4.1 指数
第1课时 根式
1．理解n次方根、根式的概念．(数学抽象)
2．能正确运用根式运算性质化简求值．(数学运算)
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了．
问题：若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫做3的什么？如何表示？
知识点1 根式及相关概念
(1)a的n次方根的定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)a的n次方根的表示
n a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点2 根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a．
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0．
(4)负数没有偶次方根．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当a≥0时，表示一个数． ( )
(2)实数a的n次方根有且只有一个． ( )
(3)当n为偶数，a≥0时，≥0． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．(1)27的立方根是________；
(2)已知x6＝2 023，则x＝________；
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
[答案] (1)3 (2)± (3)[－3，＋∞)
3．(1)＝________；
(2)＝________．
[答案] (1)－8 (2)π－3
类型1 由根式的意义求取值范围
【例1】 写出使下列各式成立的实数x的取值范围．
(1)；
(2)＝(5－x)．
[解] (1)∵x－3≠0，∴x≠3．
即实数x的取值范围为{x|x≠3}．
(2)由题意可知∴－5≤x≤5，
∴实数x的取值范围为{x|－5≤x≤5}．
对于，当n为偶数时应注意两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要有意义，则必有≥0．
[跟进训练]
1．若＝1－3a，则实数a的取值范围是________．
[∵＝1－3a，∴1－3a≥0，∴a≤．]
类型2 利用根式的性质化简求值
【例2】 化简下列各式：
(1)＋()5；(2)＋()6；(3)．
[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4．
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4．
(3)原式＝|x＋2|＝
正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
[跟进训练]
2．化简下列各式：
(1)(a≤1)；(2)＋．
[解] (1)∵a≤1，∴3a－3≤0，∴＝|3a－3|＝3－3a．
(2)＝a＋|1－a|＝
类型3 有限制条件的根式的化简
【例3】 (1)若x0，则x＋|x|＋＝________．
(2)若－3x3，求－的值．
(1)－1 [∵x0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1．]
(2)[解] －
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2．
当1x3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4．
综上，原式＝
[母题探究]
将本例(2)的条件“－3x3”改为“x≤－3”，则结果又是什么？
[解] 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|．因为x≤－3，所以x－10，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4．
有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
[跟进训练]
3．已知－1x2，化简－．
[解] ∵－1x2，∴x－20，x＋1>0，
∴－＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x．
1．(多选)已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子，其中有意义的是( )
A． B．
C． D．
BCD [结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD．]
2．已知m10＝2，则m等于( )
A． B．－
C． D．±
D [∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±．故选D．]
3．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
B [由题意可知∴a≥2且a≠4．故选B．]
4．＋＝________．
1 [＋＝4－π＋π－3＝1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若xn＝a，则x的值如何表示？
[提示] 当n为奇数时，若xn＝a，则x＝．
当n为偶数时，若xn＝a，则x＝±(其中a≥0)．
2．与()n相同吗？
[提示] 与()n不同，前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a．4.1 指数
第1课时 根式
1．理解n次方根、根式的概念．(数学抽象)
2．能正确运用根式运算性质化简求值．(数学运算)
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了．
问题：若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫做3的什么？如何表示？
知识点1 根式及相关概念
(1)a的n次方根的定义
如果xn＝a，那么______叫做______的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)a的n次方根的表示
n a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做________，a叫做________．
知识点2 根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝________．
(2)n为偶数时，＝________＝
(3)＝________．
(4)负数没有________方根．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当a≥0时，表示一个数． ( )
(2)实数a的n次方根有且只有一个． ( )
(3)当n为偶数，a≥0时，≥0． ( )
2．(1)27的立方根是________；
(2)已知x6＝2 023，则x＝________；
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
3．(1)＝________；
(2)＝________．
类型1 由根式的意义求取值范围
【例1】 写出使下列各式成立的实数x的取值范围．
(1)＝；
(2)＝(5－x)．
[尝试解答]
对于，当n为偶数时应注意两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要有意义，则必有≥0．
[跟进训练]
1．若＝1－3a，则实数a的取值范围是________．
类型2 利用根式的性质化简求值
【例2】 化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3)．
[尝试解答]
正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
[跟进训练]
2．化简下列各式：
(1)(a≤1)；
(2)＋．
类型3 有限制条件的根式的化简
【例3】 (1)若x<0，则x＋|x|＋＝______．
(2)若－3[尝试解答]
[母题探究]
将本例(2)的条件“－3
有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
[跟进训练]
3．已知－1
1．(多选)已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子，其中有意义的是( )
A． B．
C． D．
2．已知m10＝2，则m等于( )
A． B．－ C． D．±
3．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
4．＋＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若xn＝a，则x的值如何表示？
2．与()n相同吗？第2课时 指数幂及其运算
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(逻辑推理、数学运算)
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(数学运算)
某国国家统计局有关数据显示，该国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2019年为221.59亿元，2020年、2021年、2022年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%．你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2019年的经费支出为基础，预测2023年及以后各年的经费支出吗？
知识点1 分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定： (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义
