合题意；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意；
④对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：作AE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F
则
∵四边形OABC是正方形
∴OC=OA，∠AOC=90°
在和中
∴点C坐标为：
故答案为：B
【分析】作AE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，根据直角三角形性质，正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC，
∵
在△AOE和△COF中
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积
故答案为：4
【分析】根据矩形性质，全等三角形判定定理可得，则，即图中阴影部分的面积就是△BCD的面积，再根据三角形面积公式即可求出答案.
14．【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
菱形面积：
故答案为：24
【分析】根据菱形的面积公式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：
【分析】根据分式的化简求值即可求出答案.
16．【答案】22.5°
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∵AC=EC
故答案为：22.5°
【分析】根据正方形性质可得，又由AC=EC，根据等边对等角性质可得，再根据三角形外角性质，直线平行性质即可求出答案.
17．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED，FG分别是AB，AC的垂直平分线
∴AE=BE，AF=CF
∵△AEF的周长为10 ，即AE+AF=EF=10
∴BE+EF+CF=BC=10
故答案为：10
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AF=CF，根据三角形周长即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP
∵四边形ABCD是矩形
在Rt△ABD中
∵AB=6，AD=8
∵四边形ABCD是矩形，
∴
故答案为：
【分析】连接OP，根据矩形性质可得，在Rt△ABD中，根据勾股定理可得，再根据三角形面积公式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：原式＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2
（2）解：去分母得：2x﹣4+2（2x﹣1）＝﹣3，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2x﹣1＝0，
∴x＝是增根 ，分式方程无解 ．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）提公因式，括号再根据完全平方公式即可求出答案.
（2）去分母得一元一次方程，解方程，代入分式检验即可求出答案.
20．【答案】解：⑴如图，点P ，即为所求 ．
⑵如图，点O即为所求．
⑶如图，点M即为所求．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）取格点O，J，作直线OJ交AC于点P，点P即为所求.
（2）△ABC三边垂直平分线的交点O，即为所求.
（3）作点P关于直线AB的对称点P'，连接OP'交AB于点M，即为所求.
21．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DF＝BE，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ=2tcm
当t＝2时，AP＝2cm，BQ=4cm
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形
（2）解：△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ=t
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，即
解得：t=2
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ
即6﹣t＝t，解得：t＝4
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
1 / 1山东省枣庄市山亭区翼云中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）
1．（2020八上·兴化期末）下列说法中，错误的是 （ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分 D．正方形的对角线相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意
B.矩形的对角线不是互相垂直的，说法错误；故选项B符合题意
C.菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意
D.正方形的对角线相等，故选项D不符合题意
故答案为：B
【分析】本题重点考察大家对于平面几何中的几种常见图形：正方形，菱形，矩形，平行四边形的性质；需要大家在理解的基础上熟练记忆并掌握。
2．（2023九上·山亭开学考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相平行的四边形为平行四边形）
A符合题意；
B：∵OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
B符合题意；
C：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相相等的四边形为平行四边形）
C符合题意
D：∵AB∥DC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形
D不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
3．（2023九上·山亭开学考）如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上， 将纸带沿EF折叠， 点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2＝35° ，则∠1的度数为 （ ）
A．62.5° B．72.5° C．55° D．45°
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠2=35°
由折叠性质可得：
∵AB∥CD
∴
故答案为：B
【分析】根据邻补角性质，折叠性质，直线平行性质即可求出答案.
4．（2023·安岳模拟）如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为（ ）
A．172° B．162° C．152° D．150°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据正方形以及正五边形的内角定理可得：
∠ADC=90°，∠EDC=108°
∴∠ADE=360°- ∠ADC-∠EDC=360°-90°-108°=162°
故答案为B
【分析】根据正方形以及正五边形的内角定理可得出 ∠ADC=90°，∠EDC=108°，从而得出∠ADE的度数。
5．（2021九上·大渡口期末）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行且相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的四条边可能不相等，菱形的四个角可能不相等，故A选项不符合题意；
B、菱形的对角线可能不相等，故B选项不符合题意；
C、矩形的对角线可能不垂直，故C选项不符合题意；
D、菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有两组对边分别平行且相等的性质，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 菱形、矩形、正方形都具有的性质有：两组对边分别平行且相等，据此逐一判断即可.
6．（2023九上·山亭开学考）矩形的对角线长为10，其中一边长为6，则该矩形的面积为（ ）
A．60 B．48 C．40 D．24
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
矩形令一边长为：
故答案为：B
【分析】根据矩形性质及勾股定理可求出另一边长，再根据矩形面积公式即可求出答案.
7．（2023九上·山亭开学考）一个正多边形的每个内角都等于135°，那么它是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：
多边形的每个外角都等于45°
∴多边形边数为：
故答案为：8
【分析】根据多边形的内角和外角性质即可求出答案.
