第2章 章末综合提升
类型1 不等式的性质及应用
1．本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．
2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养．
【例1】 (1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A
B D．A>B
(2)(多选)(2022·江苏省新海高级中学月考)若a，b，c∈R，aA> B．abC．a|c|>b|c| D．a(c2＋1)(3)已知2(1)B (2)AD (3)－6(2)对于A，因为a0，则>，故A正确；
对于B，因为ab2，故B错误；
对于C，当c＝0时，a|c|＝b|c|，故C错误；
对于D，由c2＋1>0，a(3)因为－2所以1<－b<2，
又因为2所以－6类型2 基本不等式及其应用
1．基本不等式≤(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件．
2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．
【例2】 (2022·河北保定市第一中学月考)求下列函数的最值．
(1)若正实数a，b，满足a＋2b＝1，求＋的最小值；
(2)已知x<1，求y＝4x＋1＋的最大值．
[解] (1)∵a>0，b>0，a＋2b＝1，∴(a＋1)＋2b＝2，
∴＋＝[(a＋1)＋2b]
＝≥＝×(6＋4)＝3＋2
∴＋的最小值为3＋2
(2)∵x<1，∴1－x>0，
∴y＝4(x－1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1．
当且仅当4(1－x)＝，即x＝时取等号，
∴y的最大值为1．
类型3 一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一是图象的开口方向，二是是否有根，三是根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．
2．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
【例3】 (2022·河北石家庄外国语学校月考)已知关于x的不等式ax2＋3x＋2>0(a∈R)．
(1)当a<0时，若ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b(2)当a>0时，求关于x的不等式ax2－3x＋2>x－1的解集．
[解] (1)由题意知，b和1为ax2＋3x＋2＝0的两个根，
将x＝1代入方程可得，a＋3＋2＝0，即a＝－5，
由根与系数的关系可知，b×1＝，故b＝－，
故a＝－5，b＝－
(2)由题意可知，ax2－3x＋2>x－1 ax2－4x＋3>0，
从而Δ＝16－12a，且a>0，
由二次函数可知，y＝ax2－4x＋3的图象开口向上，
①当Δ＝16－12a<0，即a>时，不等式的解集为R；
②当Δ＝16－12a＝0，即a＝时，不等式ax2－4x＋3＝(2x－3)2>0的解集为；
③当Δ＝16－12a>0，即0ax2－4x＋3＝0的解为x1＝，x2＝，
故ax2－4x＋3>0的解集为
综上所述，当a>时，ax2－3x＋2>x－1的解集为R；
当a＝时，ax2－3x＋2>x－1的解集为；
当0x－1的解集为
类型4 不等式在实际问题中的应用
1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．
2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
【例4】 (2022·广东深圳实验学校高中部月考)某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，当年促销费用t＝0万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销售完．
(1)求x关于t的函数；
(2)将下一年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；
(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
[解] (1)由题意：3－x与t＋1成反比例，
所以设3－x＝(k≠0)，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2，
所以x＝3－(t≥0)．
(2)当年生产x(万件)时，年生产成本为：32x＋3＝32＋3，
当销售x(万件)时，年销售收入为：150%＋t，
由题意，生产x万件产品正好销售完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，
所以y＝150%＋t－－t
即y＝(t≥0)．
(3)由(2)有：y＝＝－＝50－
因为t≥0，所以＋≥2，
当且仅当＝，即t＝7时，等号成立．
所以y＝50－≤50－2＝42，即ymax＝42．
所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．第2章 章末综合提升
类型1 不等式的性质及应用
1．本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．
2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养．
【例1】 (1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
(2)(多选)(2022·江苏省新海高级中学月考)若a，b，c∈R，aA．> B．abC．a|c|>b|c| D．a(c2＋1)(3)已知2[尝试解答]
类型2 基本不等式及其应用
1．基本不等式≤(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件．
2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．
【例2】 (2022·河北保定市第一中学月考)求下列函数的最值．
(1)若正实数a，b，满足a＋2b＝1，求＋的最小值；
(2)已知x<1，求y＝4x＋1＋的最大值．
[尝试解答]
类型3 一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一是图象的开口方向，二是是否有根，三是根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．
2．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
【例3】 (2022·河北石家庄外国语学校月考)已知关于x的不等式ax2＋3x＋2>0(a∈R)．
(1)当a<0时，若ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b(2)当a>0时，求关于x的不等式ax2－3x＋2>x－1的解集．
[尝试解答]
类型4 不等式在实际问题中的应用
1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．
2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
【例4】 (2022·广东深圳实验学校高中部月考)某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，当年促销费用t＝0万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销售完．
(1)求x关于t的函数；
(2)将下一年的利润y(万元)表示为促销费t(万元) 的函数；
(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
[尝试解答]