知识点2 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点3 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0． ( )
(2)． ( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如． ( )
(4)可以理解为个a相乘． ( )
(5)是一个确定的实数． ( )
(6)＝8． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
2．计算：＝________；＝________．
2 [＝2；．]
类型1 根式与分数指数幂的互化
【例1】 (源自苏教版教材)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
(1)a2；(2)；(3)．
[解] (1)a2＝a2．
(2)．
(3)．
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[跟进训练]
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；
(2)(a>0，b>0)．
[解] (1)a3·＝a3·．
(2)
＝＝．
类型2 利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】 化简求值：
(1)－＋＋－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)2÷4·3．
[解] (1)原式＝－＋＋－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64．
(2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)
＝－a-3-(-4)b-2-(-2)c-1
＝－ac-1＝－．
(3)原式＝2÷()·()
＝·3．
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[跟进训练]
2．计算下列各式的值(式中字母均是正数)：
(1)；
(2)a－π．
[解] (1)原式＝＝26·m3＝64m3．
(2)原式＝＝a0＝1．
类型3 条件求值问题
【例3】 已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
思路导引：
[解] (1)将＝4两边平方，得a＋a-1＋2＝16，故a＋a-1＝14．
(2)将a＋a-1＝14两边平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194．
[母题探究]
1．在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值．
[解] 令a－a-1＝t，则两边平方得a2＋a-2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a-1＝．
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值．
[解] 由上题可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝×14＝±112．
解决条件求值问题的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形，找出所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[跟进训练]
3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
[解] ∵＝m，
∴2＝a＋a-1－2＝m2，
即a＋a-1＝m2＋2．
∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．
1．把根式a化成分数指数幂是( )
A． B．－
C． D．
D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，故选D．]
2．计算的结果是( )
A．π B． C．－π D．
[答案] D
3．已知＋＝5，则的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
B [∵＋＝5，∴x＋x-1＝23，即＝23．故选B．]
4．计算：－(0.01)0.5＝________．
[原式＝1＋．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用分数指数幂如何表示？
[提示] ．
2．分数指数幂有哪些性质？
[提示] (1)asar＝as＋r；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr(其中a>0，b>0，r，s∈Q)．
3．已知的值，如何求a＋的值？反之呢？
[提示] 设＝m(m＞0)，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝．即．第2课时 指数幂及其运算
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(逻辑推理、数学运算)
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(数学运算)
某国国家统计局有关数据显示，该国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2019年为221.59亿元，2020年、2021年、2022年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%．你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2019年的经费支出为基础，预测2023年及以后各年的经费支出吗？
知识点1 分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数 指数幂 规定：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数 指数幂 规定：：＝＝________ (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于________， 0的负分数指数幂________意义
知识点2 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点3 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的________．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0． ( )
(2)． ( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如． ( )
(4)可以理解为个a相乘． ( )
(5)是一个确定的实数． ( )
(6)＝8． ( )
2．计算：＝________；＝________．
类型1 根式与分数指数幂的互化
【例1】 (源自苏教版教材)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
(1)a2；(2)；(3)．
[尝试解答]
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的________，被开方数(式)的指数分数指数的________．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成____________的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[跟进训练]
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；
(2)(a>0，b>0)．
类型2 利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】 化简求值：
(1)－＋＋－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)2÷4·3．
[尝试解答]
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[跟进训练]
2．计算下列各式的值(式中字母均是正数)：
(1)；
(2)a－π．
类型3 条件求值问题
【例3】 已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
思路导引：
[尝试解答]
[母题探究]
1．在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值．
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值．
解决条件求值问题的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形，找出所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[跟进训练]
3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
1．把根式a化成分数指数幂是( )
A． B．－
C． D．
2．计算的结果是( )
A．π B． C．－π D．
3．已知＋＝5，则的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
4．计算：－(0.01)0.5＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用分数指数幂如何表示？
2．分数指数幂有哪些性质？
3．已知的值，如何求a＋的值？反之呢？