8．（2023九上·山亭开学考）如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140° ，则∠BCA等于 （ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据菱形性质，直线平行性质即可求出答案.
9．（2023九上·山亭开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 且∠AOD=120°．过点A作AE⊥BD于点E， 则BE：ED等于（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．2：5
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB=OD
∵∠AOD=120°
∴
∴△AOB为等边三角形
∵AE⊥BD
∴
故答案为：A
【分析】根据矩形性质及等边三角形性质即可求出答案.
10．（2023九上·山亭开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上， 边BC在y轴上， 若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，﹣1.5）
C．（0，﹣1） D．（﹣2，0）
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=AD=3
∴C（0，-1）
故答案为：C
【分析】根据象限内点的坐标特征可得，再根据菱形性质及勾股定理即可求出答案.
11．（2023九上·山亭开学考）下列说法中正确的个数为（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相互平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合题意；
②对角线相互平分且相等的四边形是矩形，符合题意；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意；
④对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理即可求出答案.
12．（2023九上·山亭开学考）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点 ，A的坐标为 （，1），则点C的坐标为（ ）
A．（-，1） B．（﹣1，）
C．（，1） D．（﹣，﹣1）
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：作AE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F
则
∵四边形OABC是正方形
∴OC=OA，∠AOC=90°
在和中
∴点C坐标为：
故答案为：B
【分析】作AE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，根据直角三角形性质，正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（2023九上·山亭开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F， AB=2， BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC，
∵
在△AOE和△COF中
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积
故答案为：4
【分析】根据矩形性质，全等三角形判定定理可得，则，即图中阴影部分的面积就是△BCD的面积，再根据三角形面积公式即可求出答案.
14．（2023九上·山亭开学考）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 ．
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
菱形面积：
故答案为：24
【分析】根据菱形的面积公式即可求出答案.
15．（2023九上·山亭开学考）已知﹣＝6，则分式 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：
【分析】根据分式的化简求值即可求出答案.
16．（2023九上·山亭开学考）如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点， 且AC=EC， 则∠DAE＝ ．
【答案】22.5°
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∵AC=EC
故答案为：22.5°
【分析】根据正方形性质可得，又由AC=EC，根据等边对等角性质可得，再根据三角形外角性质，直线平行性质即可求出答案.
17．（2023九上·山亭开学考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．若△AEF的周长为10cm ，则BC的长为 cm．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED，FG分别是AB，AC的垂直平分线
∴AE=BE，AF=CF
∵△AEF的周长为10 ，即AE+AF=EF=10
∴BE+EF+CF=BC=10
故答案为：10
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AF=CF，根据三角形周长即可求出答案.
18．（2023九上·山亭开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6， AD=8， P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线， 垂足分别为E， F，则PE+PF＝ ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP
∵四边形ABCD是矩形
在Rt△ABD中
∵AB=6，AD=8
∵四边形ABCD是矩形，
∴
故答案为：
【分析】连接OP，根据矩形性质可得，在Rt△ABD中，根据勾股定理可得，再根据三角形面积公式即可求出答案.
三、解答题
19．（2023九上·山亭开学考）
（1）分解因式x2y﹣2xy2+y3；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2
（2）解：去分母得：2x﹣4+2（2x﹣1）＝﹣3，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2x﹣1＝0，
∴x＝是增根 ，分式方程无解 ．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）提公因式，括号再根据完全平方公式即可求出答案.
（2）去分母得一元一次方程，解方程，代入分式检验即可求出答案.
20．（2023九上·山亭开学考）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，△ABC的顶点A，B ，C均在格点上 （小正方形的顶点为格点），利用网格画图，（保留必要的画图痕迹）
⑴在直线AC上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；
⑵在图中找一点O，使得OA＝OB＝OC；
⑶在（1）、（2）小题的基础上，请在直线AB上确定一点M ，使MP+MO的值最小．
【答案】解：⑴如图，点P ，即为所求 ．
⑵如图，点O即为所求．
⑶如图，点M即为所求．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）取格点O，J，作直线OJ交AC于点P，点P即为所求.
（2）△ABC三边垂直平分线的交点O，即为所求.
（3）作点P关于直线AB的对称点P'，连接OP'交AB于点M，即为所求.
21．（2023九上·山亭开学考）在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DF＝BE，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
22．（2023九上·山亭开学考）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发 ，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时， P、Q两点都停止运动， 设运动时间为t（s），当t＝2时， 判断△BPQ的形状， 并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动 ，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】（1）解：如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ=2tcm
当t＝2时，AP＝2cm，BQ=4cm
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形
（2）解：△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ=t
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，即
解得：t=2
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ
即6﹣t＝t，解得：t＝4
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
1 / 1
